人教版高中数学必修4 2.5.1平面几何中的向量方法ppt课件

• 2.5.1 平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。 引入 问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？ A B CD猜想： 1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有 何关系？何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 例1、证明平行四边形四边平 方和等于两对角线平方和 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相等， 故设 ,其它线段对应向量用它们 表示。 例题 A B D C解:设 ，则 ∴ 例题 变式1、证明平行四边形两对 角线互相平分 A B D C 例题 M 用向量法解平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形 想一想 A B CD E F R T 猜想： AR=RT=TC 例2 如图， ABCD中，点E、F分别是 AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC 交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、 TC之间的关系吗？ 解：设 则 由于 与 共线，故设 又因为 共线， 所以设 因为 所以 A B CD E F R T 线， 故 AT=RT=TC A B CD E F R T 证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为 ⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证 向量 即 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 练习 你能从数学的角度解释 这种现象吗？ 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小 越省力。 例1 ～ ～ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ： 小结 物理问题 (实际问题） 向量问题 (数学模型) 数学问题 的解决 解释和验证相 关物理现象 小结