人教版八年级上册《第13章轴对称》复习课件（共106张PPT）.ppt

第十三章 轴对称 13.1.1 轴对称和轴对称图形 课前预习 1. 下列黑体英文大写字母中，为轴对称图形的是（ ） 2. 下列四个图形中不是轴对称图形的是 （ ） D A 3. 下列几组图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是 （ ） 4. 如下图，每幅图中的两个图案成轴对称的有哪些？ B 图（ 4 ）（ 5 ）（ 7 ）中的两个图案成轴对称 课堂精讲 知识点 1. 轴对称与轴对称图形 （ 1 ）轴对称 把 — 个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对 称点 . （ 2 ）轴对称图形 ①定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直 线（成轴）对称 . 提示： 判断一个图形是否为轴对称图形，可利用轴 对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合， 能够完全重合，则这个图形为轴对称图形，反之，则 不是． ②常见轴对称图形及它们的对称轴 （ 3 ）轴对称和轴对称图形的区别与联系 . 【 例 1】 判断如下图中所示的图形是否关于某直线对 称 . 解析： 按照两个图形关于某直线对称的定义，只要 两个图形能够沿某条直线对折后重合在一起，这两个 图形就是成轴对称的 . 解： 图 (1) 和图 (3) 不是，图 (2) 和图 (4) 是 . 变式拓展 1. 下列图案中不是轴对称图形的是 （ ） Ｄ 2. 如图所示的标志中是轴对称图形的有 （ ） 　 A. 1 个　 B. 2 个 　 C. 3 个 　 D. 4 个 Ｃ 知识点 2. 轴对称和轴对称图形的性质 （ 1 ）轴对称的性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形 . ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线 . ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段 或延长线相交，那么交点在对称轴上 . （ 2 ）轴对称图形的性质： ①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线 . ②轴对称图形或关于某条直线对称的两个图形的对应 角相等，对应线段相等 . 【 例 2】 如图， △ ABC 和 △ A′B′C′ 关于直线 l 对称，下列 结论： (1) (2) ∠ BAC′= ∠ B′AC;(3)l 垂直平分 CC′ ； (4) 直 线 BC 和 B′C′ 的交点不一定在 l 上，其中正确的有 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析：由轴对称的性质可知 (1)(3) 正确；由于 (1) 正确， 所以∠ BAC= ∠ B′AC′ ，又因为∠ BAC+ ∠ CAC′= ∠ BAC′ ， ∠ B′AC′+ ∠ CAC′= ∠ B′AC ，所以∠ BAC′= ∠ B′AC ，所以 (2) 也正确；而在 (4) 中，由对称性可知交点一定在 l 上， 故 (4) 不正确． 答案： B 变式拓展 3. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD ，其中∠ B=40 ゜，∠ CAD=60 ゜，则∠ BCD= （　　） 　 A ． 160 ゜ 　 B ． 120 ゜ 　 C ． 80 ゜ 　 D ． 100 ゜ Ａ 随堂检测 1. 下列四个交通标志中，轴对称图形是（　　） 2. 下列图案中，属于轴对称图形的有几个（　　） 　 A ． 1 　　 B ． 2 　　 C ． 3 　　 D ． 4 Ｃ Ｃ 3. 在下列四个轴对称图形中，对称轴的条数最多的是（　　） 　 A ．等腰三角形　　　　 B ．等边三角形 　 C ．圆　　　　　　　　 D ．正方形 4. 如图，△ ABC 与△ DEF 关于 y 轴对称，已知 A （ ﹣4 ， 6 ）， B （ ﹣6 ， 2 ）， E （ 2 ， 1 ），则点 D 的坐标为（　　） 　 A ．（ ﹣4 ， 6 ）　　　　 B ．（ 4 ， 6 ） 　 C ．（ ﹣2 ， 1 ）　　　　 D ．（ 6 ， 2 ） Ｃ B 5. 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 α= 　　 ． 30° 13.1.2 　线段的垂直平分线 课前预习 1. 已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，下列正确的是 （ ） A. 与 AB 距离相等的点在 MN 上 B. 与点 A 和点 B 距离相等的点在 MN 上 C. 与 MN 距离相等的点在 AB 上 D. AB 垂直平分 MN 2. 已知线段 AB 及一点 P ， PA=PB=4 cm ，则点 P 在 AB 的 　　 上 . Ｂ 垂直平分线 3. 