2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题
命题人：简俊敏 陈启智
注意事项：1．本试题 满分150分，考试时间为120分钟。
2．选择题部分，请将选出的答案标号（A、B、C、D）用2B铅笔涂在答题卡上。将填空及解答题答案用黑色签字（0.5mm）笔填在答题卡指定位置。
3.参考公式：台体体积 ：
锥体体积：， 球体体积：球表面积：
一、选择题：大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
第3题图
2．在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
3．如图是水平放置的△ABC的直观图，轴，
，则是( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
4．已知圆锥的全面积是底面积的倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
第6题图
5．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 ，，,则其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6．如图，四面体ABCD中，若截PQMN是正方形,则在下列结论
中错误的是( )
A．AC=BD B．AC//截面PQMN
C． AC⊥BD D．PM与BD成45°角
7．已知数列 满足 ，，那么 的值是( )
A. B. C. D.
8．已知中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，，则的面积为( )
A.B. 1 C. D. 2
9．已知函数 ，下列结论中错误的是( )
A．B． 的最小正周期为
C． 的图象关于y轴对称D． 的值域为
第11题图
10．将正方形沿对角线对折使得平面平面，以下四个结论中不正确的结论是( )
A. B. 是正三角形
C.⊥D.与所成的角是
11．如图，网格纸上的小正方形边长为 ，粗线或虚线表示一个
棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为( )
A． B．
C． D．
12．已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上，，，则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A． B． C． D．
二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分
13.等差数列中，已知,则
14. 已知侧棱长为2的正三棱锥S-ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为 ______ ．
15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2则PC与平面PAD所成角的大小为 ______ ．
16．如图，中，，，．在三角形内挖去半圆（圆心O在边上，半圆与、相切于点、，与交于），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为．
第14题图
第16题图
第15题图
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）已知各项都为正数的等比数列满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）在中，边分别为内角的对边，且满足．
（Ⅰ）判断的形状；
（Ⅱ）若，，为角的角平分线，求的长．
19．（本小题满分12分）如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线AE与BD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．
（Ⅰ）证明:平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
21．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，是边长为3的正三角形，，．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面．若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题答案
一、选择题：
二、 填空题：
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由题意可知：等比数列{an}的公比为q，q＞0，
由5a1+4a2=a3，即5a1+4a1q=a1q2，
整理得：q2﹣4q﹣5=0，解得：q=5或q=﹣1（舍去）， ---------------------3分
a1a2=a3，a1•a1q=a1q2，解得：a1=5，an=a1qn=5n；
数列{an}的通项公式，an=5n； -----------------------------------------------5分
（Ⅱ）bn=log5an=n，Sn为数列{bn}的前n项和，Sn=， ------------------------7分
==2（﹣）， -------------------------------------8分
数列的{}的前n项和Tn，
Tn=2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，
数列的{}的前n项和Tn，Tn=． ------------------------------------------10分
18．解：（Ⅰ）由，得，
， ---------------------------------2分
，．故为直角三角形． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，，
，，， -----------------7分
由正弦定理得，
． --------------------12分
19．解：（Ⅰ）证明：设，连接． 依题可知是中点，平面，则，而，是中点，故．平面，平面，平面． -------------------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以为直线与的所成角．
平面，，平面，则．又平面，则，，平面，平面．在中， ， ，
故 ，
所以异面直线与所成角的正弦值为 ----------8分
（Ⅲ）且平面，平面，
因是中点，是中点，故，
平面，，在中，，
，．
． ------------------------------12分
20．（Ⅰ）证明：设为中点，连接，，．
由题意得平面，所以． 因为，所以，所以平面． -----------2分
由为的中点，得且，从而且，
所以是平行四边形，所以．
因为平面，所以平面． --------------4分
（Ⅱ）解：由，得.
由且，在中由勾股地理得，在中同理得，， ---------------------8分
由（Ⅰ）知平面，故为三棱锥的高，
，设点到平面的距离为，
， ，即
，，，
故点到平面的距离为． ------------------------------------------12分
21．解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC． ………………1分
∵△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，
∴在△BCD中，由余弦定理得到：cos∠BDC= =，…………3分
∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，
∴DC⊥AD， …………………………4分
又∵AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD．又∵CD⊂平面CDP，
∴平面PAD⊥平面PCD； ……………………6分
（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：
取AB的中点N，连接MN，DN．
∵M是AP的中点，∴MN∥PB． ………………7分
∵△ABC是等边三角形，∴DN⊥AB，
由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，
∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB． ∴ND∥BC．…………8分
又MN∩DN=N，∴平面MND∥平面PBC．∴DM∥平面PBC．…………9分
过点B作BQ⊥AD于Q，
∵由已知知，PD⊥BQ，∴BQ⊥平面PAD，∴BQ是三棱锥B﹣DMP的高，…………10分
∵BQ=，S△DMP=AD•PD=3，∴VP﹣BDM=VB﹣DMP=BQ•S△DMP=．……12分
22．（Ⅰ） 证明: 取的中点,连接.则,
又平面,∴平面.
∵平面,∴.
∵分别为的中点, ∴.
∵,即, ∴.
∵平面平面
∴平面.
∵平面,∴. --------3分
（Ⅱ）解: 过作且与的延长线相交于点, 连接
∵，，， ∴平面，∴
∴是二面角的平面角,也是二面角的平面角的补角,
在Rt△中，，.
在Rt△中，.
在Rt△中，，.
∴二面角的余弦值为. ----------7分
（Ⅲ）解:过点作于,
由（Ⅱ）知平面平面,且平面平面,
∴平面. ∴的长为点到平面的距离.
在Rt△中，.
∵点是的中点, ∴点到平面的距离是点到平面的距离的倍.
∵,∴平面.
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
∴点到平面的距离是. ----------12分
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