27.3位似（第1课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.3 位似（第 1 课时） 自主预习 1.下列说法中，正确的个数是( ) ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形； ③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间； ④若五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC 与△A′B′C′也是位 似的,且位似比相等. A.1 B.2 C.3 D.4 2.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还 可能在两个图形的__________. 3.指出下列各组位似图形的位似中点. 3 题图 4.如图，△ACB 与△DFE 是位似图形，则 )()()( ABBPAP  . 4 题图 互动训练 知识点一：位似图形的概念及性质 1.下列说法错误的是( ) A. 相似图形不一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 同一底版的两张照片是位似图形 D. 放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形 2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为 1∶2，且它们 面积和为 80，则较小的多边形的面积是( ) A.16 B.32 C.48 D.64 3.按如下方法,将△ABC 的三边缩小为原来的 2 1 ,如图,任取一点 O,连结 AO、BO、 CO,并取它们的中点 D、E、F，得△DEF. 则下列说法中正确的个数是( ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形 ③△ABC 与△DEF 的周长比为 2∶1 ④△ABC 与△DEF 的面积比为 4∶1 A.1 B.2 C.3 D.4 3 题图 4 题图 4.如图,五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′位似，对应边 CD=2，C′D′=3. 若位似 中心 P 点到点 A 的距离为 6，则 P 到 A′的距离为________________. 5.如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，△ADE 和△ABC 是位似图 形，DE=1，BC=3，AB=6，求 AD 的长. 5 题图 知识点二：利用位似图形进行作图 6.画出图中位似图形的位似中心. 6 题图 7.利用位似的方法把下图缩小一倍，要求所作的图形在原图内部. 7 题图 8.如图，已知 O 是四边形 ABCD 的边 AB 上的任意一点，且 EH∥AD，HG∥DC， GF∥BC.试说明四边形 EFGH 与四边形 ABCD 是否位似，并说明你的理由. 8 题图 9. 如图，在△ABC 中，BC=1，AC=2，∠C=90°. 9 题图 (1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为 2∶1； (2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平 移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点 O 为对称中心，并且以直线 l 为对称轴的图案. 知识点三：位似图形的应用 10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为 3.5 cm×3.5 cm,放映的银幕 的规格是 2 m×2 m,若影机的光源距胶片 20 cm 时,问银幕应拉在离镜头多远的 地方,放映的图像刚好布满整个银幕? 11.如图，已知矩形 ABCD 与矩形 EFGH 是位似图形,OB∶OF=3∶5，求矩形 ABCD 与矩形 EFGH 的面积比. 11 题图 12.在直角坐标系中，有一个 Rt△AOB，且两直角边长分别为 OA=4，OB=3，如 图. (1)请直接写出 A、B 两点的坐标. (2)将△AOB 作下列运动，画出相应的图形，指出 3 个顶点的坐标发生的变 化(不必写计算过程). ①关于原点对称； ②将△AOB 以 O 点为位似中心，缩小 1 倍. 12 题图 课时达标 1.如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（ ） A．两个三角形是位似图形 B．点 A 是两个三角形的位似中心 C．B 与 D、C 与 E 是对应位似点 D．AE︰AD 是相似比 1 题图 2 题图 2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成 的像 CD 的长是( ) A. 6 1 cm B . 3 1 cm C. 2 1 cm D.1 cm 3.在图中，①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两 个图形不是位似图形. (1)分别指出图①③各自的位似中心. (2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位 似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗? 3 题图 4.如图，已知△ABC 与△A′B′C′是位似图形，则 AB∥A′B′，BC∥B′C′吗?说明理由. 4 题图 5.如图中的图案是由 A 字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似 变换吗?为什么? 5 题图 6.如图,△ABC 和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC 和 △A′B′C′的位似比. 6 题图 7.