人教版八年级上《第12章全等三角形》复习课件(共104张PPT).ppt

第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 课前预习 1. 已知△ ABC≌△DEF,∠A=45°,∠B=65°,DF=12 cm, 则∠ F= ,AC= . 2. 如下图，△ A′B′C′ 是由△ ABC 绕点 B 旋转某一角度得到的，则试写出△ A′B′C′ 和△ ABC 中对应相等的边有 、 、 . 70° 12cm A′B′=AB B′C′=BC A′C′=AC 3. 如下图所示，△ ABC≌△CDA ，并且 AB=CD ，下列结论中错误的是（ ） A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 4. 若△ ABC≌△DEF, 且 AB=8 cm ,BC=6 cm,AC= 7 cm ，那么 DF 的长为 （ ） A.8 cm B.6 cm C.7 cm D.5 cm D C 课堂精讲 知识点 1. 全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形关注的是两个图形的形状和 大小，而不是图形所在的位置．看两个图形是否为全等形，只要把它们叠 合在一起，看是否能够完全重合即可 . 【 例 1】 下列四个图形中，全等的图形是（　　） 　 A ． ① 和 ② B ． ① 和 ③ C ． ② 和 ③ D ． ③ 和 ④ 解析 : 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做 全等形可得答案．③和④可以完全重合，因此全等的图 形是③和④． 答案： D 变式拓展 1. 下面是 5 个全等的正六边形 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，请你仔细观察 A 、 B 、 C 、 D 四个图案，其中与 E 图案完全相同的是 . C 知识点 2 全等三角形的概念和表示方法 (1) 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (2) 全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的 是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一 起是否重合，与它们的位置没有关系．把两个全等的 三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合 的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． （ 3)“ 全等 ” 用 表示，读作“全等于”，记两个三角形 全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置 上 . 【 例 2】 如右图 . 已知△ ABC ≌△ ADE ，写出其对应顶 点、对应边、对应角 . 解析：找对应元素，有一简便方法：先结合图形判断 已知条件中的“△ ABC ≌△ ADE ”是否按照对应顶点 的字母顺序写的，如果确认顺序正确，则可以按照以 下顺序： ≌ 写出它们的对应边： AB 与 AD 、 BC 和 DE 、 AC 与 AE ，类似地，可以写出它们的对应 顶点、对应角 . 答案： 对应顶点有 A 与 A 、 B 、与 D 、 C 与 E ；对应边有 AB 与 AD 、 BC 与 DE 、 AC 与 AE ；对应角有∠ ABC 与 ∠ ADE 、∠ ACB 与∠ AED 、∠ BAC 与∠ DAE. 变式拓展 2. 如下图所示，△ ABC≌△BAD ，且 AC=BD. 写出这两个三角形的其他对应边和对应角 . 解：其他的对应边有 AB=BA,BC=AD; 其他的对应角有∠ CAB= ∠ DBA, ∠ ABC= ∠ BAD, ∠ C= ∠ D. 知识点 3 全等三角形的性质 （ 1 ）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应 角相等 . （ 2 ）运用全等三角形的性质可以证明两条线段相等、 两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形 或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边 或对应角，牢牢抓住“对应”二字 . 【 例 3】 如下图，△ EFG ≌△ NMH ，在△ EFG 中， FG 是最 长边，在△ NMH 中， MH 是最长边，∠ F 和∠ M 是对应角 ,EF=2.1 cm ,EH=1.1 cm ， HN=3.3 cm . (1) 写出其他对应边及对应角； (2) 求线段 NM 及线段 HG 的长度 . 解析： (1) 根据△ EFG ≌△ NMH 的对应关系写出 其他对应边及对应角； (2) 因为线段 NM 和线段 EF 是对应边 . 所以 NM=EF=2.1 cm ，要求线段 HG ，可先求线段 EG 的 长，而 GE=HN=3.3 cm . 