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解决坡角、坡比问题
坡度、坡角
1. 坡度：坡面的铅垂高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i＝h∶
l。
2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且 i＝
h
l＝tanα。
方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越
小，坡面越缓。
总结：
1. 理解坡度、坡角的有关概念。
2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。
例题 如图，某地计划在坡比为 i＝1：4 的山坡 OP（OQ 为地面水平线）上逐排建造楼
房 AB、CD 等。已知楼高（AB、CD 等）均为 20 米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示
箭头方向）与地面所成的角最小为 40°。
（1）求斜坡 OP 的坡角的度数；
（2）为使冬季正午时后面的楼（CD）完全不被前面一幢楼（AB）挡住阳光，问两楼间
的斜坡距离 BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到 0.1 米）
（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25，cos75°30'＝0.25，cos14°
＝0.97，tan40°＝0.84）
解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过 D 作 OQ 的平行线，延长 AB 与
平行线相交于点 H，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。
答案：（1）∵坡比为 i＝1：4，即 tan∠POQ＝
1
4＝0.25，∴斜坡 OP 的坡角的度数为
14°。
（2）如图，过 D 作 OQ 的平行线，交 AB 的延长线于点 H，设 BH 为 x，则 AH＝20＋x，DH
＝BH÷tan∠POQ＝4x，由题意可知，（20＋x）：4x＝0.84，解得 x＝8.47，即 BH＝8.47，DH
A
B C
h
l
¦ Á2
＝4x＝33.9，BD＝
DH
cos14°＝
33.9
0.97≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离 BD 至少为 35.0 米。
点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，比较复杂，
解题关键是构造直角三角形表示出坡度。
利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
满分训练 如图，一人行天桥的高是 10 米，坡面 CA 的坡角为 30°，为了方便行人推
车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 CD 的坡角为 18°。
（1）求新坡长 CD；（精确到 0.01 米）
（2）求原坡脚向外延伸后 DA 的长；（精确到 0.01 米）
（3）若需留 DE 为 4 米的人行道，问离原坡脚 A 处 15 米的花坛 E 是否需要拆除？
（参考数据 sin18°＝0.309；cos18°＝0.951；tan18°＝0.325）
解析：（1）根据所给角的正弦，可求出 CD。（2）先由三角函数求出 AB、DB，再利用 DA
＝DB－AB 求出 AD 的长。（3）同（2）即可。
答案：（1）在 Rt△DBC 中，sin18°＝
CB
CD，∴CD＝
CB
sin18°＝
10
0.309≈32.36（米），∴
新坡长约为 32.36 米。
（2）在 Rt△ABC 中 tan30°＝
CB
AB，∴AB＝
CB
tan30°＝10 3≈17.32（米）。在 Rt△CDB
中 tan18°＝
CB
DB，∴DB＝
CB
tan18°＝
10
0.325≈30.77（米）。∴DA＝D B－AB＝30.77－17.32＝
13.45（米），∴原坡脚向外延伸约 13.45 米。
（3）∵AE＝15，DA＝13.45，DE＝4，∴DE＋DA＞AE，∴离原坡脚 15 米的花坛应拆除。
点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到 0.01 米的要
求。
审题 按题意画出正确的示意图，弄清已知和未知。
转化
将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把
实际问题转化为解直角三角形的问题。如果没有现成的直角
三角形，可通过作辅助线构造直角三角形。
求解 根据直角三角形元素之间的关系解有关的直角三角形。3
（答题时间：30 分钟）
一、选择题
1. 河堤横断面如图所示，堤高 BC＝6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： 3，则 AB 的长为（ ）