如下图，已知△ ABC ，用尺规作图作线段 AC 的垂直平分线 l （保留作图痕迹，不要求写作法、证明） 4. 画出下列各图形的所有对称轴 . 课堂精讲 知识点 1. 线段的垂直平分线及其性质 （ 1 ）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直 线，叫做这条线段的垂直平分线 ( 也叫线段的中垂线 ). （ 2 ）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两 个端点的距离相等 . （ 3 ）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上 . 如下图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， P 为 l 上一点， 则 PA=PB ；反过来，如果 PA=PB ，则点 P 在线段 AB 的垂 直平分线上 . 【 例 1】 如右图， AB=AD ， BC=DC ， E 是 AC 上的一点， 求证： BE=DE. 解析：欲证 BE=DE ，可考虑先证 AC 是 BD 的垂直平分线， 再根据线段的垂直平分线的性质得到 BE=DE. 证明：∵ AB=AD, ∴ A 在线段 BD 的垂直平分线上， 又∵ BC=DC, ∴点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴ AC 是线段 BD 的垂直平分线， 又∵点 E 在 AC 上，∴ BE=DE. 【 例 2】 如下图， AB=AC ， MB=MC ，直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 解析： 由 AB=AC ， MB=MC 可知， A 、 M 在线段 BC 的垂 直平分线上，由两点确定一条直线，可得直线 AM 是线 段 BC 的垂直平分线 . 解：∵ AB=AC,MB=MC, ∴点 A 、 M 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线 . 课堂精讲 变式拓展 1. 如下图，在△ ABC 中，已知 BC=7 ， AC=16 ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，求△ BEC 的周长 . 解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ BE=AE. ∴△ BEC 的周长 =BE+EC+BC=AC+BC=23. 2. 如下图， AD 是∠ BAC 的角平分线， DE ⊥ AB,DF ⊥ AC ，垂足分别为 E 、 F ，连接 EF ， EF 与 AD 交于点 G ，求证： AD 垂直平分 EF. 证明： AD 平分∠ BAC,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC, ∴ DE=DF. 又 AD=AD, ∴ Rt △ AED ≌ Rt △ AFD （ HL ），∴ AE=AF. ∴点 A 在 EF 的垂直平分线上，同理，点 D 也在 EF 的垂直平分线上 . ∴ AD 垂直平分 EF （两点确定一直线） . 课堂精讲 知识点 2. 线段的垂直平分线性质在实际生活中的应用 在实际生活中，有时需要找到两个或者两个以上距离 相等的点，这就要求作出以这两个点为端点的线段的 垂直平分线，从这条垂直平分线上找一个适合问题的 点就可以了 . 【 例 3】 某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC ，如图所 示，现要在道路 AB 的边缘上建一个休息点 M ，使它到 A ， C 两个点的距离相等．在图中确定休息点 M 的位置． 解析： 垂直平分线垂直且平分其所在线段； 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的 距离相等．作 AC 的垂直平分线交 AB 于 M ， 根据垂直平分线的性质得到 MA=MC ，则点 M 满足条件． 解： 作 AC 的垂直平分线交 AB 于 M 点，则点 M 为所求． 变式拓展 3. 如右图，有 A 、 B 、 C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在 （ ） A. 在 AC 、 BC 两边高线的交点处 B. 在 AC 、 BC 两边中线的交点处 C. 在 AC 、 BC 两边垂直平分线的交点处 D. 在 A 、 B 两内角平分线的交点处 Ｃ 课堂精讲 知识点 3. 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对 称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 . 因此， 我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直 平分线，就可以得到它们的对称轴 . 【 例 4】 如图，画出 △ ABC 关于 BC 对称的图形． 解析： 作 AA′ ⊥ BC ，使 BC 垂直平分 AA′ ，连接 A′B 、 A′C 即 可得解． 