解： (1) ∵△ EFG ≌△ NMH, ∴最长边 FG 和 MH 是对应边， 其他对应边是 EF 和 NM 、 EG 和 NH ；对应角是∠ E 和∠ N 、 ∠ EGF 和∠ NHM. (2) 由 (1) 知 NM=EF=2.1 cm ,GE=HN=3.3 cm , ∴ HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2( cm ). 变式拓展 3. 如下图，△ ABC 沿直线 BC 向右平移线段 BC 长的距离后与△ ECD 重合，则△ ABC ≌ ，相等的边有 、 、 ，相等的角有 、 、 . △ ECD AB=EC BC=CD AC=ED ∠ ABC= ∠ ECD ∠ ACB= ∠ EDC ∠ A= ∠ E 随堂检测 1. 下列图形是全等形的是 ( ) 2. 已知△ ABC≌△DEF ， A 与 D ， B 与 E ， C 与 F 分别为对应顶点，若 AB=7cm ， BC=5cm ， AC=8cm ，则 EF= （　　） A ． 5cm B ． 6cm C ． 7cm D ． 8cm D A 3. 如图，△ ACB≌△DCE ，∠ BCE=30° ，则∠ ACD 的度数为（　　） 　 A ． 20° B ． 30° C ． 35° D ． 40° B 4 ．如图， △ ABC 与 △ BAD 全等，可表示为 ， ∠ C 与 ∠ D 是对应角， AC 与 BD 是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 . 5. 如图： △ ABE ≌△ ACD ， AB=10cm ，∠ A=60° ，∠ B=30° ，则 AD= 　 　 cm ，∠ ADC= 　 　 ． △ABC ≌ △BAD ∠ CBA 和∠ DAB 、∠ CAB 和∠ DBA AB 和 BA 、 CB 和 DA 5 90° 12.2 三角形全等的判定 12.2.1 三角形全等的判定 ——SSS 课前预习 1. 已知△ ABC 与△ DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF, 那么这两个三角形的关系为△ ABC △DEF. 2. 如右图，已知 AB=CD,AD=CB, 则△ ABC≌△CDA 的根据是 . ≌ SSS 3. 在下图中，若点 D 为 BC 的中点，若判定△ ABD≌△ACD 需添加条件 （边），理由是 . AB=AC SSS 4. 如下图，在△ ABC 中， AB=AC ， BE=CE ，则由“ SSS ” 可以判定 （ ） A. △ABD≌△ACD B. △BDE≌△CDE C. △ABE≌△ACE D. 以上都不对 C 课堂精讲 知识点 三角形全等的条件 —— 边边边（ SSS ）及其应用 (1) 判定：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边 边”或“ SSS ” . ①运用此法证两个三角形全等，应设法确定这两个三角形 的三条边分别相等．同时这个判定也告诉我们：当三角形 的三边确定后，其形状、大小也随之确定． ②书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，应把三个 条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在 等号的同一侧），并用大括号将其括起来： ③有些题目可以直接从已知中找出全等的条件，而有些题 目的已知条件是隐含在题设或图形之中的，如公共边、公 共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确地把握题 意，找准所需条件． （ 2 ）“ SSS ”的应用：证明两个三角形中的角相等或线平 行等，常通过证明两个三角形全等来解决 . 课堂精讲 【 例 1】 如图，在 △ ABC 和 △ EFD 中， AB=EF ， AC=ED ， 点 B ， D ， C ， F 在一条直线上． （ 1 ）请你添加一个条件，由 “ SSS” 可判定 △ ABC ≌△ EFD ． （ 2 ）在（ 1 ）的基础上，求证： AB ∥ EF ． 解析： （ 1 ）根据条件可以得出由 “ SSS” 可判定 △ ABC ≌△ EFD ，就需要三组对边分别相等，而条件告 诉了两组，只需要 FD=BC 或 FC=BD ．就可以得出结论； （ 2 ）由 △ ABC ≌△ EFD 就可以得出∠ B= ∠ F ，进而得出 AB ∥ EF ． 解： （ 1 ）当 FC=BD 时， △ ABC ≌△ EFD ， 理由：∵ FC=BD ， ∴ FC+CD=BD+CD ， 即 BC=DF ． 在 △ ABC 和 △ EFD 中， ∴△ ABC ≌△ EFD （ SSS ）． （ 2 ）∵△ ABC ≌△ EFD ， ∴∠ B= ∠ F ， ∴ AB ∥ EF ． 【 例 2】 如右图，△ ABC 是一个风筝架， AB=AC ， AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架 . 求证： AD ⊥ BC. 解析：要证 AD ⊥ BC ，根据垂直定义， 需证∠ 1= ∠ 2, 而 ∠ 1= ∠ 2 可由△ ABD ≌△ ACD 求得， 证明： ∵ D 是 BC 的中点，∴ BD=CD. 在△ ABD 和△ ACD 中， AB=AC ， BD=CD ， AD=AD ， ∴△ ABD ≌△ ACD( SSS ). ∴∠ 1= ∠ 2 （全等三角形的对 应角相等） . ∵∠ 1+ ∠ 2=180°( 平角的定义 ) ， ∴∠ 1= ∠ 2=90°. ∴ AD ⊥ BC （垂直的定义） . 