秦九韶（-），字道古，南宋时期著名数学家，《数学九章》是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序”．美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一．”
6．一元一次方程
解读课标
方程是刻画现实世界的有效数学模型．一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础．其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤．在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程．
代解是处理方程的解的基本方法．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为的形式．方程的解由、的取值范围确定，具体情形如下：
1．当时，原方程有唯一解；
2．当且时，原方程有无数个解；
3．当且时，原方程无解．
问题解决
例1 若以为未知数的方程与的解相同，则_______．
试一试 由“解相同”建立关于的方程．
例2 若为整数，则使得方程的解也是整数的值有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
试一试 把用含的式子表示，结合整除的知识确定值的个数．
例3 解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）．
试一试 解方程的目的是通过变形把方程化为的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程．仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程．
例4 （1）解下列关于的方程：
①； ② ③
（2）为何值时，方程有无数多个解？无解？
试一试 对于（1），把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2），化简原方程，利用方程各种解的情形所应满足的条件建立的关系式．
例5 （1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_____________．
（2）现将连续自然数至按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出个数（如图）．
①图中框出的这个数的和是___________；
②在右图中，要使一个正方形框出的个数之和分别等于，，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的个数中的最小数和最大数．
试一试 对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解．
丢番图的墓志铭
例6 丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元世纪，被誉为“代数学的鼻祖”．他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的：
过路的人！
这儿埋葬着丢番图．
请计算下列数目，
便可知他一生度过了多少个寒暑，
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过七分之一的生命旅程，
他建立了幸福的家庭，
五年后儿子出生，
不幸儿子竞先于父亲四年而终，
年龄不过父亲享年的一半，
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年，
请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？
解法一 代数解法
设丢番图活了岁，由题意得
，
解得．
解法二 算术解法
从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄是和的倍数，也是和的倍数（因为年龄总是整数）．故他的年龄是、、、的公倍数，而、、、的公倍数，即是与的公倍数．我们可以先求与的最小公倍数．因为与互质，所以它们的最小公倍数应为，其他大于的公倍数是不合乎常理的，如，而的是，岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为岁．
数学冲浪
1．算筹方程
“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名“方程”．在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排．
如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如：
表示方程，
表示方程，
表示方程______________，
表示方程_____________．
2．（1）对于任意有理数、、、，规定了一种运算，如，那么当时，_______________
（2）当______，________时，方程有唯一解；当_______，______时，方程无解；当________，_______时，方程有无穷多个解．
3．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_________．
4．已知关于的方程与方程的解相同，则方程的解为_________．
5．已知关于的方程的解满足，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若关于的一元一次方程的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程无解，则是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
8．关于的方程的解为正整数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．解下列关于的方程
（1） （2）
（3） （4）
10．已知关于的方程，问当取何值时（1）方程无解；
（2）方程有无穷多解．
11．已知关于的方程的解是，其中且，求代数式的值．
思维方法天地
12．如果，那么______________．
13．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第个格子中的数为_______________．
…
14．已知，，其中，那么_________．
15．若，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
16．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长的木条上钻有个圆孔，每个圆孔的直径均为．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为，则为（ ）
A． B． C． D．
17．若方程无解，则（ ）
A． B． C． D．
18．甲队原有人，现调出人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的（是不等于的正整数）倍还多人．问乙队原有多少人？
19．将自然数至按图中的方式排列：
如图，用一个长方形框出个数（行列），已知这个数的和为，求这个数中最小的数．
应用探究乐园
20．解方程（1）；
（2）．
21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有颗黑色棋子？请说明理由．
6．一元一次方程
问题解决
例1
例2 D 为整数，又，可取，,,,,,，共个值，相应的值也有个．
例3 （1）视为整体，先去括号得；
（2）运用分数性质将小数化为整数，得；
（3）先去括号得．
例4 （1）①；
②当时，方程有唯一解；当时，原方程无解；
③原方程化为，当时，原方程有唯一解；当，时，原方程有无数个解；当，时，原方程无解．
（2）原方程化为
①当，即时，原方程有无数个解；
②当，即时，原方程无解．
例5 （1），，．
（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于，如与，与，与都是成中心对称的，于是易算出这个数之和为．
②设框出的个数中最小的一个数为，则这个数组成的正方形方框如下图所示．因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于，所以这个数之和为．
当时，．
当时，．
为自然数，不合题意．
即框出的个数之和不可能等于．
由长方形阵列的排法可知，只可能在，，，列，即被除的余数只可能是，，，．因为，所以，这个数之和等于是可能的，这时，方框中最小的数是，最大的数是．
数学冲浪
1．；
2．（1） （2）略
3．、、、 ，，或
4．
5．D
6．B
7．B
8．D
9．（1）；
（2）；
（3）当时，方程有唯一解；当时，方程无解；
（4）当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数个解；当且时，方程无解．
10．原方程化为
（1）当时，方程无解；
（2）当时，方程有无数个解．
11．
12．
13． 可推得，，，填入整数后的排列是，，，，，…
14． 设，，．得
15．C
16．A
17．C
18．设乙队原有人，则，得，因必须为正整数，且，所以也是正整数，只能取，，，只有当时，．
19．
20．（1）原方程化为，即，得．
（2），故．
21．（1）
第个图形有颗黑色棋子
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