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高中物理解题方法之守恒法
江苏省特级教师 戴儒京
一、动量守恒
动量守恒定律：内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的 总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。
公式： 或
或
=( 《物理》第一册第124页)
例1. 如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（视为质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰，碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？
解：设A、B、C的质量均为m, 碰撞前，A与B的共同速度为v0，碰撞后，B与C的共同速度为v1。以B、C为一系统，B、C碰撞时间很短，B、C之间的作用力（内力）远大于它们与A的作用力（外力），该系统动量守恒，由动量守恒定律，得：
（1）
设A滑至C右端时，A、B、C三者的共同速度为v2。对A、B、C三个物体组成的系统，用动量守恒定律，有：
（2）
设A与C的动摩擦力因数为，从发生碰撞到A滑至C的右端时，C所走过的距离为，对B、C，用动能定理，有
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- （3）
设C的长度为L，对A，用动能定理，有
- （4）
由以上各式解得：。
例2.甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s．求甲、乙两运动员的质量之比．
【答案】
（3）由动量守恒
解得
代入数据得
例3. 牛顿的《 自然哲学的数学原理》 中记载, A、 B 两个玻璃球相碰,碰撞后的分离速度和它们碰撞前的接近速度之比总是约为 15 ： 16 . 分离速度是指碰撞后 B 对 A 的速度,接近速度是指碰撞前 A 对 B 的速度. 若上述过程是质量为 2 m 的玻璃球 A 以速度 v0 碰撞质量为 m 的静止玻璃球 B,且为对心碰撞,求碰撞后 A、B 的速度大小.
【解析】设A、B球碰撞后速度分别为和
由动量守恒定律 ，由题意知
解得，
例4. 如题12C-2图所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80kg和100kg，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为0.1m/ s。 A将B向空间站方向轻推后，A的速度变为0.2m/ s，求此时B的速度大小和方向。
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【答案】根据动量守恒，设远离空间站方向为正，，解得，方向为设远离空间站方向。
【点评】本题考查动量守恒定律，难度：容易。
二、 电荷数守恒和质量数守恒
原子核的衰变方程如：
在衰变过程中，衰变前的质量数等于衰变后的质量数之和；衰变前的电荷数等于衰变后的电荷数之和。大量观察表明，原子核衰变时电荷数和质量数都守恒。（《物理》第三册第65页）
例．用大写字母表示原子核，表示衰变，
一系列衰变记为：，
另一系列衰变记为：。
已知P是F的同位素。则（ ）
A． Q是G的同位素，R是H的同位素
B． R是E的同位素，S是F的同位素
C． R是G的同位素，S是H的同位素
D． Q是E的同位素，R是F的同位素
解：根据原子核衰变时电荷数和质量数都守恒，设E的核电荷数为，质量数为,即为，则经（）衰变后，核电荷数为，质量数为，则F为，经（）衰变后，核电荷数，质量数不变，则G为；同样方法可算出，H为。
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已知P是F的同位素，所以P可以记为，设为P的质量数，则经衰变后，Q为，再经衰变后，R为，经衰变后，S为。
由于R与E的核电荷数相同，所以R是E的同位素。同样，S是F的同位素。
答案为B。
三、能的转化与守恒
守恒思想在高中物理学中是贯穿前后的重要思想，包括能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律等；守恒思想在高中物理的中各部分的体现与表达是不同的。
能量守恒定律：内容:能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,,它只能从一种形式转化为别的形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中其总量不变.这就是能量守恒定律.
能量守恒定律在不同的条件下有不同的体现,在高中物理学习的不同阶段有不同的表达.
力做功，功变能，能守恒。
合力做功=动能的改变（动能定理）
重力做功=重力势能的改变。重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增大。
弹力做功=弹性势能的变化。弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增大。
电场力做功=电势能的变化。电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增大。
安培力做功=电能的变化。安培力做正功，电能转化为其他形式的能，安培力做负功（克服安培力做功），其他形式的能转化为电能。
摩擦力做功=热能的变化。克服摩擦力做功，其他形式的能转化为热能。
1． 机械能守恒定律(能量守恒定律在力学中的表达)
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内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律
公式：+=+ 或者
+=+ （全日制普通高级中学教科书（必修）《物理》第一册第147页148页）
在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能与弹性势能之和保持不变，即机械能守恒（《物理》第148页）
公式：+=+ （笔者补充）
弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的,如果不考虑摩擦和空气阻力,只有弹力或重力做功,那么振动系统的机械能守恒.