课堂精讲 知识点 三角形全等的条件 —— 边边边（ SSS ）及其应用 变式拓展 1. 如下图， AB=CD ，若添加条件 ，则可根据“边边边”公理证得△ ABC ≌△ CDA. BC=AD 2. 如下图，四边形 ABCD 中， AB=CD ， AD=BC. 求证：∠ A= ∠ C. 证明：在△ ABD 和△ CDB 中， ∵ AB=CD ， AD=CB ， BD=DB ， ∴△ ABD ≌△ CDB(SSS), ∴∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等） . 随堂检测 1 ．如图，在 △ ACE 和 △ BDF 中， AE=BF ， CE=DF ，要利用 “ SSS” 证明 时，需增加的一个条件可以是 ( ) A.AB=BC B.DC=BC C.AB=CD D.AC=BC B 2. 如图，已知 AB=DC ，若要用 “ SSS” 判定 △ ABC ≌△ DCB ，应添加条件是 　 　 ． 3 ．如图， AE=DF ， CE=BF ， AB=CD ，得 = ，从而根据 ，得△ ACE ≌△ DBF. AC=DB AC BD SSS 4 ．已知，如图， AB=CD ， AC=BD ，则△ ABC ≌ ， △ ABC ≌ . △DCB △DAB 5. 如图， AB=DF ， AC=DE ， BE=FC ，问： △ ABC 与 △ DFE 全等吗？请说明你的理由． 解： △ ABC 与 △ DFE 全等．理由如下： ∵ BE=FC （已知）， ∴ BE+EC=FC+EC ，即 BC=FE ． 在 △ ABC 和 △ DFE 中， ∵ ∴△ ABC ≌△ DFE （ SSS ）． 12.2.2 三角形全等的判定 ——SAS 课前预习 1. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，用字母表示简写成 . 2. 如右图，只要 ，则△ ABC≌△ADC. ( ) A. AB=AD,∠B=∠D B. AB=AD,∠ACB=∠ACD C. BC=DC,∠BAC=∠DAC D. AB=AD,∠BAC=∠DAC SAS D 3. 如下图， AB 与 CD 相交于点 O ， AO=CO ，只需添加一个条件 . 就可用三角形全等的条件“边角边”证明△ AOD ≌△ COB. DO=BO 课堂精讲 知识点 三角形全等的条件 —— “边角边”（ SAS ） 及其应用 （ 1 ）判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角 形全等，简写成“边角边”或“ SAS ” . ①此方法包含 “ 边 ” 和 “ 角 ” 两种元素，必须是两边夹一 角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注 意元素的“对应”关系 . ②书写格式：   ③此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一， 易和“边边角” (“SSA”) 相混淆，误将 “ SAS” 的条件写成 “ SSA” 来证明两个三角形全等．在应用时，一定要按 “边一角一边”的顺序排列条件，不能出现“边一边 一角”的错误，因为“边边角”不能保证两个三角形 全等 . 如图所示，在 △ ABC 和 △ ABD 中， AB =AB ， AC=AD ， ∠ B= ∠ B ，但 △ ABC 与 △ ABD 不全等． （ 2 ）“ SAS ” 的应用：证明分别属于两个三角形中 的角相等或线段相等等问题，常用到证明两个三角形 全等来解决 .   【 例 1】 在 △ ABC 和 △ DEF 中，下列给出的条件，能用 “ SAS” 判定这两个三角形全等的是（　　） A ． AB=DE ， BC=DF ，∠ A= ∠ D B ． AB=EF ， AC=DF ，∠ A= ∠ D C ． AB=BC ， DE=EF ，∠ B= ∠ E D ． BC=EF ， AC=DF ，∠ C= ∠ F 解析： 根据选项中所给的条件结合 SAS 定理分别进行分析， 可选出答案．只有 BC=EF ， AC=DF ，∠ C= ∠ F 可以利用 SAS 证明 △ ABC 和 △ DEF 全等 . 答案： D   【 例 2】 已知，如下图， AB=AC ， AD=AE. 求证：∠ B= ∠ C. 解析：利用 SAS 证明两个三角形全等，∠ A 是公共角 . 证明： 在△ ABE 和△ ACD 中， AB=AC ，∠ A= ∠ A ， AE=AD. ∴△ ABE ≌△ ACD(SAS). ∴∠ B= ∠ C （全等三角形的对应角相等） .   变式拓展 1. 如下图，在△ ABC 和△ DEF 中，已知 AB=DE ， BC=EF ，根据“ SAS ” 判定△ ABC≌△DEF ，还需的条件是 （ ） A. ∠A=∠D B. ∠B=∠E C. ∠C=∠F D. 以上三个均可以   B 2. 如下图， AE=AC ， AB=AD ，∠ EAB= ∠ CAD. 求证：∠ B= ∠ D.   证明：∵∠ EAB= ∠ CAD, ∴∠ EAB+ ∠ BAD= ∠ CAD+ ∠ BAD, 即∠ EAD= ∠ CAB. 