7.5三角形内角和定理课件.ppt

三角形内角和定理 【 义务教育教科书北师版八年级上册 】 学校： ________ 教师： ________ 情境引入 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它 们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴， 发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大 ，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“ 这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了 ……”“ 为什么？” 老二很纳闷 . 同学们，你们知道其中的道理吗？ 探究 1 把三个角拼在一起试试看？ 以前你用什么办法验证三角形内角和是 180º 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗 ? 探究 1 已知 : 如图 ∠ A ，∠ B ，∠ C 是 △ ABC 的内角 . 求证 :∠A+∠B+∠C=180 0 . 分析 : 延长 BC 到 D, 过点 C 作射线 CE∥AB, 这样 , 就相当于把∠ A 移到了∠ 1 的位置，把∠ B 移到了∠ 2 的位置 . 这里的 CD,CE 称为辅助线 , 辅助线通常画成虚线 . A B C E 2 1 3 D 探究 1 证明 : 作 BC 的延长线 CD ，过点 C 作 CE∥AB ，则 ∠1=∠A( 两直线平行，内错角相等 ), ∠2= ∠B( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵∠ 1+∠2+∠3=180 0 ( 平角的定义 ), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180 0 ( 等量代换 ). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗 ? 探究 1 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到 A 处，他过点 A 作直线 PQ∥BC( 如图 ) ，他的想法可以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . A B C P Q 2 3 1 探究 1 证明 : 过点 A 作 PQ∥BC ，则 ∠1=∠B( 两直线平行，内错角相等 ), ∠2=∠C( 两直线平行，内错角相等 ), 又∵∠ 1+∠2+∠3=180 0 ( 平角的定义 ), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180 0 ( 等量代换 ). A B C P Q 2 3 1 例 1 ．如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 38 ° ， ∠ C ＝ 62 ° ， AD 是 △ ABC 的角平分线，求 ∠ ADB 的度数 A D C B 例题讲解 解：在 △ ABC 中， ∠ B+ ∠ C + ∠ BAC=180 ° ( 三角形内角和定理 ) ， ∵ ∠ B=38 ° ， ∠ C=62 ° （已知）， ∴ ∠ BAC=180 ° - 38 ° - 62 ° =80 ° （等式的性质） ∵ AD 平分∠ BAC （已知）， ∴ ∠ BAD= ∠ CAD =1/2 ∠ BAC =40 ° ( 角平分线的定义 ) 在 △ ADB 中， ∠ B+ ∠ BAD+ ∠ ADB=180 ° ( 三角形内角和定理 ) ， ∵ ∠ B=38 ° （已知）， ∠ BAD=40 ° （已证）， ∴ ∠ ADB=180 ° - 38 ° - 40 ° =102 ° （等式的性质） 例题讲解 做一做 1 、在△ ABC 中 ,∠A=35°, ∠ B=43° ， 则∠ C= . 2 、在△ ABC 中 ,∠C=90°,∠B=50°, 则∠ A = ＿＿＿＿ . 3 、在△ ABC 中 , ∠A=40°, ∠ A=2∠B ， 则∠ C = ＿＿＿＿ . 102 0 40 0 120 0 做一做 4 、在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，∠ A 、∠ B 的平分线相交于点 E ，求∠ AEB 的度数． 解：∵在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ∴∠ A+∠B=90° ， ∵∠ A 、∠ B 的平分线相交于点 E ， ∴∠ EAB+∠EBA= （∠ A+∠B ） = ×90°=45° ， ∵∠ AEB+∠EAB+∠EBA=180° ， ∴∠ AEB=180°﹣ （∠ EAB+∠EBA ） =180°﹣45°=135° 探究 2 D B A C 不相邻内角 1 2 3 4 想一想： 外角与相邻内角有什么特殊关系？ 外角 ∠4+∠3=180° 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做 三角形的外角 . 相邻内角 观察与思考 探究 2 各有两个外角 ( 互为对顶角 ). 1 、每一个三角形有几个外角？ 2 、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3 、这些外角中有几对外角相等？ 有 3 对 外角相等 6 个外角 . 探究 2 证明：∵ ∠ 4 +∠2+ ∠3=180° （三角形内角和定理） 证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和 D A B C 1 2 3 4 已知：如图，∠ 1 是△ ABC 的一个外角 . 求证： ∠ 1= ∠2+ ∠3 ∴∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠ 1+ ∠4= 180° ∴∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 ( 等量代换 ) 探究 2 证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角 已知：如图，∠ 1 是△ ABC 的一个外角 . 