解： △ ABC 关于 BC 对称的图形如图所示． 变式拓展 4. 利用下图中的对称点，画出图形的对称轴 . 随堂检测 1. 如图，在 △ ABC 中，∠ B=30° ， BC 的垂直平分线交 AB 于 E ，垂足为 D ．若 ED=5 ，则 CE 的长为（　）　　 　 A ． 7 　　 B ． 8 　　 C ． 10 　　 D ． 12 Ｃ 2. 如图所示， A 、 B 、 C 分别表示三个村庄， AB=1000 米， BC=600 米， AC=800 米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在（　　） 　 A ． AB 中点 　 B ． BC 中点 　 C ． AC 中点 　 D ．∠ C 的平分线与 AB 的交点 A 3. 如图，△ ABC 中，∠ CAB=120° ， AB ， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E 、 F ，则∠ EAF= 　　　　 ． 60° 4. （ 2015 东莞一模）如图，△ ABC 的边 BC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D ，若△ ADB 的周长是 10cm ， AB=4cm ，则 AC= 　　　 cm ． 6 5. 如图， △ ABC 与 △ DEF 关于直线 l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线 l ． 13.2 　作轴对称图形 课前预习 1. 下图中，成轴对称图形的有 （ ） 　 A. 1 个 　 B. 2 个 　 C. 3 个　 D. 4 个 2. 小强看到的电子表的读数是　　　，那么他猜想从镜子里显示的时间为 （ 　） A. 10∶21 B. 10∶15 C. 12∶10 D. 12∶01 Ｂ Ａ 3. 点 P(5 ， 8) ， P′(-5 ， 8) 关于 对称 . ( 　 ) A. x 轴 B. y 轴 C. 原点 D. x=1 4. 在平面直角坐标系中点（ -1 ， 1 ）关于 y 轴的对称点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 Ｂ Ａ 课堂精讲 知识点 1. 轴对称变换   课堂精讲 知识点 1. 轴对称变换 【 例 1】 如图，将 △ ABC 变换到 △ A′B′C′ 的位置，则你从图中观察发现 下列说法正确的是（　　） A ．△ ABC 与△ A′B′C′ 是关于 x 轴对称的 B ．△ ABC 与△ A′B′C′ 是关于 y 轴对称的 C ．△ ABC 与△ A′B′C′ 是关于点 O 对称的 D ．△ ABC 与△ A′B′C′ 既关于 x 轴对称， 又关于 y 轴对称 解析：∵各对应点 A 和 A′ ； B 和 B′ ； C 和 C' 都在 y 轴两侧，∴△ ABC 与△ A′B′C′ 是关于 y 轴对称． 答案： B   变式拓展 1. 如下图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是 （ ）   B 课堂精讲 知识点 2. 作轴对称图形 轴对称图形的作法：①几何图形都可以看作由点组成， 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连 接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形 . ②对 于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图 形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这 些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 .   【 例 2】 作图：已知四边形 ABCD 和直线，画出与四边 形 ABCD 关于直线 h 的对称图形（保留作图痕迹）． 解析： 分别作各点关于直线 h 的对称点，顺次连接各 点即可． 解： 如图所示：   变式拓展 2. 如下图，已知△ ABC, 直线 MN. 求作△ A′B′C′ ，使△ A′B′C′ 与△ ABC 关于 MN 对称 .( 要求写出作法步骤 )   课堂精讲 知识点 3. 对称点的坐标特征 (1) 点 P(x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(x,-y) ，如下图 . (2) 点 P(x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P″(-x,y) ，如下图 . 规律总结： 关于某坐标轴对称的点的坐标规律：关于 x 轴对称 的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵 坐标相同，横坐标互为相反数 . 简记为：“横轴横不变，纵轴纵 不变” .   【 例 3】 已知点 A(4 ， 5) ，求点 A 关于坐标轴对称的点 的坐标 . 