在△ ABC 和△ ADE 中， AB=AD （已知），∠ CAB= ∠ EAD （已证）， AC=AE （已知）， ∴△ ABC ≌△ ADE （ SAS ） ∴∠ B= ∠ D （全等三角形的对应角相等） . 随堂检测 1 ．在 △ ADF 和 △ BCE 中，若 AD=BC ，∠ A= ∠ B ，能直接利用 “ SAS” 证明△ ADF ≌△ BCE 的条件是 ( ) A.AE=BF B.DF=CE C.AF=BE D. ∠ CEB= ∠ DFA 2 ．如图， AB=AD ， AC=AE ，∠ BAC= ∠ DAE ，下列结论错误的是 ( ) A. ∠ B= ∠ D B. ∠ C= ∠ E C. BC=DE D.BC=AE C D 3 ．如图，在 △ ABC 和 △ DEF 中， AB ∥ DE 可以推出 ∠ = ∠ ，加上条件 AB=DE 和 ，可得到△ ABC ≌△ DEF, 根据是 . B DEF BC=EF SAS 4 ．如图， CD= CA ，∠ 1= ∠ 2 ， EC=BC ，求证： DE=AB ． 证明：∵ ∠ 1=∠2 ，∴ ∠ 2+∠ECA=∠1+∠ECA, 即 ∠ ECD=∠BCA ． 在 △ ECD 和 △ BCA 中， ∴△ ECD ≌△ BCA （ SAS ） ∴ DE=AB. 5. 已知：如图， AE=CF ， AD ∥ BC ， AD=CB ．问： △ ADF 与 △ CBE 全等吗？请说明理由． 证明：全等 . ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ A= ∠ C. 在 △ ADF 和 △ CBE 中， ∵ ∴△ ADF ≌△ CBE ． 12.2.3 三角形全等的判定 ——ASA 或 AAS 课前预习 1. 已知 AB=A′B′ ，∠ A= ∠ A ′ ，∠ B= ∠ B ′ ，则△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ 的根据是（ ） A.SAS B.SSA C.ASA D.AAS 2. 根据下列已知条件，能判定△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ 的是（ ） A. AB=A′B′ ， AC=A′C′ ，∠ C= ∠ C ′ B. ∠ A= ∠ A ′ ，∠ B= ∠ C ′ ， AB=A′B′ C. △ ABC 的周长等于△ A ′ B ′ C ′ 的周长 D. ∠ A= ∠ A ′ ，∠ C= ∠ C ′ ， AC=A′C′ C D 3. 下图中两个三角形全等的理由是 . 4. 如下图，已知 AB ∥ CD ，∠ ABC= ∠ CDA ，则由“ AAS ”直接判定△ ≌△ . AAS ABC CDA 课堂精讲 知识点 1. 三角形全等的条件 —— “角边角”（ ASA ）及 其应用 （ 1 ）判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角 形全等，简写成“角边角”或“ ASA ” . （ 2 ）用“ ASA ”来判定两个三角形全等，一定要证 明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相 等，证明时要加强对夹边的认识． （ 3 ）书写格式：如图所示，在△ ABC 和 △ A′B′C′ 中， 注意：在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边 相等写在中间，以突出边角的位置关系． （ 4 ）“ ASA ”的应用：在证明两个三角形中的角相 等或线段相等常通过三角形全等来解决 . 【 例 1】 如图，点 A 、 D 、 C 、 E 在同一条直线上， AB ∥ EF ， AB=EF ，∠ B= ∠ F ， AE=10 ， AC=7 ，则 CD 的 长为（　　） A ． 5.5 B ． 4 C ． 4.5 D ． 3 解析： 先证明 △ ABC ≌△ EFD ，得出 AC=ED=7 ，再求 出 AD=AE﹣ED=3 ，即可得出 CD=AC﹣AD=4. 解：∵ AB ∥ EF ， ∴∠ A= ∠ E ， 在 △ ABC 和 △ EFD 中， ∴△ ABC ≌△ EFD （ ASA ）， ∴ AC=ED=7 ， ∴ AD=AE﹣ED=10﹣7=3 ， ∴ CD=AC﹣AD=7﹣3=4 ． 答案： B 变式拓展 1. 如下图， O 是 AB 的中点，∠ A= ∠ B ，△ AOC 与△ BOD 全等吗？为什么？ 解：全等 . ∵在△ AOC 与△ BOD 中， ∠ A= ∠ B （已知） ,OA=OB （线段中点的定义） , ∠ AOC= ∠ BOD （对顶角相等） , ∴△ AOC ≌△ BOD （ ASA ） . 课堂精讲 知识点 2. 三角形全等的条件 —— “角角边”（ AAS ）及 其应用 （ 1 ）判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两 个三角形全等，简写成“角角边”或“ AAS ” . ①这一结论很容易由 “ ASA” 推得，将这一结论与 “ ASA” 结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一 条边对应相等，就可判定其全等． ②书写格式：如图所示，在 △ ABC 和 △ A′B′C′ 中， 注意： (1)“ 有两角和一边分别相等的两个三角形全等 ” 这句话正确吗？