小专题(五) 运用幂的运算法则巧解计算题
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等幂的运算性质是学习整式乘法的基础,也是进行整式运算的主要依据.
类型1 运用幂的运算性质求代数式的值
1.已知10a=5,10b=6,
(1)求102a+103b的值;
(2)求102a+3b的值;
(3)求102a-3b的值.
解:当10a=5,10b=6时,
(1)102a+103b=(10a)2+(10b)3=52+63=241.
(2)102a+3b=102a×103b=(10a)2×(10b)3=52×63=5400.
(3)102a-3b=102a÷103b=(10a)2÷(10b)3=52÷63=.
2.已知am=3,an=4,求a3m÷am+n的值.
解:a3m÷am+n=a2m-n=a2m÷an=(am)2÷an=32÷4=.
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3.已知2x+5y-3=0,求4x·32y的值.
解:∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3.
∴4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
4.若x2·xa+2·x2a=x31,则(a3+a2)-(a3+2a-1)的值是多少?
解:因为x2·xa+2·x2a=x2+a+2+2a=x3a+4=x31,
所以3a+4=31,a=9.
所以(a3+a2)-(a3+2a-1)=a2-2a+1=64.
5.已知3x+2·5x+2=153x-4,求(x-1)2-3x(x-2)-4的值.
解:∵3x+2·5x+2=15x+2=153x-4,∴x+2=3x-4,解得x=3,
∴(x-1)2-3x(x-2)-4=-2x2+4x-3=-9.
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类型2 运用幂的运算性质探究数量之间的关系
6.已知2x=3,2y=4,2z=12则x,y,z之间有何数量关系?
解:因为2x·2y=2x+y=3×4=12,2z=12,
所以2x+y=2z,x+y=z.
7.已知am=4,an=2,ap=16,试说明:3m+2n=2p.
解:∵(am)3· (an)2=43·22=28,(ap)2=162=28,
∴(am)3·(an)2=(ap)2,
又∵(am)3·(an)2=a3m+2n,(ap)2=a2p,∴3m+2n=2p.
类型3 运用幂的运算性质判断末位数字
8.已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,观察上述算式的规律,试判断8667的个位数字是几?
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解:从题中可以看出,指数每连续4个数后,运算结果的末位数就会出现循环,分别是2,4,8,6.
所以8667=(23)667=22001=24×500+1,所以它的末位数字为2.
9.计算:21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…,归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测22018-1的个位数字是多少?
解:∵21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,
25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255,…
∴由此可以猜测个位数字以4为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环,而2018÷4=504……2,∴猜测22018-1的个位数字是3.
类型4 运用幂的运算性质比较大小
10.比较2555,3444,4333的大小.
解:因为2555=(25)111=32111,3444=(34)111=81111,4333=(43)111=64111,
而81>64>32,所以3444>4333>2555.
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11.设m=2100,n=375,为了比较m与n的大小,小明想到了如下方法:m=2100=(24)25=1625,即25个16相乘的积;n=375=(33)25=2725,即25个27相乘的积,显然m
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