解析：在平面直角坐标系中，常见的对称关系有：① 关于 x 轴对称；②关于 y 轴对称，因此此题应分两种情 况求解 . 解：点 A 关于 x 轴的对称点坐标为（ 4 ， -5 ） ; 点 A 关于 y 轴的对称点坐标为（ -4 ， 5 ） .   变式拓展 3. 已知点 P （ 3 ， -2 ）与点 Q 关于 x 轴对称，则 Q 点的坐标为 （ ） A. （ -3 ， 2 ） B.(-3 ， -2) C.(3,2) D.(3,-2)   Ｃ 课堂精讲 知识点 4. 作关于坐标轴对称的图形 在平面直角坐标系中，作与一个图形关于 x 轴或 y 轴对 称的图形 . 对于这类问题，只要先求出已知图形中的一 些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，指出 并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形 .   【 例 4】 如图，在平面直角坐标系中， A （ 0 ， 1 ）， B （ ﹣2 ， 3 ）， C （ 4 ， 4 ）． （ 1 ）在图中作出 △ ABC 关于 x 轴的对称图形 △ A′B′C′ ； （ 2 ）写出 △ A′B′C′ 三个顶点的坐标． 解析：（ 1 ）分别作出点 A 、 B 、 C 关于 x 轴的对称的点， 然后顺次连接即可；（ 2 ）根据网格结构写出 △ A′B′C′ 三个顶点的坐标．   解：（ 1 ）所作图形如图所示： （ 2 ） A′ （ 0 ， ﹣1 ）， B′ （ ﹣2 ， ﹣3 ）， C′ （ 4 ， ﹣4 ）．   4. 在平面直角坐标系中， A （ 1 ， 2 ）， B （ 3 ， 1 ）， C （ ﹣2 ， ﹣1 ）． （ 1 ）在图中作出△ ABC 关于 y 轴的对称△ A1B1C1 ； （ 2 ）写出△ ABC 关于 x 轴对称△ A2B2C2 的各顶点坐标： 　 A 2 　　　　　 ； B 2 　　　　　 ； C 2 　　　　　 ．   （ 1 ， -2 ） （ 3 ， ﹣1 ） （ ﹣2 ， 1 ） 随堂检测 1. （ 2015 绵阳模拟）点 A （ 2 ， ﹣5 ）关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（　　） 　 A. （ ﹣2 ， 5 ）　　　　　 B. （ 2 ， 5 ） C. （ ﹣2 ， ﹣5 ）　　　　 D. （ 5 ， ﹣2 ） 2. （ 2015 茂名模拟）在直角坐标系中，如果点 A 沿 x 轴翻折后能够与点 B （ ﹣1 ， 2 ）重合，那么 A 、 B 两点之间的距离等于 　　　　 ． Ｂ 4 3. 2010 年上海上海成功举办了世博会，当时黄浦江边大幅宣传画上的“ 2010 ”，如下图所示 . 从对岸看，它在水中倒影所显示的数是 . 4. 如图，已知 △ ABC 和直线 l ，作出 △ ABC 关于直线 l 的对称图形 △ A′B′C′ ． 5010 5. 如图，已知 A （ 1 ， 2 ）， B （ 3 ， 1 ）， C （ 4 ， 3 ）． （ 1 ）作△ ABC 关于 y 轴的对称图形△ A 1 B 1 C 1 ，写出点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标； （ 2 ）作△ ABC 关于直线 m （直线 m 上各点的纵坐标都为 ﹣1 ）的对称图形△ A 2 B 2 C 2 ，写出点 C 关于直线 m 的对称点 C 2 的坐标． 13.3 　等腰三角形 13.3.1 　等腰三角形的概念与性质 课前预习 1. 有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是 （ ） A.3 cm ,4 cm ,5 cm B.4 cm ,8 cm ,5 cm C.3 cm ,7 cm ,7 cm D.2 cm ,3 cm ,4 cm 2. 在△ ABC 中， AC=BC ，那么在这三角形中，三线合一的线段是 （ ） A.∠BAC 的平分线、 BC 边上的高、 BC 边上的中线 B.∠ACB 的平分线、 AB 边上的高、 AB 边上的中线 C.∠ABC 的平分线、 AC 边上的高、 AC 边上的中线 D.∠ABC 的平分线， BC 边上的高、 BC 边上的中线 C Ｂ 3. 在△ ABC 中， AB=AC ，若∠ A=50°, 则∠ B= , ∠ C= ; 若∠ B=50°, 则∠ A= , ∠ C= . AAS ABC CDA 课堂精讲 知识点 1. 等腰三角形的有关概念 （ 1 ）等腰三角形的概念． 有两边相等的三角形是等腰三角形， （ 2 ）相关概念． 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边 叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫 做底角． 如图所示，在 △ ABC 中， AB ， AC 是腰， BC 是底边， ∠ A 是顶角，∠ B ，∠ C 是底角． ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如 内角和是 180 0 ，两边之和大于第三边等． ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是 研究它的重要方法． ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶 角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决， 这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方． ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是 锐角 . 【 例 1】 (1) 已知等腰三角形的一边等于 5 ，另一边等 于 6 ，则它的周长为 . (2) 已知等腰三角形的周长为 13 ，其一边长为 3 ，则其 他两边长为 . 解析： (1) 因为边为 5 和 6 ，没说底边还是腰，所以有 两种情况，可能是 5 ， 5 ， 6 ，也可能是 6 ， 6 ， 5 ，所 以周长为 16 或 17. (2) 长为 3 的边可能是底边也可能是腰，当 3 为底边时，其 他两边为 (13-3)÷2=5 ；当 3 为腰时，其他两边为 3 和 13- 3-3=7. ∵ 3+3=6 ＜ 7, ∴不能构成三角形，故舍去，只能是 5 ， 5. 答案： (1)16 或 17 (2)5 ， 5 . 变式拓展 1. 等腰三角形的两边边长分别为 3 cm 和 4 cm ，则它的周长为 　　　　　 . 11 cm 或 10 cm 课堂精讲 知识点 2. 等腰三角形的性质 (1) 性质 1 ：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “ 等边 对等角 ” ）． 应用模式：在△ ABC 中， 注意： (1) 这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相 等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明， 因而更简便． (2) 应用这个性质时，必须在一个三角形 中． (2) 性质 2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如下图所示，在 △ ABC 中，① AB=AC ， AD 平分 ∠ BAC ，∴ AD ⊥ BC ， BD=CD; ②∵ AB=AC,BD= CD, ∴∠ BAD= ∠ CAD,AD ⊥ BC ； ③∵ AB=AC, AD ⊥ BC ，∴∠ BAD=∠CAD,BD=CD. 注意： (1) 应用 “ 三线合一 ” 性质的前提条件必须是等腰 三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角 的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定 重合． (2) 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或 底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称 轴． 【 例 2】 如右图，已知房屋的顶角∠ BAC=100° ，过 屋顶 A 的立柱 AD ⊥ BC 于 D ，屋椽 AB=AC ，求顶架上∠ B 、 ∠ C 、∠ BAD 、∠ CAD 的度数 . 解析： 由已知条件知△ ABC 是等腰三角形，可得 ∠ B= ∠ C ，由 AD ⊥ BC 知 AD 是高，可知 AD 平分∠ BAC. 解： ∵ AB=AC ，∠ BAC=100°, ∴∠ B= ∠ C= (180°- ∠ BAC) = ×(180°-100°)=40°. AD ⊥ BC, ∴∠ BAD= ∠ CAD= ∠BAC= ×100°=50°. 变式拓展 2. 在△ ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC 交 BC 于点 D ， BC=4 cm ，则 CD= . 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ，求等腰三角形底角的度数 . 2 cm 随堂检测 1. 若等腰三角形的两内角度数比为 1 ： 4 ，则它的顶角为（　　）度． 　 A ． 36 或 144 　　　　　　 B ． 20 或 120 　 C ． 120 　　　　　　　　 D ． 20 2. （ 2015 潍坊一模）已知一个等腰三角形的两边长 a 、 b 满足方程组 　　　　，则此等腰三角形的周长为（　　） 　 A ． 5 　　 B ． 4 　　 C ． 3 　　 D ． 5 或 4 B B 3. 若等腰三角形的一边长为 3cm ，周长为 15cm ，则此等腰三角形的另两边长分别是 　　　　　　 ． 4. 如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=BC=BD ，∠ ABC=80° ，则∠ ADC 等于 　　　　 ° ． 6cm 、 6cm 140 5. 如图， D 为 △ ABC 边 BC 延长线上一点，且 CD=CA ， E 是 AD 的中点， CF 平分∠ ACB 交 AB 于点 F ．