A. 12 米 B. 4 3米 C. 5 3米 D. 6 3米
2. 如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木
桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），
则木桩上升了（ ）
A. 6sin15°cm B. 6cos15°cm C. 6tan15°cm D.
6
tan15°cm
*3. 如图，一网球从斜坡的点 O 抛出，网球的抛物线为 y＝4x－
1
2x2，斜坡 OA 的坡度 i＝
1：2，则网球在斜坡的落点 A 的垂直高度是（ ）
A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 8
**4. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时
测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米。已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一
根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ）
A. （6＋ 3）米 B. 12 米
C. （4－2 3）米 D. 10 米
二、填空题4
5. 若一辆 QQ 车的最大爬坡度数为 45°，有一段斜坡路的坡度为 1.3：1，则这辆车
__________（填“能”或“不能”）在这段斜坡上行驶。
*6. 如图是某工厂货物传送带的平面示意图。为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传
送带与地面的夹角，使其由原来的 45°减小为 30°。已知原传送带 AB 长为 6 米，那么新传
送带 AC 的长为__________米。
**7. 一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形 DEFH 的边长为 1 米，坡
角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3 米，则：（1）AC 的长是__________米；（2）当正方体 DEFH
运动到什么位置，即当 AE＝__________米时，有 DC2＝AE2＋BC2。
**8.九年级某班 开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆 AB 的高度。在太阳光的
照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上
的小明的影子为 DG，已知斜坡的倾角∠FEH＝30°，CD＝1.6m，DG＝0.8m，BE＝2.1m，EF＝
1.7m，则电杆的高约为__________m。（精确到 0.1，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73）
三、解答题
9. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由 1：1.8 改为 1：2.4（如
图）。如果改动后电梯的坡面长为 13 米，求改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长。
*10. 我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混
凝土加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位。如图是某一段坝体加高
工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡 角∠BAE＝68°，新坝体的高为 DE，
背水坡坡角∠DCE＝60°。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC（结果精确到 0.1
米。参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50， 3≈1.73）。5
**11. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线 l）上修一条路，需要测量山坡的
坡度，即 tanα 的值。测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测
得塔尖 C 的仰角为 37°，塔底 B 的仰角为 26.6°。已知塔高 BC＝80 米，塔所在的山高 OB＝
220 米，OA＝200 米，图中的点 O、B、C、A、P 在同一平面内，求山坡的坡度。（参考数据
sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
**12. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D
的仰角为 60°。沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45°，已知山坡 AB 的
坡度 i＝1： 3，AB＝10 米，AE＝15 米。（i＝1： 3是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH
的比）
（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；
（2）求广告牌 CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据：
