1．(2012·三亚检测)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为
( )．
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案 B
2．在△ABC中，如果AD、BE分别为BC、AC上的中线，且＝a，＝b，那么为( )．
A.a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
解析 由题意，得＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋a＋，即＝b＋a＋.解得＝a＋b.
答案 A
3．已知向量a，b，设＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，那么下列各组中三点一定共线的是( )．
A．A，B，C B．A，C，D
C．A，B，D D．B，C，D
解析 由向量的加法法则知＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2，又两线段均过点B，故A，B，D三点一定共线．
答案 C
4．在▱ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是________．
解析 设＝a，＝b.
∵DE＝DC，AF＝AB，
∴＝＋＝a＋b，
＝＋＝－a－b＝－.
答案 ＝－
5．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析 由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得
x－a＋b－c＝0，∴x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
6．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则λ1λ2＝________.
解析 若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1，且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.
答案 1
7．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解 ∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴∴∴k＝－2.
8．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若＋＋＝，则
( )．
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上 D．P在线段AC上
解析 由已知，得＋＝－＝，
∴＝2，故P点在线段AC上．
答案 D
9．(2012·广州测试)在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________．
解析 取BC的中点M，连接DM，交AC于N.
∵平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，∴AF＝FN＝CN.
∴＝－＋＋＝－，
∵＝m＋n(m，n∈R)，
∴m＝，n＝－，∴＝＝－2.
答案 －2
10．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a、b表示；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
(1)解 设＝ma＋nb，
则＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.
∵点A、M、D共线，∴与共线，
∴＝，∴m＋2n＝1.①
＝－＝a＋nb，＝－a＋b.
∵点C、M、B共线，
∴与共线，
∴＝，∴4m＋n＝1.②
联立①②可得m＝，n＝，
∴＝a＋b.
(2)证明 ＝a＋b，＝－pa＋qb，
∵与共线，
∴＝，
∴q－pq＝－p，即＋＝1.
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