九年级数学上册专题突破讲练解直角三角形试题（青岛版）.doc

1 解直角三角形 解直角三角形的基本类型以及解法 图形 已知类型 已知条件 解法步骤 斜边，一直角边 （如 c、a） ①b＝ c2－a2； ②由 sinA＝ a c，求∠A； ③∠B＝90°－∠A两边 两直角边 （如 a、b） ①c＝ a2＋b2； ②由 tanA＝ a b，求∠A； ③∠B＝90°－∠A 斜边，一锐角 （如 c，∠A） ①∠B＝90°－∠A； ②由 sinA＝ a c，求 a＝c·sinA； ③由 cosA＝ b c，求 b＝c·cosA 一边一角 一直角边，一锐角 （如 a、∠A） ①∠B＝90°－∠A； ②由 tanA＝ a b，求 b＝ a tanA； ③由 sinA＝ a c，求 c＝ a sinA 方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没 有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。 （2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）直角三 角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。 总结： 1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形； 2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。 例题 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB ＝ 1 3，AD＝1。 （1）求 BC 的长； （2）求 tan∠DAE 的值。 解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解 Rt△ADC，得出 DC A BC a b c2 ＝1；解 Rt△ADB，得出 AB＝3，根据勾股定理求出 BD，然后根据 BC＝BD＋DC 即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE＝CE－CD，然后在 Rt△ADE 中根据正切 函数的定义即可求解。 答案：（1）在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 在△ADC 中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1。 在△ADB 中，∵∠ADB＝90°，sinB＝ 1 3，AD＝1，∴AB＝ AD sinB＝3，∴BD＝ AB2－AD2＝2 2，∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1； （2）∵AE是 BC 边上的中线，∴CE＝ 1 2BC＝ 2＋ 1 2，∴DE＝CE－CD＝ 2－ 1 2，∴tan∠DAE ＝ DE AD＝ 2－ 1 2。 点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度 中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。 解直角三角形时应注意以下问题： （1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题； （2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”； （3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后 再求解。 总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问 题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角 形的方 法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。 满分训练 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝ 120°，求 AD 的长。 解析：要求 AD，需选择适当的三角形使 AD 为其一边，这样才能方便地运用有关知识处 理问题，所以本题应考虑将 AD 构造成直角三角形的边。 答案：设 AD＝x。∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°。 ∵S△ACD＋S△ADB＝S△ABC，作 DH1⊥AB 于 H1，DH2⊥AC 于 H2，BH3⊥CA，交 CA 延长线于 H3， 则 DH1＝DH2＝ADsin60°＝xsin60°，BH3＝3sin60°。 ∴ 1 2×5×xsin60°＋ 1 2×3×xsin60°＝ 1 2×5×3sin60°。 解得 x＝ 15 8 ，所以角平分线 AD 的长为 15 8 。 A B CD 3 53 点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之 间的关系。 （答题时间：） 一、选择题 1. △ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结论正 确的是（ ） A. csinA＝a B. b cosB＝c C. atanA＝b D. ctanB＝b *2.如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 2，CD＝ 2，点 P 在四边 形 ABCD 上，若 P 到 BD 的距离为 3 2，则点 P 的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 **3. 如图，在 Rt△ABO 中，斜边 AB＝1。若 OC∥BA，∠AOC＝36°，则（ ） A. 点 B 到 AO 的距离为 sin54° B. 点 B 到 AO 的距离为 tan36° C. 点 A 到 OC 的距离为 sin36°sin54° D. 点 A 到 OC 的距离为 cos36°sin54° **4. 在矩形 ABCD 中，有一个菱形 BF DE（点 E、F 分别在线段 AB、CD 上），记它们的面 积分别为 SABCD 和 SBFDE，现给出下列命题：①若 SABCD SBFDE＝ 2＋ 3 2 ，则 tan∠EDF＝ 3 3 ；②若 DE2 ＝BD•EF，则 DF＝2AD。则（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 A B CD E F A B CD 3 512H1 H2 H34 二、填空题 5. 在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则 BC＝__________。 *6. 如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB于点 E，cosA＝ 3 5，BE＝4，则tan∠DBE 的值是__________。 **7. 在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E，垂足为 D， 连接 BE。已知 AE＝5，tan∠AED＝ 3 4，则 BE＋CE＝__________。 **8. 如图所示，在△ABC 中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，BD 是边 AC 上的高，利用此图可求 得 tan15°＝__________，BC＝__________。 三、解答题 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠A＝ 2 5，求 BC 的长和 tan∠B 的值。 10. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求 BC 的长。 *11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是边 AB 的中点，BE⊥CD，垂足为点 E。己知 AC＝15，cosA＝ 3 5。 A B C A B CD 2 30¡ã5 （1）求线段 CD 的长； （2）求 sin∠ DBE 的值。 **12. 