27.1 图形的相似（第2课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.1 图形的相似（第 2 课时） 自主预习 1. 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边 ，那 么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形 的比叫做相似比．相 似多边形的对应角 ，对应边 . 2. 一个多边形的边长为 2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为 24，则这个多边形的最短边长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．10 3. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 相似，若 AB︰FG=2︰3，则下 列结论正确的是（ ） A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F 3 题图 4 题图 4.如图，已知两个四边形相似，求未知边 x、y 的长度和角 的大小. 5．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？若相似，相似比是多少？满足什么条 件的两个矩形一定相似？ 5 题图 互动训练 知识点一：相似多边形的概念及性质 1. 下列说法正确的是（ ） A．对应边成比例的多边形都相似 B．四个角对应相等的梯形都相似 C．有一个角相等的两个菱形相似 D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相 似 2．△ABC与△DEF相似，且相似比是 2 3 ，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）． A． 3 2 B． 2 3 C． 5 2 D． 9 4 3．根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团 1949 年 9 月 27 日公布的 国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸 是长 288cm，高 192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ） A． B． C． D． 4. 如图，已知四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′，求四边形 A′B′C′D′的周长. 4 题图 5．如图，G 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，作 GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分 别为点 E，F.求证：四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似． 5 题图 6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF 上取一点 M，分别 以 EM、MF 为边作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似. 令 MN=x， 当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？ 6 题图 知识点二：成比例的线段 7. 下列线段（单位：cm）成比例的是（ ） A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9 8．已知四个非零实数 a，b，c，d 成比例，即 a c b d  ，下列各式中不成立的是（ ） A． ad bc B． a b c d  C． a b d c  D． a b c d b d   9.若 3a=2b，则 的值为（ ） A． B． C． D． 10. 已知 b a ＝2，则 a b a b   的值是（ ） A． 1 3 B．－ 1 3 C．3 D．－3 11．在一比例尺为 1：36000000 地图上，量出南宁到北京的直线距离为 5.7 厘米．南 宁到北京的实地距离为（ ） A．5700 千米 B．3600 千米 C．2052 千米 D．2150 千米 12．若 2 x = 3 y ＝ 4 z ≠0，则下列各式正确的是（ ） A．2x＝3y＝4z B． 2 2 5 x y ＝ 2 z C． 1 2 x  ＝ 1 3 y  D． 1 2 x  ＝ 2 4 z  13．若 a b b c c a c a b     ，则 (a b)(b c)(c a) abc    的值为_____． 14. 若 2 3 5 a b c  （abc≠0），求 的值． 15．已知 2 3 4 x y z  ，x-y+z=6，求：代数式 3x-2y+z 的值. 课时达标 1．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( ) A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 2.下列说法中正确的是（ ） A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似 3.若四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，且 AB∶A′B′=1∶2，已知 BC=8，则 B′C′ 的长是（ ） A.4 B.16 C.24 D.64 4．如图所示，在长为 8 cm，宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的 矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 4 题图 5 题图 5．如图，把一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点连线 EF 对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ） A．2：1 B．3：1 C． 2 ：1 D．4：1 6．已知 2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A． 2 5 x y B． 5 2 x y C． 2 5 x y  D． 5 2 x y  7．已知 x y=m n，则把它改写成比例式后，错误的是 ( ) A． x m n y  B． y n m x  C． x y m n  D． x n m y  8．若 a c b d  （a、b、c、d、m 均为正数），则下列结论错误的是（ ） A． ad bc B． 2 2 2 2 a c b d  C． 2 2 ad c b ad  D． a m c b m d   9. 若四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′的相似比为 3∶2，那么四边形 A′B′C′D′与四 边形 ABCD 的相似比为 . 10．在比例尺为 1∶2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5 cm，则 AB 两 地间的实际距离为__________m． 