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三招判定切线
直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。如何判定直线和圆相切？以下三招可
以助你一臂之力！
第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：
第三招：利用切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：
点 A 是直线 AB 与圆 O 的公共点，如果 OA⊥AB，那么直线 AB 是圆 O 的一条切线。
说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不
可。
例题 1 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠A OC=30°，半径为 1cm 的圆 P 的圆心在射
线 OA 上，开始时，PO=6cm，如果圆 P 以 1cm/秒的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么当圆 P
的运动时间 t（秒）满足什么条件时，圆 P 与直线 CD 相切？
解析：要想保证圆 P 与直线 CD 相切，就要使点 P 到直线 CD 的距离等于 1cm。符合条件
的圆有两个，圆心分别在点 O 的两侧。
答案：如下图
P
D
C
O BA2
（ 1 ） 当 圆 P 运 动 到 点 P1 时 ， 可 得 ， 又 因 为 ∠AOC=30° ， 所 以
=2cm，所以圆 P 运动到圆 所用的时间 （秒）；
（2）当圆 P 继续向 B 运动，当点 P 到 达点 P2 时，F P2=1cm 同理可得： （秒）。
点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于
半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的
距离小于半径，则直线和圆相交。
例题 2 已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心，
长为半径的圆与 分别交于点 D、E，且 。判断直线 与圆 O 的位置
关系，并证明你的结论。
解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90°即可。
答案：直线 与⊙O 相切。证明如下：
如图，连结 OD。∵∠C=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°。又∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。
∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°。∴直线 BD 与⊙O 相切。
点拨：若图形中已给出直 线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点
的半径，再证其与直线垂直。
直线和圆相切中的辅助线
切线的判定定理是比较常用的一个定理，用该定理证明问题时，往往用到辅助线。这部
分的辅助线主要包括：“作半径”、“作垂线段”。
满分训练 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，以 D 为圆
心，CD 为半径画圆，判断⊙D 与 AB 的位置关系并说明理由。
P 2
P 1
F
E
D
C
O BA
Rt ABC△ 90C∠ = O AB O OA
AC AB， CBD A∠ = ∠ BD
BD
1PE CO⊥
1 12 2 1OP PE= = × 1P 1
6 2 41t
−= =
2 8t =3
解析：根据角平分线的性质， 可得点 D 到 AC 和 AB 的距离相等，即圆心 D 到 AB 的距离
等于圆的半径。
答案：作DF⊥ AB，垂足为点 F，∵AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DC，即圆心 D
到 AB 的距离等于圆的半径，所以⊙D 与 AB 相切。
点拨：“证半径”就是计算圆心到直线距离的过程， “作垂线，证半径”是解这一类
题的另一种常用思路。
（答题时间：30 分钟）
1. 已知⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当 时，直线 l 与⊙O 的关系为
（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对
2. 若∠OAB=30°，OA=10cm，则以 O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线 AB 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
3. 在平面直角坐标系中，以点 为圆心，1 为半径的圆必与（ ）
A. x 轴相交 B. y 轴相交 C. x 轴相切 D. y 轴相离
4.矩形的两条邻边长分别为 2.5 和 5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆
相切的线段最多有（ ）
A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点 C 为圆心，以 2 cm 的长为
半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交
6. 以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角平分线为半径的圆，必与底边（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定
*7. 圆 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，r、d 是方程 的两根，
则直线 l 与圆 O 的位置关系是 。
8. 如图，已知 45°，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心、2cm 为半径作 ，若点
M 在 OB 上运动，当 OM= cm 时，圆 M 与 OA 相切。
d r=
(2,1)
2 9 20 0x x− + =
AOB∠ = M4