如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC，点 P 是︵ AB的中点，连接 PA、PB、 PC。 （1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝ 3AP； （2）如图②，若 s in∠BPC＝ 24 25，求 tan∠PAB 的值。6 1. A 解析：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C＝90°。sinA＝ a c，则 csinA＝ a，故选项 A 正确；cosB＝ a c，则 ccosB＝a，故选项 B 错误；tanA＝ a b，则 a tanA＝b，故选项 C 错误；tanB＝ b a，则 atanB＝b，故选项 D 错误。 2. B 解析：过点 A 作 AE⊥BD 于 E，过点 C 作 CF⊥BD 于 F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝ AD＝2 2，CD＝ 2，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°，∵sin∠ABD ＝ AE AB，∴AE＝AB•sin∠ABD＝2 2•sin45°＝2 2• 2 2 ＝2＞ 3 2，所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为 3 2的点 2 个；∵sin∠CDF＝ CF CD，∴CF＝CD•sin∠CDF＝ 2• 2 2 ＝1＜ 3 2，所以 在边 BC 和 CD 上没有到 BD 的距离为 3 2的点。总之，P 到 BD 的距离为 3 2的点有 2 个。 3. C 解析：点 B 到 AO 的距离是指 BO 的长，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOC＝36°，∵在 Rt△BOA 中，∠BOA＝90°，AB＝1，∴sin36°＝ BO AB，∴BO＝ABsin36°＝sin36°，故选项 A 错误；由以上可知，选项 B 错误；过 A 作 AD⊥OC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，∵∠BAO ＝36°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝54°，∵sin36°＝ AD AO，∴AD＝AO•sin36°，∵sin54°＝ AO AB，∴AO＝AB•sin54°，又∵AB＝1，∴AD＝AB•sin54°•sin36°＝1×sin54°•sin36°＝ sin54°•sin36°，故选项 C 正确；由以上可知，选项 D 错误，故选 C。 4. A 解析：①设 CF＝x，DF＝y，BC＝h，则由已知菱形 BFDE 得，BF＝DF＝y，由已知得： （x＋y）h yh ＝ 2＋ 3 2 ，化简得： x y＝ 3 2 ，即在△BFC 中，cos∠BFC＝ CF BF＝ x y＝ 3 2 ，∴∠BFC＝ 30°。由已知得∠EDF＝30°，∴tan∠EDF＝ 3 3 ，所以①是真命题。②已知菱形 BFDE，∴DF ＝DE，S△DEF＝ 1 2DF•AD＝ 1 4BD•EF，又 DE2＝BD•EF（已知），∴S△DEF＝ 1 4DE2＝ 1 4DF2，∴DF•AD＝ 1 2DF2，∴DF＝2AD，所以②是真命题。故选：A。 5. 6 解析：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，在 Rt△ABD 中，∵sin∠ABC＝ AD AB＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则 BD＝ AB2－AD2＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3＝6。7 6. 2 解析：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ＝AB，∵cosA＝ 3 5，BE＝4，DE⊥AB，∴设 AD＝ AB＝5x，AE＝3x，则 5x－3x＝4，x＝2，即 AD＝10，AE＝6，在 Rt△ADE 中，由勾股定理得： DE＝ 102－62＝8，在 Rt△BDE 中，tan∠DBE＝ DE BE＝ 8 4＝2。 7. 6 或 16 解析：①若∠BAC 为锐角，如答图 1 所示： ∵AB 的垂直平分线是 DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝ 1 2AB，∵AE＝5，tan∠AED＝ 3 4， ∴sin∠AED＝ 3 5，∴AD＝AE•sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝6；②若 ∠BAC 为钝角，如答图 2 所示： 同理可求得：BE＋CE＝16。故答案为：6 或 16。 8. ； 解析：在△ABD 中，BD＝ABsin∠A＝2sin30°＝1，AD＝ABcos∠A ＝2cos30°＝ 3。所以 CD＝AC－AD＝AB－AD＝2－ 3，所以tan∠CBD＝ CD BD＝2－ 3，∠CBD ＝∠ABC－∠ABD＝75°－60°＝15°，即 tan15°＝2－ 3。BC2＝BD2＋CD2＝8－4 3＝ （ 6－ 2）2，所以 BC＝ 6－ 2。 9. 解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝ BC AB＝ BC 10＝ 2 5，∴BC＝4，根据勾股定理 得：AC＝ AB2－BC2＝2 21，则 tanB＝ AC BC＝ 2 21 4 ＝ 21 2 。 10. 解：∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。在 Rt△ABD 中，∵AB＝8，∠ABD＝ 30°，∴AD＝ABsin∠ABD＝ 1 2AB＝4，BD＝ABcos∠ABD＝ 3 2 AB＝4 3。在Rt△ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4 3＋4。 11. 解：（1）在 Rt△ABC 中，cosA＝ AC AB，∵AC＝15，∴AB＝ AC cosA＝15× 5 3＝25。又∵点 D A B CD 2 3− 6 2−8 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，∴CD＝ 1 2AB＝ 25 2 ；（2）∵点 D 是 AB 的中点，∴△ACD、△BCD 都是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCD＝∠CBD。∵∠ADC＝∠BDE＝90°－∠DBE，∠ACD＝ 90°－∠BCD＝90°－∠CBD，∴∠DBE＝∠CBD。∴sin∠DBE＝sin∠CBD＝ AC AB= 15 25＝ 3 5。 12. 解：（ 1）∵∠BPC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB ＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，而点 P 是︵ AB的中点，∴∠ACP＝ 1 2∠ACB＝30°， ∴∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝ PA AC＝tan30°＝ 3 3 ，∴AC＝ 3PA；（2）过 A 点作 AD⊥BC 交 BC 于 D，连接 OP 交 AB 于 E，如图，∵AB＝AC，∴AD 平分 BC，∴点 O 在 AD 上，连接 OB， 则∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝ 24 25＝ BD OB，设 OB＝25x，则 BD＝ 24x，∴OD＝ OB2－BD2＝7x，在Rt△ABD 中，AD＝25x＋7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝ AD2 + BD2 ＝40x，∵点 P 是︵ AB的中点，∴OP 垂直平分 AB，∴AE＝ 1 2AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90°， 在 Rt△AEO 中，OE＝ AO2－AE2＝15x，∴PE＝OP－OE＝25 x－15x＝10x，在 Rt△APE 中， tan∠PAE＝ PE AE＝ 10x 20x＝ 1 2，即 tan∠PAB 的值为 1 2。