11. 若(a–b) ∶ b=3∶2 , 则 a ∶b= _________. 12. 已知 x︰y︰z＝2︰3︰4，且 x+y﹣z＝2，那么 x+y+z＝ ． 13．已知线段 AB=6cm， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，即 5 1 2 AC AB  ， 那么 AC= cm, BC= cm， AC CB  . 14．如果 a b c d kb c d a c d a b d a b c            ，求 k 的值. 15．如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， 已知 AB＝4. (1)求 AD 的长； (2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比． 15 题图 16．如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则 原矩形的长与宽之比为多少？ 16 题图 17．取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到 一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则 b a 的值为多少？ 17 题图 拓展探究 1．如图,线段 AB=1,点 P1 是线段 AB 的黄金分割点(AP1＜BP1)，点 P2 是线段 AP1 的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…， 依 此类推，则线段 AP2020 的长度是（ ） A． 20203 5( )2  B． 20205 1( )2  C． 20201( )2 D． 1010( 5 2) 2．在 AD＝10 m，AB＝30 m 的矩形花坛四周修筑小路． （1）如果四周的小路的宽均相等，都是 x，如图 1，那么小路四周所围成的 矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由； （2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为 x，y，如图 2，试问小 路的宽 x 与 y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似？请说明理由． 图 1 图 2 27.1 图形的相似（第 2 课时）答案 自主预习 1. 相等，成比例，相似，相等，成比例. 2. B. 解析：设这个多边形的最短边是 x， ∵两个多边形相似，则 6 24 2 x  ，解得 x=8, 故选 B. 3. B. 解析：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，所以∠A=∠F, DE︰MN=2︰3，故可排除 C 和 D 所以 3DE=2MN．故排除 A 故选 B． 4. 解：根据题意，因为两个四边形是相似形， 得, ，解得 x=31.5, y=27,  =360°-(77°+117°+83°) = 83°. 5. 解：∵四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°， AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，A′B′＝D′C′＝4，A′D′＝B′C′＝5. ∴ AB A′B′ ＝ BC B′C′ ＝ CD C′D′ ＝ DA D′A′ ＝2 1. ∴矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′相似，相似比是 2. ∴两个矩形只要满足长与宽的比相等就相似． 互动训练 1. C. 解析：A. 对应边成比例且对应角相等的多边形都相似，故原说法错误； B. 四个角对应相等且对应边成比例的梯形都相似，故原说法错误； C. 有一个角相等即可利用菱形的性质得到其余的角对应相等，且对应边的比相 等，故这样的菱形相似，正确； D. 有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故原说法错误． 故选 C． 2. B. 解析：根据相似比的意义，AB︰DE=2︰3, 那么 DE︰AB=3︰2, 所以选 B. 3. B. 解析：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则 A. 240 160 5 288 192 6   ，故 A 符合标准；B. 160 5 120 5,288 9 192 8   ，故 B 不符合标准； C. 144 96 1 288 192 2   ，故 C 符合标准；D. 96 64 1 288 192 3   ，故 D 符合标准； 故选择：B. 4. 解：∵四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′ ∴ ，即 ∴A′B′=12.6, C′D′=10.8, D′A′=14.4 , ∴四边形 A′B′C′D′的周长=12.6+9+10.8+14.4=46.8 . 5. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB， ∴EG＝FG，且 AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形 AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AE AD ， 且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似． 6. 解：∵矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似 当 x= 5 2 时，S 有最大值，最大值为 25 2 . 7. C. 解析：A. 1×4≠2×3，故四条线段不成比例； B. 5×8≠7×6，故四条线段不成 比例； C. 1×4=2×2，故四条线段成比例； D. 3×9≠5×6，故四条线段不成比例．故选 C． 8. C. 解析：A. 因为 a c b d  ，所以 ad bc ，故 A 正确； B. 由 a b c d  可得ad bc ，可得 a c b d  ，故 B 正确； C. 由 a b d c  可得ac bd ，不能得到 a c b d  ，故 C 错误； D. 由 a b c d b d   可得 1 1a c b d    ，即 a c b d  ，故 D 正确，故答案为：C． 9. A. 解：∵3a=2b，∴ = ，设 a=2k，则 b=3k，则 = =﹣ ．故选 A． 10. B. 解析： b 2a  ，∴b=2a，且 a≠0，则 a b a 2a a 1 a b a 2a 3a 3        ，故选：B． 11. C. 解析：比例尺为 1：36000000，南宁到北京的直线距离为 5.7 厘米． 南宁到北京的实地距离为：36000000×5.7=205200000 厘米=2052 千米故选：C 12. B. 解析：∵ 2 x ＝ 3 y ＝ 4 z ≠0，∴设 x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴2x≠3y≠4z，故 A 错误； 2 2 5 x y ＝ 4 6 5 a a ＝2a＝ 4 2 a ＝ 2 z ，故 B 选项正确； 1 2 x  ＝ 2 1 2 a  ≠ 1 3 y  ，故 C 选项错误； 1 2 x  ＝ 2 1 2 a  ＝a+ 1 2 ， 2 4 z  ＝ 4 2 4 a  ＝a﹣ 1 2 ，故 D 选项错误；故选 B． 