26.2.3求二次函数的表达式.ppt

求二次函数的表达式 练习 1 练习 2 思想方法 应用举例 一般式 顶点式 交点式 例 2 应用 例 1 尝试练习 二次函数的几种表达式及求法 前　言 二次 函数解析式 练习 3 小　结 一般式 顶点式 交点式 平移式 例 3 平移式 练习 4 二次函数 是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题， 又有 解答题 ，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用 一般式、顶点式、交点式 求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键。 一、二次函数常用的几种表达式的确定 已知抛物线上三点的坐标， 通常选择一般式。 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值）， 通常选择顶点式。 已知抛物线与 x 轴的交点坐标或对称轴，选择交点式。 1 、一般式 2 、顶点式 3 、交点式 4 、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数用顶点式表示，再根据“左加右减，上加下减“的法则，即可得出所求新函数的表达式。 二、求二次函数表达式的思想方法 1 、 求二次函数表达式的常用方法： 2 、求二次函数表达式的 常用思想： 3 、二次函数表达式的最终形式： 待定系数法、配方法、数形结合等。 转化思想 解方程或方程组 无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般式。 例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其表达式。 解法一： 一般式 设表达式为 ∵ 顶点 C （ 1 ， 4 ）， ∴ 对称轴 x=1. ∵A(-1,0) 关于 x=1 对称， ∴B （ 3 ， 0 ）。 ∵A(-1,0) 、 B （ 3 ， 0 ）和 C （ 1 ， 4 ）在抛物线上， ∴ 即： 三、应用举例 例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其表达式。 解法二：顶点式 设表达式为 ∵ 顶点 C （ 1 ， 4 ） ∴ 又∵ A(-1,0) 在抛物线上， ∴ ∴ a = -1 即： ∴ ∴ h=1, k=4. 三、应用举例 解法三：交点式 设表达式为 ∵ 抛物线与 x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0) 、 B （ 3 ， 0 ） ∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C （ 1 ， 4 ）在抛物线上 ∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即： 例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其表达式。 三、应用举例 评析： 本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。 近年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。 例 2 、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB 是 12 米，当水位是 2 米时，测得水面宽度 AC 是 8 米。 （ 1 ）求拱桥所在抛物线的表达式； （ 2 ）当水位是 2.5 米时，高 1.4 米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。 三、应用举例 即： ∴ 　 E F a = -0.1 解：（ 1 ）、由图可知：四边形 ACBO 是等腰梯形 过 A 、 C 作 OB 的垂线，垂足为 E 、 F 点。 ∴ OE = BF = （ 12-8 ） ÷2 = 2 。 ∴O （ 0 ， 0 ）， B （ -12 ， 0 ）， A （ -2 ， 2 ）。 设解析式为 又 ∵ A （ -2 ， 2 ）点在图像上， 三、应用举例 例 2 、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB 是 12 米，当水位是 2 米时，测得水面宽度 AC 是 8 米。 （ 1 ）求拱桥所在抛物线的表达式； （ 2 ）当水位是 2.5 米时，高 1.4 米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。 P Q (2) 、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。 y = 水位 + 船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6 解： ∵ ∴ ∴ 顶点（ -6 ， 3.6 ） , 当水位为 2.5 米时， ∴ 船不能通过拱桥。 PQ 是对称轴。 复习二次函数四种平移关系 例 3 、将抛物线 向左平移 4 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，求平移后所得抛物线的表达式。 解法： 将二次函数的表达式 转化为顶点式得： (1) 、由 向左平移 4 个单位得： （左加右减） （ 2 ）、再将 向下平移 3 个单位得 （上加下减） 即：所求的表达式为 三、应用举例 1 、已知二次函数的图像过原点，当 x=1 时， y 有最小值为 　　 -1 ，求其表达式。 ∴ 四、尝试练习 解： 设二次函数的表达式为 ∵ x = 1, y= -1 , ∴ 顶点（ 1 ， -1 ）。 又（ 0 ， 0 ）在抛物线上， ∴ a = 1 即： ∴ ∴ 2 、已知二次函数与 x 轴的交点坐标为（ -1 ， 0 ） , （ 1 ， 0 ），点（ 0 ， 1 ）在图像上，求其表达式。 解： 设所求的表达式为 ∵ 抛物线与 x 轴的交点坐标为（ -1 ， 0 ）、（ 1 ， 0 ） ∴ 又∵点（ 0 ， 1 ）在图像上， ∴ a = -1 即： ∴ ∴ ∴ 四、尝试练习 3 、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为 3.6m ，跨度为 7.2m ．一辆卡车车高 3 米，宽 1.6 米，它能否通过隧道？ 四、尝试练习 即当 x= OC=1.6÷2=0.8 米时，过 C 点作 CD⊥AB 交抛物线于 D 点，若 y=CD≥3 米，则卡车可以通过。 分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高 3 米是否超过其位置的拱高。 四、尝试练习 3 、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为 3.6m ，跨度为 7.2m ．一辆卡车车高 3 米，宽 1.6 米，它能否通过隧道？ 解：由图知： AB=7.2 米， OP=3.6 米，，∴ A （ -3.6 ， 0 ）， B （ 3.6 ， 0 ）， P （ 0 ， 3.6 ）。 又∵ P （ 0 ， 3.6 ）在图像上， 当 x=OC=0.8 时， ∴ 卡车能通过这个隧道。 四、尝试练习 4 、将二次函数 的图像向右平移 1 个单位， 再向上平移 4 个单位，求其表达式。 解： ∵ 二次函数表达式为 （ 1 ）、由 向右平移 1 个单位得： （左加右减） （ 2 ）、再把 向上平移 4 个单位得： （上加下减） 即：所求的表达式为 五、小结 1 、二次函数常用表达式 . 已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 . 已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 . 已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ， 通常选择交点式。 3. 确定二次函数的解析式的 关键 是 根据条件的特点， 恰当地 选择 一种函数表达式 ， 灵活应用 。 一般式 顶点式 交点式 2 、求二次函数表达式的一般方法： 已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。 平移式 谢谢！