已知图，作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为 2∶1. 7 题图 8.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点 P1、P2、O 在一条直线上时，在点 O 处 用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同. (1)图中 b1，b2，l1，l2 满足怎样的关系式? (2)若 b1=3.2 cm，b2=2 cm，①号“E”的测试距离 l1=8 m,要使测得的视力相同,则 ②号“E”的测试距离 l2 应为多少? 8 题图 9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为 32 dm2,上下空白各 1 dm, 两边空白各 0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为 x dm,四周空白处的面积为 S dm2 . (1)求 S 与 x 的关系式; (2)当要求空白处的面积为 18 dm2 时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽 各是多少? (3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由. 9 题图 拓展探究 1.如图，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF、MN 相交于中心点 O，对△ABC 分别作 下列变换： ①先以点 A 为中心顺时针方向旋转 90°，再向右平移 4 格、向上平移 4 格； ②先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋 转 90°； ③先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应点为 中心顺时针方向旋转 90°. 其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 1 题图 2 题图 2.如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图 案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案 中右眼的坐标是__________. 3.正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位，以 O 为原点建立平面直角坐 标系，圆心为 A(3,0)的⊙A 被 y 轴截得的弦长 BC=8，如图所示， 3 题图 解答下列问题： (1)⊙A 的半径为__________； (2)请在图中将⊙A 先向上平移 6 个单位，再向左平移 8 个单位得到⊙D，观 察你所画的图形知⊙D 的圆心 D 点的坐标是__________；⊙D 与 x 轴的位置 关系是__________；⊙D 与 y 轴的位置关系是__________；⊙D 与⊙A 的位 置关系是__________. (3)画出以点 E(-8，0)为位似中心，将⊙D 缩小为原来的 2 1 的⊙F. 27.3 位似（第 1 课时）答案 自主预习 1. C. 解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错. 若两个位似图形全等,则其对应线段的比为 1,因而位似中心到任意一对对应点的 距离之比等于 1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角 形相似,因而△ABC∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过 位似中心,所以△ABC 与△A′B′C′也是位似的,且位似比为 BA AB  ,即为原多边形的 位似比.因而④对. 答案：C 2. 之间，同侧，内部. 解析：根据位似图形的意义. 3. (1) P 点；(2) P 点. 解析：由位似图形意义. 4. DP、EP、DE. 解析：对应点到位似中心的距离的比等于相似比. 互动训练 1. C. 解析：位似是相似的特例，选项 A、B 都正确；选项 C 不能确定两张照片 的位置，它们不一定位似；选项 D 是正确的.答案：C 2. A. 解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点 到位似中心的距离比. 相似比为 1∶2，则面积比为 1∶4，由面积和为 80，得到 它们的面积分别为 16，64.答案：A 3. D. 解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位 似,位似比为 OB OE = 2 1 ,即△ABC∽△DEF,且相似比为 1 2 OE OB .因而周长为 2∶1,面 积比为 4∶1. 答案：D 4. 9. 解析：由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案. 5.解：∵△ADE 与△ABC 是位似图形,∴△ADE∽△ABC.所以 BC DE AB AD  . ∵DE=1, BC=3, AB=6, ∴ 3 1 6 AD . ∴AD=2,即 AD 的长为 2. 6.如图所示 7. 解：(1)在五边形 ABCDE 内部任取一点 O. (2)以点 O 为端点作射线 OA、OB、OC、OD、OE. (3)分别在射线 OA、OB、OC、OD、OE 上取点 A′、B′、C′、D′，使 OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2. (4)连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. 得到所要画的多边形 A′B′C′D′E′(如图). 7 题图 8. 解：四边形 EFGH∽四边形 ABCD. 