求证： CE ⊥ CF ． 证明：∵ CD=CA ， E 是 AD 的中点， ∴∠ ACE= ∠ DCE ． ∵ CF 平分∠ ACB ， ∴∠ ACF= ∠ BCF ． ∵∠ ACE+ ∠ DCE+ ∠ ACF+ ∠ BCF=180° ， ∴∠ ACE+ ∠ ACF=90° ． 即∠ ECF=90° ． ∴ CE ⊥ CF 13.3.2 　等腰三角形的判定 课前预习 1. 在△ ABC 中，若∠ A= ∠ C 那么 （ ） A. AB=BC 　　　　 B. AC=BC C. AC=AB 　　　　 D. 不能确定 2. 不满足△ ABC 是等腰三角形的条件是 （ ） A. ∠A=30°,∠B=30°,∠C=120° B. ∠A=45°,∠B=45°,∠C=90° C. ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° D. ∠A=60°,∠B=60°,∠C=60° A Ｃ 3. 在△ ABC 中，若∠ A∶∠B∶∠C=1∶1∶3 ，则这个三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 任意三角形 4. 在△ ABC 中 ,∠A=45°,∠B 的外角等于 90° ，那么△ ABC 等腰三角形（选填“是”或“不是”） . Ａ 是 课堂精讲 知识点 . 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： (1) 定义法：有两条边相等的 三角形是等腰三角形 . (2) 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） . 【 例 1】 如下图，已知 BD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ BC 交 AB 于 E. 求证：△ BED 是等腰三角形 . 解析： 首先，从“结论”出发，识别一个三角形是 等腰三角形，有两种方法：①是根据定义；②是根据 “等角对等边” . 然后看已知条件“角平分线”及 “平行”都能提供角的条件，所以应选择方法② . 解： ∵ BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ EBD= ∠ DBC. ∵ DE ∥ BC, ∴∠ EDB= ∠ DBC. ∴∠ EBD= ∠ EDB, ∴ EB=ED. 即△ BED 是等腰三角形 . 课堂精讲 变式拓展 1. 如图， OC 平分∠ AOB ， P 是 OC 上任意一点， PD∥OB 交 OA 于点 D ，求证：△ DOP 是等腰三角形． 解：∵ OC 平分∠ BOA ， ∴∠ AOC= ∠ BOC ． ∵ PD ∥ OB ， ∴∠ DPO= ∠ BOC ， ∴∠ DPO= ∠ AOC ， ∴ DP=DO ， ∴△ DOP 是等腰三角形． 2. 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△ AED 是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可） 等式：① AB=DC ，② BE=CE ，③∠ B=∠C ， 　　　④∠ BAE=∠CDE ． 已知： 求证：△ AED 是等腰三角形． 证明： 解：已知：①③（或①④，或②③，或②④） 证明：在 △ ABE 和 △ DCE 中 ∵ ∴△ ABE ≌△ DCE ； ∴ AE=DE ； △AED 是等腰三角形 随堂检测 1. （ 2015 邵阳一模）如图，在△ ABC ，∠ A=36° ，∠ B=72° ， AC 的垂直平分线分别交 AC 、 AB 于点 D ， E ，则图中等腰三角形的个数为（　　） 　 　 A ． 2 个　　 B ． 3 个　　 C ． 4 个　　 D ． 5 个 Ｂ 2. 如图，在△ ABC 中 AB=AC ，∠ A=36° ， BD 平分∠ ABC ，则∠ 1= 　　 度，图中有 　　 个等腰三角形． 72 ３ 3. 如图， △ ABC 中，∠ ACB=90° ， CD ⊥ AB 于 D ， AE 平分∠ BAC 交 CD 于 F ，交 BC 于 E ，试说明 △ CEF 是等腰三角形． 解：∵∠ ACB=90° ， ∴∠ B+ ∠ BAC=90° ， ∵ CD ⊥ AB ， ∴∠ CAD+ ∠ ACD=90° ， ∴∠ ACD= ∠ B ， ∵ AE 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ CAE= ∠ EAB ， ∵∠ EAB+ ∠ B= ∠ CFE ，∠ CAE+ ∠ DCA= ∠ CFE ， ∴∠ CFE= ∠ CEF ， ∴ CF=CE ， ∴△ CEF 是等腰三角形． 4. 如图， AD 平分∠ BAC ， BD⊥AD ， DE∥AC ， 求证：△ BDE 是等腰三角形． 证明：∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ EAD= ∠ CAD ， ∵ DE ∥ AC ， ∴∠ CAD= ∠ ADE ， ∴∠ EAD= ∠ ADE ， ∵ BD ⊥ AD ∴∠ ADE+ ∠ BDE=90° ， ∴∠ EAD+ ∠ B=90° ， ∴∠ BDE= ∠ B ， ∴ BE=DE ， ∴△ BDE 是等腰三角形． 