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课下能力提升(九)
学业水平达标练]
题组1 复数的加、减运算
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
题组2 复数加、减运算的几何意义
5．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，
则| |＝________.
8．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
题组3 复数加、减运算几何意义的应用
9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( )
A．在实轴上 B．在虚轴上
C．在第一象限 D．在第二象限
10．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
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[能力提升综合练]
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( )
A．－4＋20i B．－2＋10i
C．－8＋20i D．－2＋20i
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－3i B．－2＋11i
C．－2＋i D．5＋5i
3．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
4．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
6．若复数z满足z－1＝cosθ＋isin θ，则|z|的最大值为________．
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
8．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
答案
学业水平达标练]
题组1 复数的加、减运算
1．解析：选A (1－i)－(2＋i)＋3i
＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．解析：选C ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai，
∴z1＋z2＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
又∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
故1＋a＝0，即a＝－1.
3．解析：∵z1＋z2＝5－6i，
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∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴
即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
4．解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
题组2 复数加、减运算的几何意义
5．解析：选B ∵z＝z2－z1＝1＋5i－(3＋i)
＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.
6．解析：∵＝－(－＋)，
∴对应的复数为－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)]
＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]
＝－(－4＋4i)＝4－4i.
答案：4－4i
7．解析：由题意＝－，
∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴| |＝2.
答案：2
8．解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为＝－，
所以对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为＝－，
所以对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为＝，所以它们对应的复数相等，
即解得
故点D对应的复数为2－i.
题组3 复数加、减运算几何意义的应用
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9．解析：选B 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得：x＝0.
10．解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
[能力提升综合练]
1．解析：选B z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.
2．解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
4．解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
5．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴
解得a＝－1.
答案：－1
6．解析：∵z－1＝cos θ＋isin θ，
∴z＝(1＋cos θ)＋isin θ，
∴|z|＝
＝≤＝2.
答案：2
7．解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴
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解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．
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