理由：∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAD. ∴∠1=∠A，∠2=∠3， OD OH AD EH OA OE  . 同理∠4=∠5，∠6=∠7， OC OG DC HG OD OH  ， ∠8=∠9，∠10=∠B， OB OF BC FG OC OG  . ∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG=∠ADC. ∴∠6 十∠8=∠7+∠9，即∠HGF=∠DCB. ∴ kAD EH OB OF OA OE  . ∴OE=k·OA，OF=k·OB.∴ kOBOA OBOAk OBOA OFOE    )( ，即 kAB EF  . ∴∠1=∠A ， ∠EHG=∠ADC ， ∠HGF=∠DCB ， ∠10=∠ B ， BC FG DC HG AD EH AB EF  . ∴四边形 EFGH∽四边形 ABCD. ∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点 O，不经过点 O 的其它三边平行, ∴四边形 EFGH 与四边形 ABCD 是位似形. 9. 如图， 9 题图 10. 解：位似比为 k= 7 400 5.3 200  ,设出银幕应拉在离镜头 x m 的地方,则由位似图 形的性质得 7 400 20 x ,所以 x= 7 80 m,故银幕应拉在离镜头 7 80 m 的地方. 11. 解：由位似可得,两个矩形相似, ∴S 矩形 ABCD∶S 矩形 EFGH=(OB∶OF)2. ∴S 矩形 ABCD∶S 矩形 EFGH=9∶25 12. 解：(1) A (4, 0), B(0,3). (2) ① A1(-4,0), B1(0,-3), O(0,0). 如图: ②如图, A2(2,0), B2(0, 2 3 ), O(0,0). 课时达标 1. D. 2. D. 解析：易得△ABO∽△CDO, 所以 2 12 CD AB . 所以 CD=1(cm).答案：D 3. (1)①③的位似中心分别为 O、P 点. (2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比. 4. 解：AB∥A′B′，BC∥B′C′. 理由如下:因为△ABC 和△A′B′C′是位似图形， 所以△ABC∽△A′B′C′. 所以 OA AO  = AB BA OB BO  . 所以△OA′B′∽△OAB. 所以∠OA′B′=∠OAB.所以 A′B′∥AB.同理可得 BC∥B′C′. 5. 解：不是位似变换,原因一是看形状不同,二是 4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例. 所以不是位似变换. 6.解：六个顶点坐标为 A(-1,4)，A′(-0.5,2)，B(6,2)，B′(3,1)，C(2,1)，C′(1,0.5)， 位似比为 2∶1. 7. 解法一：(1)取关键点 A、B、C、D,在图外取点 P，作射线 AP、BP、CP、DP； (2)在它们上面分别取 A′、B′、C′、D′,使得 PA′=2PA，PB′=2PB，PC′=2PC，PD′=2PD. (3)顺次连结 A′、B′、C′、D′，四边形 A′B′C′D′即为所求.如图(1), (1) (2) (3) 解法二：(1)如图(2),在原图上取关键点 A、B、C、D，在图形外取一点 P，作出 射线 PA、PB、PC、PD； (2)在这些射线上依次取点 A′,B′,C′,D′,使 PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD; (3)顺次连结 A′,B′,C′,D′,则四边形 A′B′C′D′即为所求作的新图形. 解 法 三 :(1) 如 图 (3), 在 原 图 上 取 关 键 点 A,B,C,D, 在 图 内 取 一 点 P, 作 射 线 PA,PB,PC,PD; (2)在这些射线上依次取点 A′,B′,C′,D′,使 PA=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′; (3)顺次连结 A′,B′,C′,D′,则四边形 A′B′C′D′即为所求作的新图形. 8. 解：(1)∵△OD2P2∽△OD1P1, ∴b1∶b2=l1∶l2. (2)由 b1∶b2=l1∶l2, 得 l2=5 m. 9. 解：(1)根据题意,得 S=2×x×0.5+2× x 32 ×1+4×1×0.5=x+ x 64 +2, 即 S=x+ x 64 +2. (2)根据题意,得 x+ x 64 +2=18,整理,得 x2-16x+64=0.所以(x-8)2=0. 所以 x=8.所以 x+2=10. 所以这张广告纸的长为 10(dm),宽为 8 32 +2×0.5=5(dm). (3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为 2, 所以 4 5 AD DA DC CD CB BC BA AB . 因为矩形的各角都为 90°,所以矩形 ABCD∽矩形 A′B′C′D′. 因为 AC 和 BD，A′C′和 B′D′都相交于 O 点, 所以矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′是位似图形. 拓展探究 1. D. 解析：本题考查图形变换的各种特征. 答案：D 2. (5，4). 3. (1)5. (2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切. (3)连接 DE，取 DE 的中点 F，以 F 为圆心，2.5 为半径作圆. 解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化. (1)连接 AC，根据垂径定理，有勾股定理可以计算； (2)⊙A 的平移实质是圆心的平移，因此点 D 的坐标为(-5,6)，由点 D 的坐标 看，⊙D 与 x 轴相离，与 y 轴相切，与⊙A 外切； (3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.