13. -1 或 8. 解析：设 a b b c c a c a b     =k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c +c +a=ck +a k +b k，即 2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0， 当 a+b+c=0 时，即 a+b=-c，∴k= a b c  = c c  =-1， ∴ (a b)(b c)(c a) abc    = a b b c c a c a b     =k3=-1， 当 a+b+c≠0 时，则 2-k=0，解得：k=2， ∴ (a b)(b c)(c a) abc    = a b b c c a c a b     =k3=8，故答案为：-1 或 8 14. 解：设 = = =k，则 a=2k，b=3k，c=5k， 所以 = = = ． 15. 解：设 2 3 4 x y z  =k，则 x=2k，y=3k，z=4k 又 x-y+z=6，即 2k-3k+4k=6，解得 k=2 所以 x=4，y=6，z=8 所以 3x-2y+z =12-12+8=8 课时达标 1. B. 解析：根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断. ∵ ∴是相似形的是甲和丙故选 B. 2. C. 解析：根据相似多边形的定义，必须是两个多边形的对应边成比例，对应 角相等，才是相似多边形，二者缺一不可. 只有 C 中的两个等边三角形符合这 一条件. 所以选：C. 3. B. 解析：由四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，且 AB∶A′B′=1∶2，得， BC∶B′C′=1∶2，BC=8, ∴B′C′=16. 答案为：B. 4. C. 解析：设留下矩形的宽为 xcm， ∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴ 4 4 8 x  ，解得 x=2. 则留下矩形的面积为 22 4 8(cm )  .故选 C. 5. C. 解析：根据条件可知：矩形 AEFB 与矩形 ABCD 相似，∴ AE AB AB AD ＝ ， 设 AD=x，AB=y，则 AE= 1 2 x．则 1 2 x y y x  ，即： 1 2 x2=y2．∴ 2 2 2x y  ． ∴x︰y= 2 ︰1．即原矩形长与宽的比为 2 ︰1．故选 C． 6. B. 解析：∵2x=5y，∴  5 2 x y＝ ．故选 B． 7. C. 解析：选项 C.两边同乘最简公分母 mn 得， .xn my 与原式不相等.故选 C. 8. D. 解析：A. ∵ a c b d  ，两边同乘以 bd 得： ad bc ，故 A 正确，不合题意； B. ∵ a c b d  ，两边平方得： 2 2 2 2 a c b d  ，故 B 正确，不合题意； C. ∵ a c b d  ，两边平方得： 2 2 2 2 a c b d  ，两边同乘以 d a 得： 2 2 ad c b ad  ， 故 C 正确，不合题意； D.根据 a c b d  不能得出 a m c b m d   ，故 D 不正确，符合题意；故答案为：D. 9. 2∶3. 解析：根据相似比的意义，AB∶A′B′=3∶2，那么 A′B′∶AB =2∶3. 10. 100. 解析：设 AB 两地间的实际距离为 x， ， 解得 x=10000cm=100m．故答案为 100m． 11. 5∶2. 解析：因(a–b) ∶ b=3∶2 , 即 3 b 2 a b  ，a b -1= 3 2 ，∴ a b = 3 2 +1，∴ a b = 5 2 ， 即 a∶b=5∶2. 故答案为：5∶2. 12. 18. 解析：∵x︰y︰z＝2︰3︰4，∴设 x＝2a，y＝3a，z＝4a， 故 x+y﹣z＝2a+3a﹣4a＝a＝2，故 x＝4，y＝6，z＝8，∴ x+y+z＝4+6+8＝18． 故答案为：18． 13. 3 5 -3, 9-3 5 , 5 1 2  . 解析：因为点 C 是线段 AB 的黄金分割点， 即 5 1 2 AC AB  ，那么 AC= 5 1 2  AB= 5 1 2  ×6=3( 5 -1)=3 5 -3(cm)， BC=AB-AC=6-(3 5 -3) = 9-3 5 (cm),   5 1 2 5 1 AC CB     5 1 2  . 故答案为：3 5 -3, 9-3 5 , 5 1 2  . 14. 解：由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k， c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k， 故 a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k， 当 a＋b＋c＋d 0 时， 1 3k  ， 当 a＋b＋c＋d＝0 时，b＋c＋d＝－a， 所以 k＝－1，故 k 的值为 1 3 或-1. 15. 解：(1)设 AD＝x(x＞0)，则 DM＝x 2. ∵矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， ∴AD AB ＝DC DM ，即x 4 ＝4 x 2 .解得 x＝4 2(负值舍去)． ∴AD 的长为 4 2. (2)矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为DC AD ＝ 4 4 2 ＝ 2 2 . 16. 解：设原矩形 ABCD 的长为 x，宽为 y，∴小矩形的长为 y，宽为 4 x ， ∵小矩形与原矩形相似， 4 x y y x   ，即 1 4 x2=y2, x2=4y2, x=2y, ∴x︰y=2︰1. 17. 解：对折两次后的小长方形的长为 b，宽为 1 4 a． ∵小长方形与原长方形相似，∴ 1 4 a b b a  ，∴ 1 4 a2=b2, 即 a2=4b2, ∴a =2b． 即 b a 的值是 1 2 ． 拓展探究 1. A. 解析：∵线段 AB=1，点 P1 是线段 AB 的黄金分割点(AP1＜BP1)， 1 5 1 5 1 2 2BP AB    ， 1 5 1 3 51 2 2AP      ， ∵点 P2 是线段 AP1 的黄金分割点(AP2＜P1P2)， 2 2 3 5 3 5 3 5( )2 2 2AP       ， 3 3 3 5( )2AP   ， 3 5( )2 n nAP   ． 所以线段 AP2020 的长度是 20203 5( )2  ，故选：A． 2.解：(1)不相似，因为． AB A B  = 30 30 2x ， AD A D  = 10 10 2x ， 而 30 30 2x ≠ 10 10 2x ， AB A B  ≠ AD A D  ， 即两个矩形的对应边不成比例，所以两个矩形不相似. (2) 当 AB A B  = AD A D  时，两个矩形相似，即 30 30 2y = 10 10 2x ， ∴30（10+2x）=10(30+2y), 300+60x=300+20y, ∴ y=3x, ∴ x y = 1 3 . 即x y ＝1 3 时，两个矩形相似，