27.3位似（第2课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.3 位似（第 2 课时） 自主预习 1．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则（ ） A．将各点横坐标乘以 2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B．将各点纵坐标乘以 2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C．将各点横，纵坐标都乘以 2，得到的鱼与原来的鱼位似 D．将各点横坐标乘以 2，纵坐标乘以 1 2 ，得到的鱼与原来的鱼位似 1 题图 2 题图 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（4，1），以原点 O 为位似中 心，将△OAB 扩大为原来的 4 倍，则点 A 的对应点的坐标是（ ） A．（ 1 2 ，1） B．（- 1 2 ，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16） 互动训练 知识点一：位似图形的坐标变化 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA′B′C′的面积 等于矩形 OABC 面积的 1 4 ，那么点 B′的坐标是（ ） A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-2） 1 题图 2 题图 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-3,6)，B(-9,-3)，以原点 O 为位似中心，相 似比为 1 3 ，把△ABO 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标是（ ） A．(-9,1)或(9,-1) B．(-3,-1) C．(-1,2) D．(-3,-1)或(3,1) 3．如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(−1，0)．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，记所得的像是△A′B′C′．设点 A 的横坐标是 a，则点 A 对应的点 A′的横坐标是 _________． 3 题图 4 题图 4. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中, 点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)， (－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________． 5．如图，以 O 为位似中心，在网格内作出四边形 ABCD 的位似图形，使新图形与原 图形的相似比为 2：1，并以 O 为原点，写出新图形各点的坐标． 5 题图 6．已知：△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-2，-2)，B(-5，-4)，C(-1，-5). （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请在网格 中画出△A2B2C2，并写出点 B2 的坐标. 6 题图 7．按下列要求在如图格点中作图： （1）作出△ABC 关于原点成中心对称的图形△A'B'C'； （2）以点 B 为位似中心，作出△ABC 放大 2 倍的图形△BA″C″． 7 题图 8．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点 B 的坐标分别为（1，3），（3，2）． （1）画出△OAB 绕点 B 顺时针旋转 90°后的△O′A′B； （2）以点 B 为位似中心，相似比为 2：1，在 x 轴的上方画出△O′A′B 放大后的△O′A′B； （3）点 M 是 OA 的中点，在（1）和（2）的条件下，M 的对应点 M′的坐标为 ． 课时达标 1．如图，两个三角形是以点 P 为位似中心的位似图形，则点 P 的坐标是（ ）． A．(-3,2) B．(-3,1) C．(2,-3) D．(-2,3) 2．如图，在直角坐标系中，有两点 A(6,3)，B(6,0)．以原点 O 为位似中心，相似比为 1 3 ，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为( ) A．(2,1) B．(2,0) C．(3,3) D．(3, 1) 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，已 知△AOB 与△A1OB1 位似，位似中心为原点 O，且相似比为 3∶2，点 A，B 都在格点 上，则点 B1 的坐标为 . 2 题图 3 题图 5 题图 4．在平面直角坐标系中，点 C，D 的坐标分别为 C(2,3)，D(1,0)．现以原点 O 为位似 中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 D 的对应点 B 在 x 轴上且 OB＝2，则点 C 的对应点 A 的坐标为 ． 5．如图，原点 O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点 A(1,0)与点 A′(－2,0)是对应点， △ABC 的面积是3 2 ，则△A′B′C′的面积是 . 6．如图，△ABC 在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A(2,3)，C(6,2)，并写出 B 点坐标； （2）以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放 大后的图形△A′B′C′． 6 题图 7．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，2）， B（﹣3，4）C（﹣2，6）. （1）画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1； （2）以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2． 7 题图 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在格点上，A（-1，3）， B（-3，1），C（0，1）． （1）在网格内把△ABC 以原点 O 为位似中心放大，使放大前后对应边的比为 1：2， 画出位似图形 △A1B1C1； （2）写出 A1、B1、C1 的坐标． 