专题01 规律探究问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（10×3=30 分） 1. （2017 广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第 11 个数是（ ） A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121 【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2， ∴第 11 个数是﹣（11﹣1）2=﹣100， 故选 B． 2. （2017 日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（ ） A．23 B．75 C．77 D．139 3. （2016·四川达州·3 分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作； 然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作；再 将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次操作；…根据以上 操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（ ） A．25 B．33 C．34 D．50 【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有 4 个； 第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个； 第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个； … ∴第 n 次操作后，三角形共有 4+3（n﹣1）=3n+1 个； 当 3n+1=100 时，解得：n=33， 故选：B． 4. （2017 湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n） 和芍药的数量规律，那么当 n=11 时，芍药的数量为（ ） A．84 株 B．88 株 C．92 株 D．121 株 5. （2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)： 按照这种规律摆下去，第 n 个图形用的棋子个数为 ( ) A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3 【解析】 ∵第 1 个图需棋子 3＋3＝6；第 2 个图需棋子 3×2＋3＝9；第 3 个图需棋子 3×3＋3＝12；…∴ 第 n 个图需棋子(3n＋3)个． 6. 将从 1 开始的自然数，按如图所示的规律排列，在 2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第 1，2，3， 4，5，6，7，…，次弯，则第 33 次拐弯处的那个数是（ ） A．290 B．226 C．272 D．302 【解析】：拐弯处的数与其序数的关系如下表： 拐弯的序数 0 1 2 3 4 拐弯处的数 1 2 3 5 7 拐弯的序数 5 6 7 8 … 拐弯处的数 10 13 17 21 … 由此可见相邻两数的差是 1，1 ，2，2，3，3，4，4，…，则第 33 次拐弯处的数是 1+2×（1+2+…+16）+17=290. 故选 A.学科@网 7. 用菱形纸片按规律依次拼成如图 3-5-1 的图案．第 1 个图案中有 5 张菱形纸片；第 2 个图案中有 9 张菱 形纸片；第 3 个图案中有 13 张菱形纸片．按此 规律，第 6 个图案中的菱形纸片的张数为（ ） 图 3-5-1 A．21 B．23 C．25 D．29 8. （2017 浙江湖州）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格 点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 4×4 的正方形网格图形中（如图 1）， 从点 A 经过一次跳马变换可以到达点 B，C，D，E 等处．现有 20×20 的正方形网格图形（如图 2），则从该 正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】解：如图 1，连接 AC，CF，则 AF=3 ， ∴从该正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是 14 次， 故选：B． 9. 如图所示，一动点从半径为 2 的⊙ O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，再向左 沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到⊙ O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…按此规律运动到点 A2017 处，则点 A2017 与点 A0 间的距离是（ ） A．4 B． 2 3 C．2 D．0 10. （2017 山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的函数表达式为 y=x，点 O1 的坐标为（1，0）， 以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交直线 l 于点 P1，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交 直线 l 于点 P2，交 x 轴正半轴于点 O3，以 O3 为圆心，O3O 为半径画圆，交直线 l 于点 P3，交 x 轴正半轴于点 O4；…按此做法进行下去，其中 的长为 ． 【解答】解：连接 P1O1，P2O2，P3O3… ∵P1 是⊙O2 上的点， ∴P1O1=OO1， ∵直线 l 解析式为 y=x， ∴∠P1OO1=45°， ∴△P1OO1 为等腰直角三角形，即 P1O1⊥x 轴， 二、填空题（6×4=24 分）. 11. （2018 湖北荆州）（3.00 分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 k 的值为 125，则第 2018 次输出的结果是 ． 【解答】解：∵第 1 次输出的结果是 25，第 2 次输出的结果是 5，第 3 次输出的结果是 1，第 4 次输出的结 果是 5，第 5 次输出的结果是 5，…， ∴第 2n 次输出的结果是 5，第 2n+1 次输出的结果是 1（n 为正整数）， ∴第 2018 次输出的结果是 5． 故答案为：5．学科@网 12. （2017 湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A（﹣1，1），B（0，﹣2），C （1，0），点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得到点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得到点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180° 得到点 P3，点 P3 绕点 A 旋转 180°得到点 P4，…，按此作法进行下去，则点 P2017 的坐标为 ． 