求证： ∠ 1> ∠2, ∠1> ∠3 D A B C 1 2 3 证明 : ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠ 1> ∠2, ∠1> ∠3 探究 2 像这样 , 由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的 推论 推论可以当作定理使用 . 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角 . A B C D 1 2 3 三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和 . 推论 1: 推论 2: △ABC 中，∠ 1=∠2+∠3 △ABC 中，∠ 1 ＞∠ 2 ，∠ 1 ＞∠ 3 做一做 1 、已知：如图，在△ ABC 中，外角∠ DCA=100°, ∠A=45° 。 求：∠ B 和∠ ACB 的大小 . A B C D 解 :∵ ∠DCA 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ), ∴ ∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55° 又∵ ∠ DCA+∠BCA=180° ∴ ∠ACB=80°( 等式的性质 ). 100° 45° ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ). 做一做 2 、如图，在△ ABC 中，∠ C=90° ，∠ B=40° ， AD 是∠ BAC 的角平分线，求∠ ADC 的度数． 解：∵∠ C=90° ，∠ B=40° ， ∴∠ BAC=50° ， ∵ AD 是∠ BAC 的角平分线， ∴∠ BAD= ∠BAC=25° ， ∴∠ ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65° 例题讲解 A C D B E · 分析：要证明 AD ∥ BC , 只需要证明“同位角相等” , “ 内错角相等”或“ 同旁内角互补 ” . · 例 2 ：已知：如右图 , 在△ ABC 中， ∠ B = ∠ C ， AD 平分外角∠ EAC . 求证： AD ∥ BC . 例题讲解 A C D B E · 这里是运用了定理“ 同旁内角互补 , 两直线平行 ”得到了证实 . 证明 : 由证法 1 可得 : ∠ DAC =∠ C ( 已证 ), ∵ ∠ BAC +∠ B +∠ C =180 0 ( 三角形内角和定理 ). ∴ ∠ BAC +∠ B +∠ DAC =180 0 ( 等量代换 ). ∴ AD ∥ BC ( 同旁内角互补 , 两直线平行 ). · 例题讲解 例 3 ：已知：如图， P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . 求证： ∠ BPC ＞ ∠ A D B C A p 例题讲解 证明：如图，延长 BP ，交 AC 于点 D . ∵ ∠ BPC 是△ PDC 的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） . ∵ ∠ PDC 是△ ABD 的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） . ∴∠ BPC ＞ ∠ A 小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？  1 、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 0 2 、推论 1 ： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 推论 2 ： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 达标测评 1 ． △ABC 中，∠ A=50° ，∠ B=70° ，则∠ C 的度数是（　　） A ． 40° B ． 50° C ． 60° D ． 70° C 达标测评 2 ．如图所示， AD 、 BC 相交于 O 点，若∠ A=35° ，∠ B=56° ，∠ D=46° ，则∠ C 的度数是（　　） A ． 31° B ． 45° C ． 41° D ． 55° B D B C A O 达标测评 3 ． 如图，若△ ABC 的三条内角平分线相交于点 I ，过 I 作 DE⊥AI 分别交 AB 、 AC 于点 D 、 E ，则图中与∠ ICE 一定相等的角（不包括它本身）有（　）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 B 　 达标测评 4 ．三角形中，最大角等于最小角的 2 倍，最大角又比 另一个角大 20° ，则此三角形的最小角等于 （ ）． 　 40° 　 达标测评 5 ． 如图，△ ABC 中，∠ A=70° ，∠ B=60° ， CD 是∠ ACB 的平分线， DE⊥BC ， EF∥CD 交 AB 于 F ， 求∠ DEF 的度数 达标测评 解： ∵△ABC 中，∠ A=70° ，∠ B=60° ， ∴∠ ACB=50° ， ∵ CD 是∠ ACB 的平分线， ∴∠ DCB=25° ， ∵ EF∥CD ， ∴∠ FEB=25° ， ∵ DE⊥BC ， ∴∠ DEF 的度数为： 90°﹣25°=65° ． 拓展延伸 1 ． 如图，△ ABC 中， AD⊥BC 于点 D ， BE 平分∠ ABC ，若∠ EBC=32° ，∠ AEB=70° ． 若点 F 为线段 BC 上的任意一点，当△ EFC 为直角三角形时，求∠ BEF 的度数． 拓展延伸 解：分两种情况： ①当∠ EFC=90° 时，如图 1 所示： 则∠ BFE=90° ， ∴∠ BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58° ； ②当∠ FEC=90° 时，如图 2 所示： 则∠ EFC=90°﹣38°=52° ， ∴∠ BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20° ； 综上所述：∠ BEF 的度数为 58° 或 20° ． 布置作业 教材 183 页习题第 1 ， 2 题