不一定正确，这是因为：假设这条边 是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三 角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的 边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全 等． (2) 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等， 如图所示， DE// BC ，则∠ ADE= ∠ B ，∠ AED= ∠ C ， ∠ A = ∠ A ，但 △ ADE 和△ ABC 不全等． （ 2 ）“ AAS ”的应用：证明角相等或线段相等可用 三角形全等来解决问题 . 【 例 2】 已知：如下图，△ ABC ≌△ A′B′C′ ， AD 、 A′D′ 分别是△ ABC 和△ A′B′C′ 的高 . 求证： AD=A′D′. 解析：已知△ ABC ≌△ A′B′C′ ，相当于已知它们的对应 边相等，对应角相等，在证明过程中，可根据需要， 选取其中的一部分相等关系 . 证明：∵△ ABC ≌△ A′B′C′, ∴ AB=A′B′, ∠ B= ∠ B′ （全等三角形的对应边、对应角 相等） . ∵ AD 、 A′D′ 分别是△ ABC 、△ A′B′C′ 的高（已知）， ∴∠ ADB= ∠ A′D′B′=90°. 在△ ABD 和△ A′B′D′ 中， ∠ B= ∠ B′, ∠ ADB= ∠ A′D′B′, AB=A′B′, ∴△ ABD ≌△ A′B′D′(AAS). ∴ AD=A′D′ （全等三角形的对应边相等） . 变式拓展 2. 如图所示， AD 为 △ ABC 的中线，且 CF ⊥ AD 于点 F ， BE ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 E ． 求证： BE= CF. 证明：∵ AD 为 △ ABC 的中线， ∴ BD= CD. ∵ BE ⊥ AD,CF ⊥ AD, ∴∠ BED= ∠ CFD= 90° ． △ BED ≌△ CFD(AAS) ． ∴ BE=CF. 随堂检测 1 ．下列判断中错误的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角 形全等 D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 B 2. 如图，要量湖两岸相对两点 A 、 B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C 、 D ，使 CD=BC ，再作出 BF 的垂线 DE ，使 A 、 C 、 E 在一条直线上，这时可得 △ ABC ≌△ EDC ，用于判定全等的是（　　） A ． SSS B ． SAS C ． ASA D ． AAS C 3 ．已知，如图，∠ B=∠DEF,AB=DE,△ABC≌△DEF. (1) 若以∠ ACB=∠DFE 得出△ ABC≌△DEF ， 依据是 ； (2) 若以 BC=EF 得出△ ABC≌△DEF ， 依据是 ； (3) 若以∠ A=∠D 得出△ ABC≌△DEF ， 依据是 . AAS SAS ASA 4. 如图，△ ABC 中， D 是边 BC 的中点，延长 AD 到点 E ，且 CE∥AB ，求证：△ ABD≌△ECD. 证明：∵ CE ∥ AB ， ∴∠ B= ∠ ECD ， ∵ D 为 BC 中点， ∴ BD=DC ， 在 △ ADB 和 △ EDC 中， ∴ △ ABD ≌△ ECD （ ASA ）． 5. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=90° ，过点 A 作任一直线 AN ， BD⊥AN 于 D ， CE⊥AN 于 E ，证明： DE=BD-CE. 证明：∵ BD ⊥ AN ,CE ⊥ AN, ∴∠ BDA= ∠ AEC=90° ， ∵∠ BAD+ ∠ EAC=90° ，∠ EAC+ ∠ ACE= 90° ， ∴∠ BAD= ∠ ACE. 在 △ ABD 和 △ CAE 中， ∴ BD=AE,AD=CE. ∴ DE=AE-AD=BD-CE. 12.2.4 三角形全等的判定 ——HL 课前预习 1. 如下图，点 P 是∠ BAC 内一点，且 P 到 AB 、 AC 的距离 PE=PF ，则△ PEA≌△PFA 的理由 （ ） A.HL B.AAS C.SSS D.ASA A 2. 如右图，△ ABC 与△ EDF 中∠ B=∠D=90°,∠A=∠E,B 、 F 、 C 、 D 在同一直线上，再添上下列条件，不能判断△ ABC≌△EDF 的是 （ ） A.AB=ED B.AC=EF C.AC∥EF D.BC=DF C 3. 如下图， AE ⊥ BD 于点 C ， AB=ED ， AC=EC ，求证：△ ABC ≌△ EDC. 证明：∵ AE ⊥ BD, ∴∠ ACB 和∠ ECD 是直角 . 在 Rt △ ABC 和 Rt △ EDC 中， AB=ED ， AC=EC ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ EDC. 