第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
1.经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程,进一步体会不等式的模型思想,建立符号意识.
2.结合具体问题,了解不等式的意义.
3.探索并掌握不等式的基本性质.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示一元一次不等式的解集;会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.
5.通过经历用数轴表示不等式(组)的解集的过程,体会数形结合思想.
6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理,发展应用意识.
经历将一些实际问题抽象为不等式的过程,体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型,感受不等式、方程、函数之间的联系与区别,研究用不等式解决实际问题的方法.
1.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.
2.进一步感受数学和生活的联系,体会数学的价值.
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系,通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在此之前,学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,以此为基础展开不等式的学习,顺理成章.
本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.
根据学生现有的认知基础和认知特点,本章的设计主要有下列特点:
(1)提供丰富的实际背景.如等周问题、测树围研究树龄问题、打折销售问题等,这些都为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、丰富的背景.通过研究这些问题,可以进一步发展学生的符号意识,提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,发展模型思想.
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(2)突出知识之间的内在联系.不等式与方程、函数一样,都是反映客观事物变化规律及其关系的模型,函数能够刻画事物之间对应变化的过程,方程能够刻画某个变化过程的一瞬间,而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象.本章教科书充分注意了这三者之间的联系,并专设一节“一元一次不等式与一次函数”,意在引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函数、方程、不等式等重要的数学思想,发展几何直观.
具体来讲,第1节“不等关系”,用实例引入,使学生在归纳的过程中认识不等式模型,体会到生活中的不等关系大量存在,并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节“不等式的基本性质”,类比等式的基本性质研究不等式的基本性质,让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程,探索不等式的三条基本性质,使学生能够将不等式进行简单转化.第3节“不等式的解集”,用烟花引火线的实例引入,在建立不等式之后研究其解集及数轴表示,让学生结合实际意义来理解不等式的解集,并引导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节“一元一次不等式”,经历认识一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式,以及应用一元一次不等式的过程,逐步积累数学活动经验.本节设计了大量实际问题,如打折销售、知识竞赛等,意图是进一步培养学生的数学应用意识.第5节“一元一次不等式与一次函数”,研究一元一次不等式与一次函数的联系,发展学生对数学的综合认识,建立数学学科内部知识之间的联系,完善学生的认知结构,并运用这种联系解决一些简单的实际问题,发展学生的应用意识.第6节“一元一次不等式组”,将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题,再借助数轴确定其解集.
【重点】
1.不等式的基本性质.
2.不等式(组)的解法.
3.不等式(组)的解集及不等式(组)解集的数轴表示.
4.不等式与一次函数的关系.
【难点】
1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程.
2.不等式及不等式组的解法.
3.根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.
数学教学是数学活动的教学,是师生交流、互动和共同发展的过程,教学中,要将学生推到学习的前沿,注重发挥学生的学习主体性和主观能动性.
1.关注与旧知识的联系,提高思维能力.
有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始.教学过程中,要关注不等式、函数、方程的内在联系,不等关系与相等关系的辩证关系,要类比等式(方程)进行不等式的教学,这样不仅有利于学生认识不等式,而且可以使学生体会知识之间的内在联系,从整体上把握知识,发展学生的辩证思维.例如,在研究不等式的基本性质时,可以类比等式的基本性质,并比较其异同.
2.设置丰富的问题情境,体会知识的发生、发展过程.
教学中,要充分发挥教科书中“做一做”“想一想”“议一议”等栏目提供的问题情境,组织学生进行探究性学习.例如,在“不等关系”一节的教学中,要让学生经历探索不等式模型的形成过程,要给学生留有充分的思考与活动时间,使其初步体会学习不等式的价值,通过充分经历观察、试验、归纳、类比、概括和数学表示的过程,自然过渡到“模型化”,教师不要急于求成,要关注学生学习能力的提高.
3.恰当把握打牢基础与培养能力的关系.
不等式的基本性质、不等式(组)的解法及不等式(组)解集的数轴表示是学生后续学习的重要基础和必备技能,一定量的练习是完全必要的,
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但不宜停留在简单的模仿训练与机械记忆的层次上,更不必强调解不等式(组)的步骤,要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变为另一种形式,它的解集为什么能在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解集,发展其代数变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式(组)的基本训练要自始至终加以关注,而不宜一步到位突击训练.如解决一些实际问题时,建立不等式模型之后要关注其求解过程、结果的准确性、解释结果的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会解不等式(组)与解方程(组)的异同.
4.恰当把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考.
对于一元一次不等式(组)的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背景的题目的难度要控制在教科书例题、习题的难度以下,不要人为加大难度.相应地,教师要鼓励学生自主探索与合作交流,引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等活动.同时,要鼓励解法的多样性,如对某些实际问题,学生可用方程、函数知识处理,只要学生的解法合理,就应当予以鼓励,不必强求统一.重要的是发展学生的思维策略,促进学生一般数学观的建立.
