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2017年高一数学上4.2.3直线与圆的方程的应用试题(带答案和解析)

来源:会员上传 日期:2017-11-13 23:22:58 作者:佚名
第四章  4.2  4.2.3
 
A级 基础巩固
一、选择题
1.一辆卡车宽1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过导学号 09025043( B )
A.1.4 m   B.3.5 m   C.3.6 m   D.2.0 m
[解析] 圆半径OA=3.6,卡车宽1.6,所以AB=0.8,
所以弦心距OB=3.62-0.82≈3.5(m).
 
2.已知实数x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是导学号 09025044( A )
A.30-105   B.5-5 C.5   D.25
[解析] x2+y2为圆上一点到原点的距离.圆心到原点的距离d=5,半径为5,所以最小值为(5-5)2=30-105.
3.方程y=-4-x2对应的曲线是导学号 09025045( A )
 
[解析] 由方程y=-4-x2得x2+y2=4(y≤0),它表示的图形是圆x2+y2=4在x轴上和以下的部分.
4.y=|x|的图象和圆x2+y2=4所围成的较小的面积是导学号 09025046( D )
A.π4   B.3π4   C.3π2   D.π
[解析] 数形结合,所求面积是圆x2+y2=4面积的14.
 
5.方程1-x2=x+k有惟一解,则实数k的范围是导学号 09025047( D )
A.k=-2    B.k∈(-2,2)
C.k∈[-1,1)    D.k=2或-1≤k<1
[解析] 由题意知,直线y=x+k与半圆x2+y2=1(y≥0只有一个交点.结合图形易得-1≤k<1或k=2.
6.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于导学号 09025048( C )
A.24   B.16   C.8   D.4
[解析] ∵四边形PAOB的面积S=2×12|PA|×|OA|=2OP2-OA2=2OP2-4,∴当直线OP垂直直线2x+y+10=0时,其面积S最小.
二、填空题
7.已知实数x、y满足x2+y2=1,则y+2x+1的取值范围为__ [34,+∞) __.导学号 09025049
[解析] 如右图所示,设P(x,y)是圆x2+y2=1上的点,则y+2x+1表示过P(x,y)和Q(-1,-2)两点的直线PQ的斜率,过点Q作圆的两条切线QA,QB,由图可知QB⊥x轴,kQB不存在,且kQP≥kQA.
 
设切线QA的斜率为k,则它的方程为y+2=k(x+1),由圆心到QA的距离为1,得|k-2|k2+1=1,解得k=34.所以y+2x+1的取值范围是[34,+∞).
8.已知M={(x,y)|y=9-x2,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠∅,则实数b的取值范围是__ (-3,32]__.导学号 09025050
 
[解析] 数形结合法,注意y=9-x2,y≠0等价于x2+y2=9(y>0),它表示的图形是圆x2+y2=9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得,当-3<b≤32时,直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)有公共点.
三、解答题
9.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.导学号 09025051
 
[解析] 以O为坐标原点,过OB、OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0)、C(0,8),所以直线BC的方程为x8+y8=1,即x+y=8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离,此时DE的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km.
10.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01 m)导学号 09025052
 
[解析] 如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A、B、P的坐标分别为(-18,0)、(18,0)、(0,6).
 
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A、B、P在此圆上,故有
182-18D+F=0182+18D+F=062+6E+F=0,解得D=0E=48F=-324.
故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得y=-24+126.
答:支柱A2P2的长约为126-24 m.
B级 素养提升
一、选择题
1.(2016•葫芦岛高一检测)已知圆C的方程是x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值为导学号 09025053( D )
A.9   B.14 C.14-65   D.14+65
[解析] 圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,圆心为C(-2,1),半径为3.|OC|=5,圆上一点(x,y)到原点的距离的最大值为3+5,x2+y2表示圆上的一点(x,y)到原点的距离的平方,最大值为(3+5)2=14+65.
2.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值范围为导学号 09025054( D )
A.(2,322)  B.(0,322)
C.(0,2)  D.(2,322)∪(322,+∞)
[解析] 圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2.由两直线平行,可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,直线l1与l2重合,舍去;当a=-3时,l1:x-y-2=0,l2:x-y+3=0.由l1与圆C相切,得b=|-1-2|2=322,由l2与圆C相切,得b=|-1+3|2=2.当l1、l2与圆C都外离时,b<2.所以,当l1、l2与圆C“平行相交”时,b满足b≥2b≠2,b≠322,故实数b的取值范围是(2,322)∪(322,+∞).
3.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为导学号 09025055( B )
A.106   B.206   C.306   D.406
[解析] 圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为252-12=46,所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD=12×10×46=206.
4.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为导学号 09025056( A )
A.4π5   B.3π4 C.(6-25)π   D.5π4
[解析] 原点O到直线2x+y-4=0的距离为d,则d=45,点C到直线2x+y-4=0的距离是圆的半径r,由题知C是AB的中点,又以斜边为直径的圆过直角顶点,则在直角△AOB中,圆C过原点O,即|OC|=r,所以2r≥d,所以r最小为25,面积最小为4π5,故选A.
二、填空题
5.某公司有A、B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路2 km和22 km,且A、B景点间相距2 km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设于__B景点在小路的投影处__.导学号 09025057
[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识,该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点,以小路所在直线为x轴,过B点与x轴垂直的直线为y轴上建立直角坐标系.由题意,得A(2,2)、B(0,22),设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2.由A、B在圆上,得a=0b=2,或a=42b=52,由实际意义知a=0b=2.∴圆的方程为x2+(y-2)2=2,切点为(0,0),∴观景点应设在B景点在小路的投影处.
6.设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若存在实数t,使得A∩B≠∅,则实数a的取值范围是__ [0,43]__.导学号 09025058
[解析] 首先集合A、B实际上是圆上的点的集合,即A、B表示两个圆,A∩B≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点),由于两圆半径都是1,因此两圆圆心距不大于半径之和2,即t-42+at-22≤2,整理成关于t的不等式:(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0,据题意此不等式有实解,因此其判别式不小于零,即Δ=16(a+2)2-4(a2+1)×16≥0,解得0≤a≤43.
C级 能力拔高
1.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.导学号 09025059
 
问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)
[解析]   如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O方程x2+y2=252.
 
直线AB方程:x40+y30=1,即3x+4y-120=0.
设O到AB距离为d,则d=|-120|5=24<25,
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t,则t=2252-24228=12(h)
答:外籍轮船能被海监船监测到,时间是0.5 h.
2.已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?导学号 09025060
 
[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为:x2+y2=16(y≥0).
将x=2.7代入,得
y=16-2.72=8.71<3,
所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度,因此,货车不能驶入这个隧道.
将x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=16-a2.
所以,货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为16-a2 m.