第23章 图形的相似
23.1.1 成比例线段
知识点 1 线段的比
1．已知线段a＝20 cm，b＝30 cm，则a∶b＝________，b∶a＝________．
2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为( )
A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2
3．如图23－1－1，C是线段AB的中点，点D在BC上，AB＝24 cm，BD＝5 cm.
(1)AC∶CB＝________，AC∶AB＝________；
(2)＝______，＝________，＝______．
图23－1－1
知识点 2 成比例线段的概念
4．线段a＝8 cm，b＝30 cm，c＝10 cm，d＝24 cm中，最短两条线段的比a∶c＝________，最长两条线段的比d∶b＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．
5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是( )
A．3 cm，6 cm，12 cm，18 cm
B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
C. cm， cm， cm，5 cm
D．5 cm，2 cm，3 cm，6 cm
6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．
(1)a＝7 cm，b＝4 cm，c＝d＝2 cm；
(2)a＝20 mm，b＝8 m，c＝28 m，d＝7 cm.
知识点 3 比例的基本性质
7．已知＝，若其中a＝5 cm，b＝3 cm，c＝2 cm，则可列比例式＝，根据比例的基本性质，可得________，所以线段d＝________ cm.
8．已知＝，那么下列等式一定成立的是( )
A．x＝y B．7y＝9x
6
C．7x＝9y D．xy＝63
9．若2x＝5y，则下列式子中错误的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
10. 画在图纸上的某一零件长3.2 cm，若比例尺是1∶20，则该零件的实际长度是__________．
11．已知＝＝≠0，则的值为________．
12．已知＝，求和的值．
13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是( )
A.∶1 B．1∶2
C．2∶ D．1∶
14．已知三个数2，，4.若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是( )
A．2 B．2 或
C．2 ，4 或8 D．2 ，或4
15．若＝，则下列各式一定成立的有( )
①＝；②＝；
③＝；④＝.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．［教材练习第2题变式］若＝＝，且a－b＋c＝8，则a＝________．
17．已知＝＝＝2，且△ABC的周长为18 cm，求△A′B′C′的周长．
6
18．如图23－1－2，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝.求线段PQ的长．
图23－1－2
19．已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm.
(1)求线段a与线段b的比；
(2)如果a∶b＝c∶d，求线段d的长．
20．已知＝，求下列各式的值：
(1)； (2).
21．已知△ABC的三边长a，b，c满足关系式＝＝，且a＋b＋c＝12，则这个三角形的面积是多少？
22．阅读下列解题过程，然后解题：
6
题目：已知＝＝(a，b，c互不相等)，求x＋y＋z的值．
解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，
∴x＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下面的问题：
已知a，b，c为非零实数，且a＋b＋c≠0，当＝＝时，求的值．
6
1．2∶3 3∶2
2. A
3．(1)1∶1 1∶2 (2)
4．4∶5 4∶5 是
5．C [解析] 只有C中＝，为成比例线段．
6．[解析] 判断四条线段是不是成比例线段，可根据线段长度的大小关系，从小到大排列，判断较短的两条线段的比是否等于较长的两条线段的比，若比值相等则这四条线段是成比例线段．
解：(1)因为＝＝＝，＝，所以这四条线段是成比例线段，比例式为＝.
(2)将线段从小到大排列，得a＝20 mm＝0.02 m，d＝7 cm＝0.07 m，b＝8 m，c＝28 m．因为＝＝，＝＝，所以这四条线段是成比例线段，比例式为＝.
7．5 3 2 d 5d＝6
8. B
9. D
10. 64 cm
11. [解析] 设＝＝＝k，则c＝4k，b＝5k，a＝6k，所以＝＝.
12．解：由已知可设a＝4k，b＝3k(k≠0)，
∴＝＝＝，
＝＝＝.
13． D
14． D [解析] 设这个数是x，由题意，得
当2∶＝4∶x时，则2x＝4 ，解得x＝2 ；
当2∶4＝x∶时，则4x＝2 ，解得x＝；
当2∶＝x∶4时，则x＝8，解得x＝4 .
故选D.
15． A
16．10 [解析] 由＝＝，得b＝，c＝，由a－b＋c＝8，得a－＋＝8，
解得a＝10.
17．解：∵＝＝＝2，
∴AB＝2A′B′，BC＝2B′C′，AC＝2A′C′.
6
∵AB＋BC＋AC＝18，
∴2A′B′＋2B′C′＋2A′C′＝18，
∴2(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝18，
∴A′B′＋B′C′＋A′C′＝9，
∴△A′B′C′的周长为9 cm.
18．[解析] 根据＝＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长．
解：∵AB＝10，＝＝，
∴BP＝4，BQ＝20，
∴PQ＝BP＋BQ＝24.
答：线段PQ的长为24.
19．解：a＝0.3 m＝3 dm，b＝60 cm＝6 dm，c＝12 dm.
(1)a∶b＝3∶6＝1∶2.
(2)∵a∶b＝c∶d，
∴1∶2＝12∶d，
解得d＝24(dm)．
故线段d的长是24 dm.
20．解：由已知可得9(x＋y)＝11(x－y)，整理得x＝10y.
(1)＝＝＝.
(2)＝＝＝－.
21．令＝＝＝k，则a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，
代入a＋b＋c＝12，可得k＝3，
∴这个三角形的三边长为a＝5，b＝3，c＝4.
∵a2＝b2＋c2，∴这个三角形为直角三角形，
∴S＝bc＝×3×4＝6.
22．设＝＝＝k(k≠0)，
则a＋b－c＝kc①，a－b＋c＝kb②，－a＋b＋c＝ka③，
由①＋②＋③，得a＋b＋c＝k(a＋b＋c)．
∵a＋b＋c≠0，∴k＝1，
∴a＋b＝2c，b＋c＝2a，c＋a＝2b，
∴＝＝8.
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