例1.柴油打桩机的重锤由汽缸、活塞等若干部件组成，汽缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：
柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处从静止开始沿竖直轨道自由下落（如图1），打在钢筋混凝土桩子上，钢筋混凝土桩子（包括桩帽）的质量为M。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一段距离L。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h（如图2）。已知：，，，。重力加速度。混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。
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解：锤自由下落，只有重力做功，机械能守恒，设锤碰桩前速度为，由，得 （1）
碰后，锤上升高度为（h-L）, 设锤刚碰桩后速度为，根据机械能守恒定律，有
，得 （2）
设碰后桩的速度为，方向向下，根据碰撞前后动量守恒，设向下为正方向，有：
，得 （3）
桩下降的过程中，根据动能定理，有
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式解得：
代入数据得：F=2.1105N。
1． 热力学第一定律(能量守恒定律在热学中的表达)
内容: 如果物体跟外界同时发生做功和热传递的过程,那么,外界对物体所做的功W加上物体从外界吸收的热量Q等于物体内能的增加.
公式: =Q+W
上式所表示的功、热量跟内能改变之间的定量关系,在物理学中叫做热力学第一定律.
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符号法则: : 物体的内能的增加为正,减少为负，不变为0；
热量Q: 物体从外界吸收的热量为正,向外界放出的热量为负；
功W: 外界对物体所做的功为正,物体对外界所做的功为负。
例2．一定质量为的理想气体，从某一状态开始，经过一系列变化后又回到开始状态，用W1表示外界对气体做的功，W2表示气体对外界做的功；Q1表示气体吸收的热量，Q2表示气体放出的热量，则在整个过程中一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据热力学第一定律，=Q+W， （1） 式中=0，
又据符号法则，， （2）
， （3）
将（2）、（3）代入（1）式，得答案：A。
1． 机械能与电势能之和守恒(能量守恒定律在电场中的表达)
电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程, 电场力做了多少功,就有多少电势能和其他形式的能发生相互转化.( 《物理》第二册第104页)
如果只有电场力做功, 电势能和动能相互转化, 动能与电势能之和守恒;
公式: +=+
如果只有电场力和重力做功, 电势能和机械能相互转化, 机械能与电势能之和守恒.
公式: ++=++
例3．如图3所示，将一质量为m、电荷量为+q的小球固定在绝缘杆的一端，杆的另一端可绕通过O点的固定轴转动。杆长为L，杆的质量忽略不计。杆和小球置于场强为E的匀强电场中，电场的方向如图所示，将杆拉至水平位置OA，在此处将小球自由释放。求杆运动到竖直位置OB时小球的速度。
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A O
E
B
图3
解：杆和球运动过程中只有重力和电场力做功，机械能与电势能之和守恒，有
++=++ (1)其中1表示位置A，2表示位置B。则有，，，将以上三式代入（1）式，得：
。
1． 电磁感应中的能量转化与守恒(能量守恒定律在电磁感应中的表达)
能量守恒定律是一个普遍适用的定律,同样适用于电磁感应现象.在发电机中,外力做功,消耗机械能,产生的电能是从机械能转化而来的;发电机就是应用这个原理制成的.在变压器中,电能是由初级线圈转移给次级线圈的,变压器就是应用这个原理制成的.在这中转化和转移中能量保持不变. (《物理》第二册第168页)
楞次定律和法拉第电磁感应定律就是能量守恒定律在电磁感应中的体现。
楞次定律：物理学家楞次（1804-1856）概括了各种实验结果，在1834年得到如下结论：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这就是楞次定律。(《物理》第二册第200页，黑体是原文所有，下同)
法拉第电磁感应定律：法拉第不怕困难，顽强奋战了10年，终于取得了突破，在1831年发现了电磁感应现象。(《物理》第二册第195页)
内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。这就是法拉第电磁感应定律。
公式：或
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导线切割磁感线时产生的感应电动势的大小，跟磁感应强度B、导线长度L、运动速度以及运动方向和磁感线方向的夹角的正弦成正比。(《物理》第二册第198页)
对于理想变压器,它们的输入功率等于输出功率,即
公式：.