2≈1.414， 3≈1.732）6
1. A 解析：Rt△ABC 中，BC＝6 米，BC：AC＝1： 3，∴则 AC＝BC× 3＝6 3，∴AB＝
AC2 + BC2＝ 62 + （6 3）2＝12（米）。
2. C 解析：∵tan15°＝
木桩上升的高度
水平移动的距离。∴木桩上升了 6tan 15°cm。故选 C。
3. B 解析：∵斜坡 OA 的坡度 i＝1：2，∴设 A 的坐标是（2x，x），把 A 的坐标代入抛
物线 y＝4x－
1
2x2 得：x＝8x－
1
2•（2x）2，解得：x＝3.5，x＝0（舍去），即网球在斜坡的
落点 A 的垂直高度是 3.5，故选 B。
4. A 解析：延长 AC 交 BF 延长线于 D 点，则∠CFE＝30°，作 CE⊥BD 于 E，在 Rt△CFE
中，∠CFE＝30°，CF＝4m，∴CE＝2（米），EF＝4cos30°＝2 3（米），在 Rt△CED 中，∵
同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，∴CE：DE＝1：
2，∴DE＝4（米），∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2 3（米），在 Rt△ABD 中，AB＝
1
2BD＝
1
2（12
＋2 3）＝（6＋ 3）米。
5. 不能 解析：∵斜坡路的坡度为 1.3：1，∴坡角的正切值 tanα＝1.3＞tan45°，即
坡角大于 45°，所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。
6. 6 2 解析：如图，过点 A 作 AD⊥CB，交 CB 的延长线于点 D。∵∠ABD＝45 °，∠ACD
＝30°，AB＝6 米，∴在 Rt△ABD 中，AD＝ABsin∠ABD＝6×
2
2 ＝3 2米，在 Rt△ACD 中，
AC＝
AD
sin∠ACD＝6 2米。
7. （1）6（2）
7
3 解析：（1）∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3 米，∴AC＝2BC＝6
米；（2） 如图，连接 CD，假设 AE＝x，可得 EC＝6－x，∵正方形 DEFH 的边长为 1 米，即
DE＝1 米，∴DC2＝DE2＋EC2＝1＋（6－x）2，AE2＋BC2＝x2＋9，∵DC2＝AE2＋BC2，∴1＋（6
－x）2＝x2＋9，解得：x＝
7
3米。
8. 8.0 解析：延长 AF 交 BH 于点 N，过点 F 作 FM⊥BH 于点 M，∵∠FEH＝30°，EF＝
1.7m，∴FM＝0.85m，∴EM＝EFcos30°≈1.47m，由题意可得 AB∥FM，∴
FM
MN＝
CD
DG，∵CD＝7
1.6m，DG＝0.8m，∴
0.85
MN ＝
1.6
0.8，∴MN＝0.425m，∵BE＝2.1m，∴BN＝2.1＋1.47＋0.425＝
3.995（m），∵
AB
BN＝
CD
DG，∴
AB
3.995＝
1.6
0.8，解得：AB≈8.0（m）。
9. 解：在 Rt△ADC 中，∵AD：DC＝1：2.4，AC＝13，由 AD 2 ＋DC 2 ＝AC 2 ，得 AD2 ＋
（2.4AD）2＝13 2。∴AD＝±5（负值不合题意，舍去）。∴DC＝12．在 Rt△ABD 中，∵AD：
BD＝1：1.8，∴BD＝5×1.8＝9。∴BC＝DC－BD＝12－9＝3（米）。答：改动后电梯水平宽
度增加部分 BC 的长为 3 米。
10. 解：在 Rt△BAE 中，∵BE＝162 米，∠BAE＝68°，∴AE＝
BE
tan68°＝
162
2.50＝64.8
（米），在 Rt△DCE 中，∵DE＝176.6 米，∠DCE＝60°，∴CE＝
DE
tan60°＝
176.6
3 ＝
176.6
1.73
≈102.1（米），则 AC＝CE－AE＝102.1－64.8＝37.3（米）。答：工程完工后背水坡底端
水平方向增加 的宽度 AC 约为 37.3 米。
11. 解：如图，过点 P 作 PD⊥OC 于 D，PE⊥OA 于 E，则四边形 ODPE 为 矩形。在 Rt△PBD
中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；在Rt△CPD 中，
∵∠CDP ＝ 90° ， ∠CPD ＝ 37° ， ∴CD ＝ PD•tan∠CPD ＝ PD•tan37° ； ∵CD － BD ＝ BC ，
∴PD•tan37° － PD•tan26.6° ＝ 80 ， ∴0.75PD － 0.50PD ＝ 80 ， 解 得 PD ＝ 320 ， ∴BD ＝
PD•tan26.6°≈320×0.50＝160，∵OB＝220，∴PE＝OD＝OB－BD＝60，∵OE＝PD＝320，∴AE
＝OE－OA＝320－200＝120，∴tanα＝
PE
AE＝
60
120＝0.5，∴坡度为 1：2．
12. 解：（1）过 B 作 BG⊥DE 于 G，Rt△ABH 中，i＝tan∠BAH＝
1
3＝
3
3 ，∴∠BAH＝
30°，∴B H＝
1
2AB＝5；（2）由（1）得：BH＝5，AH＝5 3，∴BG＝AH＋AE＝5 3＋15，Rt
△BGC 中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝5 3＋15。Rt△ADE 中，∠DAE＝60°，AE＝15，∴DE＝
3AE＝15 3．∴CD＝CG＋GE－DE＝5 3＋1 5＋5－15 3＝20－10 3≈2.7m。
答：广告牌 CD 约高 2.7 米。
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