13.3.3 　等边三角形的判定和性质 课前预习 1. 等边三角形的一边的长为 5 ，则此三角形的周长是 （ ） A. 10 　　 B. 15 　　 C. 20 　　 D. 25 2. 在△ ABC 中，如果 AB=AC ，∠ ABC=60° ，则△ ABC 是 （ 　） A. 直角三角形　　　 B. 等腰三角形 　　 C. 等边三角形　　　 D. 不能确定 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　） A ．有两个内角是 60° 的三角形　 B ．三边都相等的三角形 C ．有一个角是 60° 的等腰三角形 D ．有两个外角相等的等腰三角形 4. 边长为 2 的等边三角形的高为（　　） A ．１　　 B ． 2 　　 C ．　　　 D ． 2 Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 课堂精讲 知识点 1. 等边三角形及其性质 （ 1 ）等边三角形的概念． 三边都相等的三角形是等边三角形． （ 2 ）等边三角形的性质． ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于 60° ； ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角 形的一切性质． 【 例 1】 如右图，在等边△ ABC 中， D 是 AC 的中点， 延长 BC 到点 E ，使 CE=CD,AB=10. (1) 求 BE 的长； (2) 求∠ DBE 与∠ DEB 的度数 . 解析： (1) 由题意知 BE=BC+CE ； BC=AB=10.CE=CD= AC= AB=5. 由此可求 BE 的长 . (2) ∠ DBE= ∠ ABC=30°, 而∠ DEB= ∠ CDE ， 由三角形的外角可求∠ DEB 的度数 . 解： (1) ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB=AC=BC=10. 又∵ D 是 AC 的中点，∴ CD= AC=5. 又∵ CD=CE ，∴ CE=5. ∴ BE=BC+CE=10+5=15. (2) ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC= ∠ ACB=60°. 又∵ D 是 AC 的中点，∴ BD 平分∠ ABC. ∴∠ DBE= ∠ ABC=30°. 又∵ CD=CE, ∴∠ CED= ∠ CED. 而∠ ACB= ∠ CDE+ ∠ CED=60°, ∴∠ CED= ∠ CDE=30°, 即∠ DEB=30°. 课堂精讲 变式拓展： 1. 如图所示，已知等边三角形 ABC 的周长是 2a ， BM 是 AC 边上的高， N 为 BC 延长线上的一点，且 CN=CM ，求 BN 的长 . BN=a. 课堂精讲 知识点 2. 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有三种： (1) 定义法：三条边都相等； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形； (3) 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边；角形． 注意：在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知 条件确定选择用哪种方法证明， 若已知三边关系，一般选用 (1) ；若已知三角关系，一 般选用 (2) ；若已知该三角形是等腰三角形，则选用 (3) ． 【 例 2】 如下图，△ ABC 是等边三角形，且 ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3, 判断△ DEF 的形状，并简要说明理由 . 解析： 观察发现△ DEF 是等边三角形，由于已知角的 关系，可考虑利用“三个角都相等的三角形是等边三 角形”进行证明 . 解： △ DEF 是等边三角形 . 理由如下： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ABC= ∠ ACB= ∠ CAB=60°. ∵∠ 1= ∠ 2= ∠ 3, ∴∠ DFE= ∠ 3+ ∠ FAC= ∠ 1+ ∠ FAC= ∠ CAB=60°. 同理∠ DEF= ∠ EDF=60°. ∴△ DEF 是等边三角形 . 2. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB=120°,CD 平分∠ ACB,AE∥DC, 交 BC 的延长线于点 E ，试说明△ ACE 是等边三角形 . 随堂检测 1. 如图，若△ ABC 是等边三角形， AB=6 ， BD 是∠ ABC 的平分线，延长 BC 到 E ，使 CE=CD ，则 BE= （　　） 　 　　 　 A ． 