R1
R2
l
a
b
M
N
P
Q
B
v
例4．图4中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。
解: 在杆ab达到稳定状态以前,杆加速下降,重力势能转化为
动能和电能.当杆ab达到稳定状态(即匀速运动)时,导体棒克
服安培力做功,重力势能转化为电能,即电路消耗的电功,所以有
代入数据得:.
感应电动势为
感生电流为 图4
其中r为ab的电阻,R外为R1与R2的并联电阻,即.
又
代入数据,解得:R2=6.0.
例5.如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A
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处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2。
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R2上的电功率P2。
（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v3，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。
【分析】本题考查电磁感应与电路的综合问题及电磁感应中的能量守恒问题。 解题关键是分析哪是内电路，哪是外电路。
【答案】（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生感应电动势，导体棒ab从A下落r/2时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得
mg－BIL＝ma，式中l＝r
式中 ＝4R
（【穿插点评】注意：导体棒ab为电源，ab以上的电阻为,ab以下的电阻为,两部分电阻并联，得以上式子。）
由以上各式可得到
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即
式中
解得
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导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有
得
此时导体棒重力的功率为
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即
＝
所以，＝
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为，此时安培力大小为
由于导体棒ab做匀加速直线运动，有
根据牛顿第二定律，有
F＋mg－F′＝ma
即
由以上各式解得
【点评】解法2 求出后，
根据导体棒从MN到CD阶段机械能守恒，，得。
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R2上的电功率P2, 其中(根据并联分流公式)
,，将代入得。
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为，此时安培力大小为
由于导体棒ab做匀加速直线运动，有
根据牛顿第二定律，有F＋mg－F′＝ma
R
a b
m L
即
由以上各式解得
例6.如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而下滑。试求ab下滑的最大速度vm
解：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力F都随之增大，加速度随之减小。当F增大到F=mg时，加速度变为零，这时ab达到最大速度。
由，可得
点评：
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这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。
进一步讨论：如果在该图上端电阻右边安一只电键，让ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但最终稳定后的速度总是一样的）。
a b
d c
只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化。电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。这种综合是很重要的。要牢固树立起能量守恒的思想。
【例7】 如图所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？
解：ab刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd。
【例8】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab、cd横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L，ab的质量为m ，电阻为r，开始时ab、cd都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab一个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd的最大速度vm、最大加速度am、产生的电热各是多少？
B
a d
b c
解：给ab冲量后，ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd的加速度最大，最终cd的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab、cd横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt∝R，所以cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab的初速度为v1=I/m
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，因此有： ，解得。最后的共同速度为vm=2I/3m，系统动能损失为ΔEK=I 2/ 6m，其中cd上产生电热Q=I 2/ 9m
5．电磁振荡中的能量转化和守恒(能量守恒定律在电磁感应中的表达)
从场的观点来看，电场具有电场能，磁场具有磁场能。在电容器放电过程中，电场能逐渐转化为磁场能；电容器充电过程中，磁场能逐渐转化为电场能；在电磁振荡过程中，电场能和磁场能同时发生周期性的转化，回路中的电流和电容器极板上的电荷随时间作周期性变化。在电磁振荡中，如果没有能量损失，电磁振荡应该永远持续下去，振荡电流的振幅应该永远保持不变，这种振荡叫做无阻尼振荡。( 《物理》第二册第239页)
公式：。
例9．LC回路中电容器两端的电压u随时间t变化的关系如图5所示,
A. 在时刻t1，电路中的电流最大
B. 在时刻t2，电路中的磁场能最大
C. 从时刻t2至t3，电容器中的电场能不断增大
D. 从时刻t3至t4，电容器的带电量不断增大
图5
解：在时刻t1，电容器上的电压最高，此时，电场能最大，磁场能为0，电流为0，A错误；在时刻t2，电容器上的电压为0，此时，电场能为0，磁场能最大，B正确；从时刻t2至t3，电容器上的电压不断增大，据电场能公式，电容器中的电场能不断增大，C正确；电容器上的电压不断减小，据公式，电容器的带电量不断增大，C错误；答案选B、C。
6. 质能关系
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爱因斯坦的相对论指出，物体的能量和质量之间存在着密切的联系，它们之间的关系是：这就是著名的爱因斯坦质能方程。
例6.
解：反应后的质量为：36.96591u+0.00055u=36.95746u,
根据反应过程的质量与能量的转化与守恒，与电子中微子的能量相当的质量为36.95746u-36,95658u=0.00088u, 电子中微子的最小能量为
答案为A。
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