13. （2017 贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=x+2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 A1，点 A2， A3，…在直线 l 上，点 B1，B2，B3，…在 x 轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰 直角三角形，直角顶点都在 x 轴上，则第 n 个等腰直角三角形 AnBn﹣1Bn 顶点 Bn 的横坐标为 ． 14. （2018•贵州遵义•4 分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三 角形个数 为 ． 【解答】解：由图可得， 第 1 层三角形的个数为：1， 第 2 层三角形 的个数为：3， 第 3 层三角形的个数为：5， 第 4 层三角形的个数为：7， 第 5 层三角形 的个数为：9， …… 第 n 层的三角形的个数为：2n﹣1， ∴当 n=2018 时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035， 故答案为：4035． 15. （2018 广西桂林）将从 1 开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第 m 行，第 n 列的自然数 10 记为 （3，2），自然数 15 记为（4，2）…按此规律，自然数 2018 记为 列 行 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 1 行 1 2 3 4 第 2 行 8 7 6 5 第 3 行 9 10 11 12 第 4 行 16 15 14 13 … … … … … 第 n 行 … … … … 【分析】根据表格可知，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从 左往右是由大到小排列．用 2018 除以 4，根据除数与余数确定 2018 所在的行数，以及是此行的第几个数， 进而求解即可． 16. （2018 广西贵港）（3.00 分）如图，直线 l 为 y= x，过点 A1（1，0）作 A1B1⊥x 轴，与直线 l 交于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A2；再作 A2B2⊥x 轴，交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆 心，OB2 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A3；……，按此作法进行下去，则点 An 的坐标为（ ）． 三、解答题（共 46 分）. 17. （2017 山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的函数表达式为 y=x，点 O1 的坐标为（1，0）， 以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交直线 l 于点 P1，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交 直线 l 于点 P2，交 x 轴正半轴于点 O3，以 O3 为圆心，O3O 为半径画圆，交直线 l 于点 P3，交 x 轴正半轴于点 O4；…按此做法进行下去，求 的长． 【分析】连接 P1O1，P2O2，P3O3，易求得 PnOn 垂直于 x 轴，可得 为 圆的周长，再找出圆半径的规律 即可解题． 【解答】解：连接 P1O1，P2O2，P3O3… ∵P1 是⊙O2 上的点， ∴P1O1=OO1， ∵直线 l 解析式为 y=x， ∴∠P1OO1=45°， ∴△P1OO1 为等腰直角三角形，即 P1O1⊥x 轴， 18. （2017 内江）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第六个等式：a6= = ﹣ ； （2）用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an= = ﹣ ； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）； （4）计算：a1+a2+…+an． 【分析】（1）根据已知 4 个等式可得； （2）根据已知等式得出答案； （3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得； （4）根据已知等式规律，列项相消求解可得． = ﹣ = ． 19. (2016 安徽，18，8 分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空： （2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1= ． 【分析】（1）根据 1+3+5+7=16 可得出 16=42；设第 n 幅图中球的个数为 an，列出部分 an 的值，根据数据的 变化找出变化规律“an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题； （2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1 到 n 行，第 n+1 行，n+2 行到 2n+1 行，再结合（1）的 规律即可得出结论． （2）观察图形发现： 20. （2018·湖北随州·11 分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事 实上，所有 的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为 1 的分数），那么无限循环小 数如何表示为分数形式呢？ 请看以下示例： 例：将 化为分数形式 由于 =0.777…，设 x=0.777…① 则 10x=7.777…② ②﹣①得 9x=7，解得 x= ，于是得 = ． 同理可得 = = ， =1+ =1+ = 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1） = ， = ； （2）将 化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3） = ， = ； （注： =0.315315…， =2.01818…） 【探索发现】 （4）①试比较 与 1 的大小： 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知 = ，则 = ． （注： =0.285714285714…） 【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形 式，如果 循环节有 n 位，则这个分数的分母为 n 个 9，分子为循环节．学科@网 （3）同理 = = ，2.0=2+ = 故答案为： ， （4）① = =1 故答案为： =1 ② =3+ =3+ = 故答案为：