平面几何中的向量方法作业与测评-高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 知识点一 平行、垂直的问题 1.已知点 A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( ) A．A，B，C 三点共线 B.AB→⊥BC→ C．A，B，C 是锐角三角形的顶点 D．A，B，C 是钝角三角形的顶点 2．若 O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．(多选) 在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，如图，则下列等式成立的 是( ) A．|AC→|2＝AC→·AB→ B．|BC→|2＝BA→·BC→ C．|AB→|2＝AC→·CD→ D．|CD→|2＝ AC→·AB→× BA→·BC→ |AB→|2 4. 如图所示，半圆的直径 AB＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意 一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________． 5.如图，四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点，四边形 PFCE 是矩 形．试用向量法证明：AP⊥EF. 6.在△ABC 中，已知顶点 A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则 BC 边的中线 AD 的 长是( ) A．2 5 B.5 5 2 C．3 5 D.7 5 2 7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙O 上任一点(不与 A，B 重合)，求证： ∠APB＝90°(用向量法证明)． 8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝1 2 DC. 求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小． 9．△ABC 是等腰直角三角形，∠B＝90°，D 是 BC 边的中点，BE⊥AD 交 AD 于点 E，延长 BE 交 AC 于点 F，连接 DF.求证：∠ADB＝∠FDC. 一、选择题 1．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5，AC→·AB→＝5，则 AC 的长为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋CO→＝0，则△ABC 的内角 A 等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 3．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝120°，∠C＝150°，且 AB＝3，BC＝1， CD＝2，则 AD 的长所在区间为( ) A．(2,3) B．(3,4) C．(4,5) D．(5,6) 4．在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 |PA|2＋|PB|2 |PC|2 ＝( ) A．2 B．4 C．5 D．10 5．(多选)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b，满足AB→＝2a，AC→ ＝2a＋b，则下列结论正确的是( ) A．|b|＝2 B．|a|＝1 C．a∥b D．(4a＋b)∥BC→ 二、填空题 6．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(－3,4)，若点 C 在∠AOB 的 平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝________. 7．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP→＝1 5 AC→＋2 5 AB→，则△APB 的面积 与△APC 的面积之比为________． 8．如图所示，已知 O 为坐标原点，点 A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则 AC 和 OB 的交点 P 的坐标为________． 三、解答题 9．如图，已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 的两条对角线所 夹的锐角的余弦值． 10．如图所示，正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的一个三等分点， 且分别靠近点 A、点 B，AE，CD 交于点 P.求证：BP⊥DC. 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 知识点一 平行、垂直的问题 1.已知点 A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( ) A．A，B，C 三点共线 B.AB→⊥BC→ C．A，B，C 是锐角三角形的顶点 D．A，B，C 是钝角三角形的顶点 答案 D 解析 ∵BC→＝(－2,0)，AC→＝(2,4)，∴BC→·AC→＝－40)．又|OC→|＝2，所以λ＝ 10 15 ，所以OC→＝ － 10 5 ，3 10 5 . 7．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP→＝1 5 AC→＋2 5 AB→，则△APB 的面积 与△APC 的面积之比为________． 答案 1∶2 解析 由题意，得 5AP→＝AC→＋2AB→，得 2AP→－2AB→＝AC→－AP→－2AP→，得－2(PA→＋PB→) ＝PC→，如图所示，以 PA，PB 为邻边作▱ PAEB， 则 C，P，E 三点共线，连接 PE 交 AB 于点 O， 则PC→＝2EP→＝4OP→. 所以S△APB S△APC ＝2S△APO S△APC ＝2|OP| |PC| ＝1 2 . 8．如图所示，已知 O 为坐标原点，点 A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则 AC 和 OB 的交点 P 的坐标为________． 答案 3 2 ，3 2 解析 设OP→＝tOB→＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→－OA→＝(4t－3,4t)，AC→＝(2,1) －(3,0)＝(－1，1)． 由AP→，AC→共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0， 解得 t＝3 8 . ∴OP→＝(4t,4t)＝ 3 2 ，3 2 ，∴点 P 的坐标为 3 2 ，3 2 . 三、解答题 9．如图，已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 的两条对角线所 夹的锐角的余弦值． 解 (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)． ∴AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD→，∴AB⊥AD. (2)∵AB→⊥AD→，四边形 ABCD 为矩形，∴AB→＝DC→. 设点 C 的坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)． 又AB→＝(1,1)，∴ x＋1＝1， y－4＝1， 解得 x＝0， y＝5. ∴点 C 的坐标为(0,5)．∴AC→＝(－2,4)． 又BD→＝(－4,2)， ∴|AC→|＝2 5，|BD→|＝2 5，AC→·BD→＝8＋8＝16. 设AC→与BD→的夹角为θ，则 cosθ＝ AC→·BD→ |AC→||BD→| ＝ 16 2 5×2 5 ＝4 5 . 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为4 5 . 10．如图所示，正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的一个三等分点， 且分别靠近点 A、点 B，AE，CD 交于点 P.求证：BP⊥DC. 证明 设PD→＝λCD→，并设△ABC 的边长为 a， 则PA→＝PD→＋DA→ ＝λCD→＋1 3 BA→＝λ 2 3 BA→－BC→ ＋1 3 BA→ ＝1 3 (2λ＋1)BA→－λBC→，又EA→＝BA→－1 3 BC→. ∵PA→∥EA→， ∴1 3 (2λ＋1)BA→－λBC→＝kBA→－1 3 kBC→. 于是有 1 3 2λ＋1 ＝k， λ＝1 3 k. 解得λ＝1 7 . ∴PD→＝1 7 CD→. ∴BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋6 7 CD→＝BC→＋6 7 (BD→－BC→) ＝1 7 BC→＋4 7 BA→， 又CD→＝2 3 BA→－BC→， 从而BP→·CD→＝ 1 7 BC→＋4 7 BA→ · 2 3 BA→－BC→ ＝ 8 21 a2－1 7 a2－10 21 a2cos60°＝0. ∴BP→⊥CD→.∴BP⊥DC.