人教版高中数学必修4 2.5.1平面几何中的向量方法ppt课件

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题; 2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题; 3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂 直等问题.(重点、难点） 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背 景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、 夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此， 可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过 几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用. 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 对角线长度的平方=两邻边的平方和. 平行四边形有类似的数量关系吗？ 探究一（长度问题） 思考1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2， AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ 确定 A B CD 思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 则 向量 等于什么？向量 等于什么？ 例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型， 如图2.5-1， 你能发现平行四边 形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？ A B CD 图2.5-1 注意这种求 模的方法 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长 的平方和的两倍. 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中涉及的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之 间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 提升总结 几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化 例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？ A B D E F R T C猜想：AR=RT=TC 图2.5-2 由于 与 共线，故设 因为 又因为 共线， 所以设 因为 所以 利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基 本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关 系的一种常用手段. 提升总结 例3.若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中 点，试求 A BC O 解：以O为坐标原点，以OA、OC所在 的直线为坐标轴建立如图所示的直角 坐标系， 分析：建立坐标系，利用向量的坐 标运算求夹角. 探究二（角度问题） E D 建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式， 可使解题思路明确，过程简洁. 提升总结 A A B C O 3.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点. 求证∠ACB=90°. 分析：要证∠ACB=90°，只需证向 量 ，即 证明：设 则 由此可得： 即 ，∴∠ACB=90°. A B C O （r是圆的半径）. 1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用 来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问 题. 2.要掌握向量的常用知识①共线；②垂直；③模；④夹 角；⑤向量相等. 一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树 木；终身之计，莫如树人。长才靡入用， 大厦失巨楹。 ——邵谒