5.关注学生的个体差异,提高学生的学习积极性.
教学过程中,要尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.《标准》指出:“学生的个体差异表现为认知方式与思维谋略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要.”本章教学要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出错,对学习有困难的学生,教师要耐心倾听他们的看法,适时引导,增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力的学生,要多提供一些材料,指导他们自学,发展他们的数学才能.例如,对于本章“读一读”中一元一次不等式组的应用的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实际问题,从中体会最优化思想.
1 不等关系
1课时
2 不等式的基本性质
1课时
3 不等式的解集
1课时
4 一元一次不等式
2课时
5 一元一次不等式与一次函数
2课时
6 一元一次不等式组
2课时
回顾与思考
1课时
1 不等关系
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1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义.
2.初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型.
1.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力.
2.在探索中发展学生归纳、猜想的能力及有条理地表达的能力.
培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,从交流中受益.
【重点】
1.不等式概念的总结.
2.建立不等关系.
【难点】 从现实情境中建立不等关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习课本有关知识.
导入一:
师:我们学过等式,等式的定义是什么?
生:表示相等关系的式子叫等式.
师:我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些含有不等关系的例子. (同学们各抒己见)
生1:每天我都比弟弟早起5分钟.
生2:我的年龄不小于13岁.
生3:我的体重不低于30公斤.
[设计意图] 通过这一活动,使学生体会到不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质.
导入二:
教师用课件出示商品图片,如:手机、电视、冰箱、电脑、电话等,说明规则:男、女生各派一名代表,看教师出示的商品,猜商品的价格,时间为一分钟,谁在一分钟之内猜出的商品多,谁就获胜.男先女后.
如:教师出示一部彩屏手机的图片,请学生猜价格.“高了”指所猜价格大于手机真实价格,“低了”指所猜价格小于手机真实价格,只有1460元才和这部手机的真实价格相等.
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通过游戏,大家也发现了相等是一种特殊情况,而不等是一般情况.现实生活中存在着大量的不等关系,研究这些不等关系有助于我们把握事物的变化规律.
[设计意图] 使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生的学习兴趣.
一、不等式的概念
思路一
[过渡语] 同学们,我们如何用式子来表示不等关系呢?现在我们来看下面的问题.
【课件1】 (1)如果某等腰三角形的底边长为a cm,这边上的高为4 cm,且这个三角形的面积不大于8 cm2,那么a应该满足的关系式为 (注意“不大于”的含义);
(2)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别为 a cm,b cm,c cm, 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 .
【课件2】 某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为x m(x≤5)的装潢条镶嵌(不计接缝),现有两种设计方案,如下图所示.
(1)填写下表:
通风口规格
x满足的关系式
正方形面积不大于1 m2
圆的面积不大于1.5 m2
(2)探究:
x/m
正方形的
面积/m2
圆的面
积/m2
S正与S圆
的关系
1
4
5
【课件3】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”)
[设计意图] 通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系.
思路二
[过渡语] 既然不等关系在现实生活中并不少见,那么大家肯定接触过不少,如何用式子表示不等关系呢?请看下面的问题.
【课件1】 如图所示,用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
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(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2, 那么绳长l应满足怎样的关系式?
(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?改变l的取值再试一试,由此你能得到什么猜想?
【课件2】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”)
[设计意图] 通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重要模型,并初步感知最优化思想.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是不等式,现在我们通过下面的例题来看看同学们理解得怎么样.
(补充例题)用不等式表示下列关系.
(1)a是正数;
(2)a是负数;
(3)a与6的和小于5;
(4)x与2的差不小于-1;
(5)x的4倍不大于7;
(6)y的一半小于3.
解:(1)a>0.
(2)a0,b0 D.以上均不对
解析:根据数轴上的位置可知a>0,b0.
答案:(1)> (2)>
5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为 .
答案:3y+4xb. (3)x+175x. (2)x2≥0. (3)S1>S2(S1表示地球上的海洋面积,S2表示地球上的陆地面积). (4)x>2y(x表示老师的年龄,y表示你的年龄). (5)m1>m2(m1表示铅球的质量,m2表示篮球的质量).
3.解:(1)600x+100(10-x)≥4200. (2)8x+4(10-x)≤72.
4.解:(1)00,则ac>bc,>;若a>b,cbc2,则a>b.正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示的是不等式的解集,其中错误的是 ( )
5.如图所示,在数轴上表示某不等式的解集,则这个不等式可能是 ( )
A.3x≤1 B.3x≤-1
C.3x≥1 D.3x≥-1
【能力提升】
6.不等式x≤3的正整数解是 .