课堂精讲 知识点 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“ HL ” （ 1 ）“ HL” 定理是直角三角形所独有的，对于 一般三角形不成立． （ 2 ）书写格式：如下图所示，在 和 中， （ 3 ）判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直 角三角形全等全部适用，至此我们可以根据 SSS ， SAS ， ASA ， AAS 和 HL 五种方法去判定两个直角三角形 全等，在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中 已具备一对直角相等的条件，故只需找另外丽个条件 即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方 法． 【 例 1】 如下图，已知 AB=AC ， AE=AF ， AE ⊥ EC ， AF ⊥ BF ，垂足分别是点 E 、 F. 求证：∠ 1= ∠ 2. 解析：由 HL 可证 Rt △ AEC ≌ Rt △ AFB. 得 ∠ BAF= ∠ CAE ，都减去∠ BAC ，从而∠ 1= ∠ 2. 证明： ∵ AE ⊥ EC ， AF ⊥ BF ， ∴△ AEC 、△ AFB 为直角三角形 . ∵ AE=AF ， AB=AC （已知） . ∴ Rt △ AEC ≌ Rt △ AFB(HL). ∴∠ EAC= ∠ FAB. ∴∠ EAC- ∠ BAC= ∠ FAB- ∠ BAC ，即∠ 1= ∠ 2. 【 例 2】 如下图所示，有两个长度相等的滑梯（即 BC=EF) ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向 的长度 DF 相等，则∠ ABC+ ∠ DFE= . 解析： 由 HL 可得两个直角三角形全等，把要求的两 角之和转化为一个直角三角形的两锐角之和 . 解： 由现实意义及图形提示可知 CA ⊥ BF ， ED ⊥ BF ， 即∠ BAC= ∠ EDF=90°. 又因为 BC=EF ， AC=DF ，可知 Rt △ ABC ≌ Rt △ DEF ，得∠ DFE= ∠ ACB. 因为 ∠ ACB+ ∠ ABC=90°, 故∠ ABC+ ∠ DFE=90°. 答案： 90° 变式拓展 1. 如下图，已知 AC=BD, ∠ C= ∠ D=90°, 求证： Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD. 证明：∵∠ C= ∠ D=90°, ∴△ ABC 与△ BAD 都是直角三角形 . 在 Rt △ ABC 与 Rt △ BAD 中， ∵ AB=BA,AC=BD, ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL). 2. 如右图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条 GF 与 GE ， E ， F 分别是 AD ， BC 的中点，可证得 Rt △ AGE ≌ , 理由是 ，于是 G 是 的中点 . Rt △ BGF HL AB 随堂检测 1 ．下列条件中，能使两个直角三角形全等的条件是 ( ) A ．两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C ．两锐角对应相等 D ．斜边相等 2 ．已知，如图，∠ A= ∠ D=90° ， BE=CF,AC=DE ，则 △ ABC ≌ . A △ DFE 3. 如图，已知∠ A= ∠ D=90° ， E 、 F 在线段 BC 上， DE 与 AF 交于点 O ，且 AB=CD ， BE=CF ．求证： Rt△ABF ≌ Rt△DCE ． 证明：∵ BE=CF ， ∴ BE+EF=CF+EF ，即 BF=CE ， ∵∠ A= ∠ D=90° ， ∴△ ABF 与 △ DCE 都为直角三角形， 在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中， ∴ Rt△ABF ≌ Rt△DCE （ HL ）． 4. 如图，在 △ ABC 中， AC=BC ，直线 l 经过顶点 C ，过 A ， B 两点分别作 l 的垂线 AE ， BF ， E ， F 为垂足． AE=CF ，求证：∠ ACB=90° ． 证明：如图，在 Rt△ACE 和 Rt△CBF 中， ∴ Rt△ACE ≌ Rt△CBF （ HL ）， ∴∠ EAC= ∠ BCF ， ∵∠ EAC+ ∠ ACE=90° ， ∴∠ ACE+ ∠ BCF=90° ， ∴∠ ACB=180°﹣90°=90° ． 三角形全等复习课 课堂精讲 知识点 . 判定两个三角形全等常用的思路和方法 【 例 1】 如图，已知 ∠ 1=∠2 ，则不一定能使 △ ABD≌△ACD 的条件是（　　） A ． BD=CD B ． AB=AC C ． ∠ B=∠C D ． ∠ BAD=∠CAD 解析： 利用全等三角形判定定理 ASA ， SAS ， AAS 对各个选项逐 一分析即可得出答案． A.∵∠1=∠2 ， AD 为公共边，若 BD=CD ，则 △ ABD≌△ACD （ SAS ）； B.∵∠1=∠2 ， AD 为公共边，若 AB=AC ，不符合全 等三角形判定定理，不能判定 △ ABD≌△ACD ； C.∵∠1=∠2 ， AD 为公共边，若 ∠ B=∠C ，则 △ ABD≌△ACD （ AAS ）； D.