数与代数
刘徽（生于公元年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”．
1．数形结合话数轴
解读课标
1．数形结合话数轴
数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．
在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：
1．利用数轴形象地表示有理数；
2．利用数轴直观地解释相反数；
3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；
4．利用数轴比较有理数的大小．
问题
例1（1）已知、为有理数，且，，，将四个数、、、按由小到大的顺序排列是_________．
（2）已知数轴上有、两点，、之间的距离为，点与原点的距离为，那么点对应的数是__________．
试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定、两点在数轴上的位置，充分考虑、两点的多种位置关系．
例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点、、、对应的数分别是整数、、、，且，那么数轴的原点应是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
试一试从寻找与的另一关系式入手．
例3 已知两数、，如果比大，试判断与的大小．
试一试 因、符号未定，故比大有多种情形，借助数轴可直观全面比较与的大小．
例4 电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳个单位到，第一步由向右跳个单位到，第三步由向左跳个单位到，第四步由向右跳个单位到，……，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数．
试一试 设点表示的数为，把、、…、点所表示的数用的式子表示．
例5 已知数轴上的点和点之间的距离为个单位长度，点在原点的左边，距离原点个单位长度，点在原点的右边．
（1）求、两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒个单位长度出发向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
（3）已知在数轴上点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，设线段的中点为（为原点)，在运动的过程中线段的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
分析与解 对于（3），设点运动时间为秒，把用的式子表示．
（1）、两点所对应的数分别为，；
（2）点对应的数为；
（3），（为什么？），则，即的值不变．
生活启示
例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到的对应点的线段，对折后（点与点重合），固定左端向右均匀地拉成个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段上的，均变成；变成；等等）．那么在线段上（除点、点外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和．
分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．
解：原图
对折后
拉长后
对折后
拉长后
故在第二次操作后，恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和是．
数学冲浪
知识技能广场
1．数轴上有、两点，若点对应的数是，且、两点的距离为，则点对应的数是______．
2．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“站台”的镜头（如示意图中的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影中的方法可称为“_________站台”．
3．已知点、、在数轴上，点表示的数为，，，那么点表示的数是_______．
4．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字、、）上：先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上、、、、…所对应的点分别与圆周上、、、所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字与数轴上的数对应，则________；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈（为正整数）后，并落在圆周上数字所对应的位置，这个整数是________（用含的代数式表示）．
5．有理数、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（）
A． B． C． D．
6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西米，玩具店位于书店东米处，小明以书店沿街向东走了米，接着又向东走了米，此时小明的位置在（ ）
A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店东米
7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”、“”分别对应数轴上的和，则（ ）
A． B． C． D．
8．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．一个跳蚤在一条直线上，从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位……依此规律跳下去，当它跳第次落下时，求落点处离点的距离（用单位表示）．
10．已知数轴上有、两点，、之间的距离为，点与原点的距离为，求所有满足条件的点与原点的距离的和．
思维方法天地
11．在数轴上，点、分别表示和，则线段的中点所表示的数是______．
12．在数轴上，表示数的点与表示数的点关于原点对称，则的值为_______．
13．数形相伴
（1）如图所示，点、所代表的数分别为，
，在数轴上画出与、两点的距离和为的点（并标上字母）．
（2）若数轴上点、所代表的数分别为、，则、两点之间的距离可表示为，那么，当时，________；当时，数所对应的点在数轴上的位置是在________．
14．点、分别是数、在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动为，且线段的中点对应的数是，则点对应的数是_______，点移动的距离是________．
15．点、、、…、（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且；点在点的左边，且，点在点的右边，且，……，依照上述规律，点、所表示的数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个
单位，点、、、对应的数分别是整数、、、，且，那么数轴的原点对应点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
17．有理数、、在数轴上的位置如图，式子化简结果为（ ）
A． B． C． D．
18．不相等的有理数、、在数轴上对应点分别为、、，若，那么点（ ）
A．在、点右边 B．在、点左边 C．在、点之间 D．以上均有可能
19．在数轴上，点与点的距离是点与所对应点之间的距离的倍，那么点表示的数是多少？
20．已知数轴上有、、三点，分别代表、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，甲的速度为个单位／秒．
（1）问多少秒后甲到、、的距离和为个单位？
（2）若乙的速度为个单位／秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）在（1）、（2）的条件下，当甲到、、的距离和为个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
应用探究乐园
21．操作与探究
对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点．
点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中，点，的对应点分别为，．如图所示，若点表示的数是，则点表示的数是_______；若点表示的数是，则点表示的数是________；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是__________．
22．一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进个单位、后退个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退个单位，设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数（如，，），求所对应的数．
1．数形结合话数轴
问题解决
例1 （1） （2）或或或
例2 B 由图知，又，得．
例3 当点在原点的右边时，，则；当点在原点的左边时，，则；当点、分别在原点的右、左两侧时，，这时无法比较与的大小关系；当点正好在原点位置时，，则；当点正好在原点位置时，，则．
例4 设点表示的有理数为，则、、…、点所表示的有理数分别为，，，…，，由题意得．
数学冲浪
1．或 2． 3．或
4．（1）；（2） 5．A 6．A 7．C 8．C
9．，落点处与点距离为个单位长．
10．
11． 中点所表示的数是
12．
13．（1）如图所示，点、两点即为所求．
（2）或；点的左边或点的右边．
14．； 长为，对应数为，点移动的距离为．
15．C 16．C 17．C 18．C
19． 与
20．（1）设秒后甲到、、距离和为
．
①当甲在、之间时 ，得．
②当甲在、之间时 ，得，即秒或秒后．
（2）设秒后相遇
．
，即在处相遇．
（3）①设甲向走秒后掉头返回秒与乙相遇
，解得．
∴．
②设甲向走秒后掉头返回秒与乙相遇
，解得．
∴不合题意，舍去．即甲、乙能在所表示的点处相遇．
21．；；．设点表示的数为，则点表示的数为，由得．
22．因，，故所对应的数为．
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