*9. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB、BC 相交于点
D、E，EF⊥AC，垂足为 F。求证：直线 EF 是⊙O 的切线。
*10. 在同一平面直角坐标系中有 5 个点： （1，1）， （ ， ）， （ ，1），
（ ， ）， （0， ）。
（1）画出△ 的外接圆⊙ ，并指出点 与⊙ 的位置关系；
（2）若直线 经过点 （ ， ）， （0， ），判断直线 与⊙ 的位置关系。
**11. 如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A 作直线 MN，若∠MAC＝∠ABC。
O
B
A
M
A B 3− 1− C 3− D
2− 2− E 3−
ABC P D P
l D 2− 2− E 3− l P5
（1）求证：MN 是半圆的切线；
（2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F。
求证：FD＝FG
**12. 如图，AB 是圆 O 的直径，BC AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于点 E，弦 AD//OC，弦 DF
AB 于点 G。
（1）求证：点 E 是 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线。
**13. 如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点
E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC。
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径 r。
⊥
⊥
∩
BD
406
1.B 解析：根据直线和圆的位置关系的性质可得，当 时，直线 l 与⊙O 的关系为相
切。
2. A 解析：点 O 到射线 AB 的距离为 10× =5cm，即 d＜r，所以圆与射线 AB 的位置关
系是相交。
3. C 解析：点 到 x 轴的距离为 1，正好等于圆的半径，即该圆必与 x 轴相切。
4. D 解析：该圆的半径为 2.5，圆心到矩形的另外三边的距离都为 2.5，所以三边都和
圆相切。
5.B 解析：点 C 到线段 AB 的距离为 2cm，即圆 C 的半径，所以⊙C 与 AB 的位置关系是相
切。
6. C 解析：等腰三角形顶角的顶点到底边的距离为顶角平分线的长度，正好等于圆的半
径，即底边与该圆相切。
*7. 相离或相交 解析：解方程 的两根为 4 和 5；当 r=4，d=5 时，直线 l
与⊙O 的位置关系是相离，当 d=4，r=5 时，直线 l 与⊙O 的位置关系是相交。
8. 2 解析：⊙M 与 OA 相切时，设切点为 D，则 OD=MD=2cm，又因为 45°，
所以 OM= = =2 。
*9. 证明：连接 OE，
∵OB=OE，∴∠B=∠OEB。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴∠OEB=∠C。
∴OE∥AC。∵EF⊥AC，∴OE⊥EF。∴直线 EF 是⊙O 的切线。
*10. 解析：（1）所画⊙ 如图所示。由图可知，⊙ 的半径为 。连结 ，
∵ ，∴点 在⊙ 上。
（2）直线 与⊙ 相切。理由如下： 连结 。
d r=
1
2
(2,1)
2 9 20 0x x− + =
2 AOB∠ =
2 2OD DM+ 2 22 2+ 2
P P 5 PD
521 22 =+=PD D P
l P PE7
∵ 直 线 过 点 （ ， ）， （ 0 ， ），∴ ， ，
。
∴ 。∴△ 是直角三角形，且 。∴ 。
∴直线 与⊙ 相切。
**11. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB＝90º，∴∠CAB+∠ABC＝90º。
∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90º，即 MA⊥AB。∴MN 是半圆的切线。
（2）∵D 是弧 AC 的中点，∴∠DBC＝∠ABD。∵AB 是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90º，
∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90º。∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG。
**12. 证明：（1）∵ ，∴ 。∴ ，∴ 。
（2）连接 。
由（1）知 ，在 和 中， ， 。
∴ 。∴ 。
又∵ ，∴ ，即 是 的切线。
**13. 解析：（1）连接 OA，OD，
则 OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D 为 BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
AD OC∥ A COB∠ = ∠
OD
DOE BOE∠ = ∠ COD△ COB△ CO CO= OD OB=
COD COB△ ≌△ CDO B∠ = ∠
BC AB⊥ 90CDO B∠ = ∠ = ° CD O⊙
l D 2− 2− E 3− 1031 222 =+=PE 52 =PD
52 =DE
222 DEPDPE += PDE °=∠ 90PDE lPD ⊥
l P
∩∩
= BEDB 2
∩∩
= BEDE8
∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC =90°，
∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90 °，∴OA⊥AC。
∴AC 是⊙O 的切线。
（2）∵⊙O 半径是 r。
当 F 在半径 OE 上时，OD=r，OF=8－r，
在 Rt△DOF 中，r2+（8－r）2=（ ）2。∴ （舍）
当 F 在半径 OB 上时，OD=r，OF=r－8，
在 Rt△DOF 中， ，∴ ， （舍）
即⊙O 的半径 r 为 。
40 8 110 8 110,2 2r r
+ −= =
2 2 2( 8) ( 40)r r+ − = 8 110
2r
+= 8 110
2r
−=
8 110
2
+
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