∵∠1=∠2 ， AD 为公共边，若 ∠ BAD=∠CAD ，则 △ ABD≌△ACD （ ASA ） . 答案： B 【 例 3】 在四边形 ABCD 中， ∠ ABC=∠ADC=90° ， BE⊥AC 于 E ， DF⊥AC 于 F ， CF=AE ， BC=DA ．求证： Rt△ABE≌Rt△CDF ． 解析： 根据全等三角形的判定定理 HL 证得 Rt△ADC≌Rt△CBA ， 在该全等三角形的对应边相等： DC=BA ，然后再由 HL 来证得 Rt△ABE≌Rt△CDF ． 证明： 如图，在 Rt△ADC 与 Rt△CBA 中， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA （ HL ）， ∴DC=BA ． 又 ∵ BE⊥AC 于 E ， DF⊥AC 于 F ， ∴∠AEB=∠CFD=90° ， 在 Rt△ABE 与 Rt△CDF 中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF （ HL ）． 变式拓展 1. 如图，已知 AD⊥BC ，若用 HL 判定 △ ABD≌△ACD ，只需添加的一个条件是 　 　 ． AB=AC 2. （ 2015 南宁模拟）如图， AB ， CD 相交于点 O ， AB=CD ， （ 1 ）请你添加一个条件使得△ AOB≌△COD ． （ 2 ）证明你的结论． 解：（ 1 ）添加条件： ∠ A=∠C ； （ 2 ）证明：在 △ AOB 和 △ COD 中， ∵ ∴△ AOB≌△COD （ AAS ）． 3. （ 2015 晋江市一模）如图， AB∥CD ， AB=CD ，点 E 、 F 在 AD 上，且 AE=DF ． 求证：△ ABE≌△DCF ． 证明： ∵ AB∥CD ， ∴∠A=∠D ， 在 △ ABE 和 △ DCF 中， ∴△ ABE≌△DCF （ SAS ）． 随堂检测 1. 如图，在下列条件中，不能证明△ ABD≌△ACD 的条件是（　　） 　 A ．∠ B=∠C ， BD=DC B ．∠ ADB=∠ADC ， BD=DC C ．∠ B=∠C ，∠ BAD=∠CAD D ． BD=DC ， AB=AC A 2. 如图， BD⊥AC ， CE⊥AB ，垂足分别为 D ， E ， BE=CD ，则 △ 　 　 ≌△ 　 　 ，理由是 　 　 ． BEC CDB HL 3. 已知：如图，点 E 、 C 、 D 、 A 在同一条直线上， AB∥DF ， ED=AB ，∠ E=∠CPD ．求证：△ ABC≌△DEF ． 证明： ∵ AB∥DF ， ∴∠B=∠CPD ， ∠ A=∠FDE ， ∵∠E=∠CPD ． ∴∠E=∠B ， 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∴△ABC≌△DEF （ ASA ）． 4. 如图， A 、 B 、 C 、 D 四点在同一条直线上， AB=CD ， EC=DF ， EC∥DF ．求证： △ ACE≌BDF ． 证明： ∵ AB=CD ， ∴AB+BC=CD+BC ，即 AC=BD ． 又 ∵ EC∥DF ， ∴∠ACE=∠BDF ． 在 △ ACE 与 △ BDF 中， ∴△ACE≌△BDF （ SAS ）． 5. 如图所示，已知 AC=BD ， ∠ CAB=∠DBA ．求证： （ 1 ） △ CAB≌△DBA ； （ 2 ） △ CAO≌△DBO ． 证明：（ 1 ）在 △ CAB 和 △ DBA 中， ∴△CAB≌△DBA （ SAS ）； （ 2 ）由（ 1 ）可知 △ CAB≌△DBA ， ∴∠C=∠D ， 在 △ CAO 和 △ DBO 中， ∴△CAO≌△DBO （ AAS ）． 12.3 角的平分线的性质 课前预习 1. 在用尺规作图得一个角的平分线时，是用下列哪种方法证明三角形全等的 （ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2. 如下图， AD 平分∠ BAC ，点 P 在 AD 上，若 PE ⊥ AB,PF ⊥ AC ，则 PE= . D PF 3. 如下图 , 已知 AD 是∠ BAC 的角平分线， DE ⊥ AB 于 E ，且 DE=3 cm ，则点 D 到 AC 的距离是 （ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm B 4. 如下图， PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC, 且 PD=PE ，连接 AP, 则∠ BAP ∠ CAP. = 课堂精讲 知识点 1. 画角的平分线的方法 作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺 规作图法，尺规作图法是常用的方法．尺规作图法的 步骤归纳如下： （ 1 ）以点 O 为圆心， OA 为半径画孤，交 OB 于 B. （ 2 ）分别以点 A ，点 B 为圆心，以 AB ， BA 为半径作孤， 两孤相交于点 D. （ 3 ）则射线 OD 为所求 . 【 例 1】 利用尺规平分如下图的钝角∠ AOB ，并写出 作图步骤 . 