7.若二次根式有意义,则x的取值范围是 .
8.不等式-9+3x≤0的非负整数解的和为 .
9.如果2-3a1;②x4的解集,解集应为x>5;④是正确的.故选A.
正解:A
易错点 在数轴上表示不等式的解集时出错
将不等式x≥1的解集表示在数轴上.
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错解:如下图所示.
错因分析:在数轴上表示不等式的解集时,易忽略实心圆点与空心圆圈的区别.解集x≥1包括边界点1,故在数轴上表示1的点的位置上应该用实心圆点表示,而空心圆圈则表示解集中不包括x=1,所以这种表示方法是错误的.
正解:如下图所示.
4 一元一次不等式
1.经历一元一次不等式概念的形成过程.
2.会解一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
3.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题,并初步感知实际问题对不等式解集的影响.
1.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的思维习惯,积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验.
2.提高学生运用已有知识及生活经验解决问题的能力.
3.引导学生感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.
通过引导学生主动探究、分析、解决实际问题,培养学生自主参与的学习态度与合作交流的学习方法,并能使学生感受到成功的喜悦,培养学生发现生活、热爱生活的情感.
【重点】 一元一次不等式的解法和实际应用.
【难点】 一元一次不等式的应用.
第课时
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会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
让学生经历一元一次不等式概念的形成过程,通过类比理解一元一次不等式的定义.
通过一元一次不等式的学习,提高学生的自主学习能力,激发学生的探究兴趣.
【重点】 掌握一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来.
【难点】 一元一次不等式的解法.
【教师准备】 多媒体课件、直尺.
【学生准备】 复习上一节不等式的解集的含义.
导入一:
【问题】 (1)不等式的三条基本性质是什么?
(2)运用不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a(x≥a)”或“x.
这些不等式有哪些共同特点?
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总结:这些不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
注意三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的左右两边都是整式.
[设计意图] 引导学生通过对上述不等式的观察、比较,发现其共同特征,结合一元一次方程的概念,学生不难得出一元一次不等式的概念.让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转化的意识.
思路二
[过渡语] 只含有一个未知数,未知数的指数是一次,这样的方程叫做一元一次方程,那么类比一元一次方程的概念,同学们能不能总结出一元一次不等式的概念?
类推:只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式.
下列不等式是一元一次不等式吗?
(1)2x-2.5≥15; (2)5+3x>240;
(3)x1.
(三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的两边都是整式.)
总结:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
[设计意图] 引导学生用类比的方法自己总结出一元一次不等式的概念,并能总结出一元一次不等式的基本特点.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是一元一次不等式,下面我们通过几个例题来学习一下一元一次不等式的解法.
(教材例1)解不等式3-x1,
因此存在整数m=7,使关于x的不等式1+>+与x+1>为同解不等式,且不等式的解集为x>1.
第课时
1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法.
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题.
通过分析实际问题中的不等关系,建立不等式模型,通过对不等式的求解解决实际问题,提高学生分析问题和建立数学模型的能力.
通过利用一元一次不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣与信心.
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【重点】 一元一次不等式的应用.
【难点】 将实际问题抽象成数学问题的思维过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节一元一次不等式的解法.
导入一:
【问题】 解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上.
(1)-3时,2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
思路二
[过渡语] 大家还记得一次函数吗?请举一个简单的例子.
生:如y=2x-5为一次函数.
师:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0.因此当x>时,2x-5>0.
(3)同理可知,当x1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们探讨了一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系,下面我们看两个例题,看同学们能不能解决.
(补充例题)如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时,y>0?
解:首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:
从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x0.
(教材做一做)兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?
解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1 m,弟弟跑过的路程为y2 m,
根据题意,得y1=4x,y2=3x+9,
画出函数图象如图所示:
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由图象可知:
(1)当00? (2)y=0? (3)y0,得x4时,一次函数y=-3x+12中的yy2?
解:根据题意得不等式5+x>-2x+2,
解得x>-1.即当x>-1时,y1>y2.
7.声音在空气中的传播速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间满足关系式:y=x+331.求音速超过349 m/s时的气温满足什么条件.
解:根据题意得不等式x+331>349,
解得x>30.
即音速超过349 m/s时的气温满足x>30.
8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国营出租车公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算?
(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租哪家车合算?
解:由图象可知:
(1)每月行驶的路程小于1500 km 时,租国营出租车公司的车合算.
(2)当每月行驶的路程为1500 km时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租个体车主的车合算.
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第1课时
一、一元一次不等式与一次函数之间的关系
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第50页随堂练习.
【选做题】
教材第51页习题2.6的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数y=8x-11,要使y>0,则x应满足 ( )
A.x> B.x< C.x>0 D.x
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