7 　　 B ． 8 　　 C ． 9 　　 D ． 10 Ｃ 2. 已知：在△ ABC 中，∠ A=60° ，如要判定△ ABC 是等边三角形，还需添加一个条件． 现有下面三种说法： ①如果添加条件“ AB=AC” ，那么△ ABC 是等边三角形； ②如果添加条件“ tanB=tanC” ，那么△ ABC 是等边三角形； ③如果添加条件“边 AB 、 BC 上的高相等”，那么△ ABC 是等边三角形． 上述说法中，正确的说法有（　　） A ． 3 个　　 B ． 2 个　　 C ． 1 个　　 D ． 0 个 Ａ 3. 已知：如图， l∥m ，等边△ ABC 的顶点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20° ，则∠ α 的度数为（　　） 　 　 　　 A ． 60° 　 B ． 45° 　 C ． 40° 　 D ． 30° Ｃ 4. 如图， △ ABC 是等边三角形， AD 为中线， AD=AE ，则∠ EDC 的度数为 　　 ． 15° 5. 已知：如图，△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点，过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E ． （ 1 ）求证：∠ C=∠CDE ． （ 2 ）若∠ A=60° ，试判断△ DEC 的形状，并说明理由． 证明：（ 1 ）∵ AB=AC ， ∴∠ B= ∠ C ， ∵ DE ∥ AB ， ∴∠ CED= ∠ B ， ∴∠ C= ∠ CDE ； （ 2 ） △ DEC 是等边三角形， 理由：∵ DE ∥ AB ， ∴∠ DEC= ∠ A=60° ， 由（ 1 ）， △ DEC 是等腰三角形， ∴△ DEC 是等边三角形． 13.3.4 　含 30° 角的直角三角形 课前预习 1. 已知直角三角形中 30° 角所对的直角边为 2cm ，则斜边的长为（　　） A ． 2cm 　 B ． 4cm 　 C ． 6cm 　 D ． 8cm 2. 如下图， Rt △ABC 中，∠ A=30° ， BC=4 cm ，则 AB= cm ， BD= cm. 3. 一辆汽车 30° 角的山坡从山底开到山顶共走了 4000 米，那么这座山高度是 　 米 . Ｂ ８ ２ 2000 课堂精讲 知识点 . 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所 对的直角边等于斜边的一半 . 符号语言：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°, 若∠ B=30° ， 则 AC=AB. 【 例 】 如下图，在△ ABC 中，∠ C=90°, ∠ B=15 ， AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 M ， BD=8 cm ， 求 AC 的长 . 解析：∵∠ B=15° ，且△ ABD 可证为等腰三角形， ∴∠ ADC=30°, ∴ AC=AD, 从而得出结果 . 解：连接 AD, ∵ MD 垂直平分 AB. ∴ BD=AD=8 cm. ∴∠ BAD= ∠ B=15°. ∴∠ ADC= ∠ B+ ∠ BAD=30°. 在 Rt △ ACD 中，∠ ADC=30°, ∴ AC=AD=4 cm. 变式拓展 1. 如图，∠ ACB=90° ， CD ⊥ AB 于 D ， AB=2BC ，如果 CD=2 ，则 AC= 　　 ． ４ 2. 如图， △ ABC 中，∠ BAC=90° ， AD 是 △ ABC 的高，∠ C=30° ， BC=4 ，求 BD 的长． 解：如图，∵在 △ ABC 中，∠ BAC=90° ，∠ C=30° ， AD 是高， ∴∠ ADB=90° ，∠ BAD= ∠ C=30° ， ∴在直角 △ ABC 中， AB= 　 BC=2 ， ∴在直角 △ ABC 中， BD= 　 AB=1 ． ∴ BD 的长为 1 ． 随堂检测 1. 如图， AC=BC=10cm ，∠ B=15° ， AD⊥BC 于点 D ，则 AD 的长为（　　） 　 A ． 3cm 　 B ． 4cm 　 C ． 5cm 　 D ． 6cm C 2.Rt△ABC 中，∠ C=90° ，∠ B=30° ，则 AC 与 AB 两边的关系是 　　　 ． 3. 如图：△ ABC 中，∠ ACB=90° ， CD 是高，∠ A=30° ， BD=3cm ，则 AD= 　　　 cm ． AB=2AC 9 4. 如图△ ABC 中，已知 AB=AC ，∠ C=30° ， AB⊥AD ， AD=4cm ． 求： （ 1 ）∠ DAC 的度数． （ 2 ） BC 的长． 解：（ 1 ）∵ AB=AC ，∠ C=30° ， ∴∠ B=30° ， ∴∠ BAC=180°﹣30°﹣30°=120° ， ∵ AB ⊥ AD ， ∴∠ DAC=120°﹣90°=30° ， （ 2 ）∵ AD=4cm ，∠ B=30° ，∠ BAD=90° ∴ BD=8cm ， ∵∠ DAC=30°= ∠ C ， ∴ DC=AD=4cm ， ∴ BC=BD+DC=12cm ．