解： 作法 :(1) 以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D ，交 OB 于 E. (2) 分别以 D 、 E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧， 两弧在∠ AOB 的内部交于点 C. (3) 射线 OC 即为所求（如下图） . D 变式拓展 1. 如下图，先作∠ α 的邻补角，再画该邻补角的平分线 . 知识点 2. 角的平分线的性质 （ 1 ）内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相 等． （ 2 ）书写格式：如图所示，∵ OM 是∠ AOB 的平分线， C 是 OM 上一点， CE⊥OA 于点 E ， CF⊥OB 于点 F ， ∴ CE= CF. （ 3 ）运用角平分线的性质时应注意以下 3 个问题： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不 需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直 变式拓展 2. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B=90° ，若 BC=10 ， AD 平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ，且 BD:CD=2:3 ，则 D 点到线段 AC 的距离为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 D 知识点 3. 角平分线的判定 （ 1 ）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上 . （ 2 ）书写格式：如图所示，∵ PE⊥OA 于点 E ， PF⊥OB 于点 F ，且 PE=PF ，∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上． 【 例 3】 如下图，已知 BM 、 CN 是△ ABC 的两条角平分 线，且相交于点 P. 求证： P 点也在∠ BAC 的平分线上 . 解析： 要证 P 点在∠ BAC 的平分线上，即证 P 点到 AB 、 AC 距离相等 . 从已知可知： P 在 BM 上，∴ P 到 AB 、 BC 两 边的距离相等， P 又在 CN 上，∴ P 到 AC 、 BC 两边的距 离相等，从而由等量代换可得证 . 证明： 过点 P 作 PD 、 PE 、 PF 分别垂直于 AB 、 BC 、 CA ， 垂足分别为 D 、 E 、 F. ∵ BM 是∠ ABC 的平分线，点 P 在 BM 上， PD ⊥ AB ， PE ⊥ BC ， ∴ PD=PE （角平分线上的点到角的两边距离相等）， 同理 PE=PF ，∴ PD=PF. ∴ P 点在∠ BAC 的平分线上（到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上） . 变式拓展 3. 已知，如下图， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ， E ，且 PD=PE ，试证明点 P 在∠ AOB 的平分线上 . 证明：经过点 P 作射线 OC. ∵ PD ⊥ OA,PE ⊥ OB, ∴∠ PDO= ∠ PEO. 在 Rt △ PDO 和 Rt △ PEO 中， OP=OP ， PD=PE ， ∴ Rt △ PDO ≌ Rt △ PEO(HL), ∴∠ AOC= ∠ BOC, ∴ OC 是∠ AOB 的平分线，即 P 点在∠ AOB 的平分线上 . 随堂检测 1 ．到三角形三边距离相等的点是（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．不能确定 2. （ 2015 萝岗区一模）如图，在 Rt△ABC 中，∠ A=90° ， BD 平分∠ ABC ，交 AC 于点 D ，若 AB=4 ，且点 D 到 BC 的距离为 3 ，则 BD= 　 　 ． C 5 3. 已知：在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ． 请在线段 BC 上作一点 D ，使点 D 到边 AC 、 AB 的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 4. 如图，点 P 为∠ ABC 和∠ MAC 的平分线的交点．求证：点 P 在∠ ACN 的平分线上． 证明： 过 P 作 PE ⊥ BM 于 E ， PF ⊥ AC 于 F ， PG ⊥ BN 于 G ， ∵ P 为∠ ABC 和∠ MAC 的平分线的交点， ∴ PE=PF ， PE=PG ， ∴ PF=PG ， ∴点 P 在∠ ACN 的平分线上 5. 如图，在 △ ABC 中，∠ ABC=90° ， AB=8cm ， BC=6cm ，点 I 在∠ ABC 和∠ ACB 的平分线上． ID ⊥ BC 于点 D ，求 ID 的长． 解：∵∠ ABC=90° ， AB=8cm ， BC=6cm ， ∴ AC= = =10cm ， ∵点 I 在∠ ABC 和∠ ACB 的平分线上， ∴点 I 到 △ ABC 三边的距离相等，设为 hcm ， 则 S △ABC = （ 6+8+10 ） h= ×6×8 ， 解得 h=2 ， 即 ID 的长为 2cm ．