拓展探究 1．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4）， 正方形网格中，每个小正方形的边长是 1 个单位长度． （1）画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； （2）以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且 △A2B2C2 与△ABC 的位似比为 2：1，并直接写出点 A2 的坐标． 2.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1 变换 成△OA2B2,第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3，已知 A(1,3), A1(2,3), A2(4,3), A3(8,3), B(2,0), B1(4,0), B2(8,0), B3(16,0). (1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此规律再将△OA3B3 变换成 △OA4B4,则 A4 的坐标是 ,B4 的坐标是 ； (2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三 角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测 An 的坐标是 , Bn 的坐标是 . 3．在已知三角形内求作内接正方形． 4．在已知半圆内求作内接正方形． 27.3 位似（第 2 课时）答案 自主预习 1. C. 解析：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非 0 的实数 k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一 个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选 C． 2. D. 解析：∵以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 4 倍，得到△OA'B'， A(2，4)，∴点 A 的对应点 A′的坐标是：（2×4，4×4）或[2×(-4),4×(-4)]， 即（8，16）或（-8，-16）．故选：D． 互动训练 1. C. 解析：∵矩形 OA′B′C′的面积等于矩形 OABC 面积的 1 4 ， ∴两矩形面积的相似比为：1︰2， ∵B 的坐标是（4，2），∴点 B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故选：C． 2. D. 解析：∵以原点 O 为位似中心，相似比为 1 3 ，把△ABO 缩小， ∴点 B（-9，-3）的对应点 B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选 D． 3. -3-2a. 解析：如图，过 A 点和 A′点作 x 轴的垂线，垂足分别是 D 和 E， ∵点 A 的横坐标是 a，点 C 的坐标是（-1，0）．∴DC=-1-a，OC=1 又∵△A′B′C 的边长是△ABC 的边长的 2 倍, ∴CE=2CD=-2-2a， ∴OE=CE-OC=-2-2a-1=-3-2a 故答案为：-3-2a 3 题图 4. (1，0)或(－5，－2) 5.解：如图所示，以 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形，使各边都扩大 2 倍，新图形为四边形 A′B′C′D′，新图形各点坐标分别为 A′（2，4），B′（4，8）， C′（8，10），D′（6，2）． 5 题图 6. 解：（1）如图所示：△A1B1C1 即为所求： （2）如图所示：△A2B2C2 即为所求；B2(10，8). 6 题图 7 题图 7. 解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求； （2）如图所示：△BA″C″，即为所求． 8. 解：（1）如图，△O′A′B 即为所求； （2）如图，△O″A″B 即为所求； （3）如图，∵点 M 是 OA 的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（ 5 2 ， 9 2 ） ∴经过（1）位似变换后，M 的对应点 M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）． 课时达标 1. A. 解析：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交 点为(-3,2)．故选 A． 2．A. 3.(-2, - 2 3 ) 4. (4,6)或(－4，－6) 5. 6 6. （1）由点 A(2,3)，C(6,2)，确认出坐标原点 O 的位置，由此画出 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标系，如图所示： 由点 B 在平面直角坐标系中的位置得：点 B 坐标为 B(2,1)； （2）根据位似的定义，分别连接 OA，OB，OC，将它们分别延长至点 A'，B'，C'， 使得 OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC，然后顺次连接点 A'，B'，C'，即可得到△A'B'C'，， 如图所示： 7. 解：（1）如图：△A1B1C1 即为所求； （2）如图：△A2B2C2 即为所求. 7 题图 8 题图 8. 解：（1）如图所示： （2）由网格中的图形可得：A1（2，-6），B1（6，-2），C1（0，-2）． 拓展探究 1.解：⑴如图所示: △A1B1C1,即为所求； ⑵如图所示△A2B2C2，即为所求；A2 坐标(－2，－2) 2.解：(1) (16,3), (32,0)； (2) (2n, 3), (2n+1, 0). 3.解：利用位似图形的性质进行作图，如图，已知△ABC, 3 题图 作法：(1)在 AB 上任取一点 G＇，作 G′D′⊥BC； (2)以 G′D′为边，在△ABC 内作一正方形 D＇E＇F＇G＇； (3)连结 BF＇，延长交 AC 于 F； (4)作 FG∥CB，交 AB 于 G，从 F，G 各作 BC 的垂线 FE，GD， 那么 DEFG 就是所求作的内接正方形． 4. 解：利用位似图形的性质进行作图，如图, 作法略. 正方形 EFGH 即为所求．