2.3《幂函数》2017

§2.3幂函数第二章基本初等函数(Ⅰ) (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=____(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=______________是____的函数a²a³V是a的函数t⁻¹km/sv是t的函数我们先来看几个具体的问题:(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长_________a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的函数Sa 他们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数. 一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量， 为常数。[定义:]问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，         其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R； 判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2判一判 下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究y=x x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=x x-3-2-10123y=x29410149 x-3-2-10123y=x3-27-8-101827 x0124012 x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3 在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k>0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而上升。当k0时,图象还都过点(0,0)点 y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2)如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；(3)如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．幂函数的性质 说一说判断正误1.函数f(x)=x+为奇函数.2.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0]上是递增的,则f(x)在[0,+)上也是递增的.4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0]上是递减的,则f(x)在[0,+)上也是递减的. 思考知识点三 一般幂函数的图象特征类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案答案y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当00时，幂函数的图象通过，并且在区间[0，＋∞)上是函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0cC.b>c>aD.c>b>a类型三 幂函数性质的综合应用答案解析 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.反思与感悟 跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小：解答解∵0