23.3.4 相似三角形的应用
知识点 1 利用三角形相似测量宽度
1．如图23－3－47，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于( )
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
图23－3－47
2. 如图23－3－48是一个折叠小板凳的左视图，图中有两个等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为4，底边长为6，另一个三角形框架的腰长为2，则相应的底边长为________．
图23－3－48
3. 如图23－3－49，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份．如果小管口中DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是__________毫米．
图23－3－49
4．如图23－3－50，小明设计了两个直角三角形来测量河宽DE，他量得AD＝20 m，BD＝15 m，CE＝45 m，求河宽DE.
图23－3－50
知识点 2 利用三角形相似测量高度
5．［2016·深圳］模拟在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，
6
一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为( )
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
6．如图23－3－51是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.
图23－3－51
7．［2017·吉林］如图23－3－52，某数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2 m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4 m，BD＝14 m，则旗杆AB的高为________m.
图23－3－52
8．如图23－3－53，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.
图23－3－53
9．如图23－3－54所示(示意图)，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高了几米？
图23－3－54
10．如图23－3－55，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝60 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，
6
则这个正方形零件的边长是________ mm.
图23－3－55
11．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远的一小块积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为20米，该学生的眼睛离地面的距离为1.5米，那么旗杆的高度是多少？
12．［教材练习第1题变式］数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图23－3－56)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m．请你帮她算一下树高是多少？
图23－3－56
13．如图23－3－57(示意图)，小华在晚上由路灯C的底部A走向路灯D的底部B.当她走到点P时，发现她身后影子的顶部刚好接触到路灯C的底部A处；当她向前再步行12 m到达点Q时，发现她身前影子的顶部刚好接触到路灯D的底部B处．已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m，且AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
6
(2)当小华走到B处时，她在路灯C下的影长是多少？
图23－3－57
6
1．B 2. 3
3. 5
4．解：∵∠CEA＝∠BDA＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝.
∵AD＝20 m，BD＝15 m，CE＝45 m，
∴＝，解得DE＝40(m)．
答：河宽DE为40 m.
5．C
6．16
7．9
8．5.5
9．解：设长臂端点升高了x米．
根据题意，得＝，解得x＝8.
答：长臂端点升高了8米．
10． 40 11．]解：∵＝，∴旗杆高度＝15(米)．
答：旗杆的高度是15米．
12如图：
设BD是BC在地面上的影子，树高为x m，
则＝.
∵CB＝1.2，∴BD＝0.96，
∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56.
由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得＝，解得x＝4.45，
∴树高是4.45 m.
13．解：(1)∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
∴＝，即＝＝，
∴AP＝AB.
∵AP＝QB，
6
∴QB＝AB，
而AP＋PQ＋QB＝AB，
∴AB＋12＋AB＝AB，∴AB＝18.
答：两个路灯之间的距离为18 m.
(2)如图，设她在路灯C下的影子为BE.
∵BF∥AC，∴△EBF∽△EAC，
∴＝，
即＝＝，
解得BE＝3.6.
答：当小华走到B处时，她在路灯C下的影长是3.6 m.
6
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