沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3(1)垂径定理教案

27.3(1) 垂径定理教案 【教学目标】 1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 【教学重点】 掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 【教学难点】 垂径定理的探索和证明. 【教学方法】 引导、启发式教学方法． 【教学用具】 多媒体课件、画图工具、学习单． 【教学过程设计】 一、情景引入 由我国古代的赵州桥引入：怎么求出它的主拱桥的半径？ 二、学习新课 1、想一想： 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？能找到多少条对称 轴？你用什么方法解决上述问题的？ 2、探一探：如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且 AB⊥CD，垂 足为 M，则图中有哪些相等的量？为什么？ （学生观察，猜想，并得出以下结论） ① CO=DO（同圆的半径相等） ② AM=BM,弧 AD=弧 BD，弧 AC=弧 BC（如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 证明：联结 OA、OB，则 OA=OB. ∵ OM⊥AB, ∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧 AD=弧 BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. 又 ∵ CD 是⊙O 的直径， ∴ 弧 CAD=弧 CBD 即 弧 AD+弧 AC=弧 BD+弧 BC ∴ 弧 AC=弧 BC. 3、说一说：垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦， 且平分这条弦所对的弧. 也可以表述为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 用符号表达为：∵ 直径 CD⊥AB,垂足为 M， ∴ 弧 AD=弧 BD， 弧 AC=弧 BC 4、辩一辩：以下三个图,是否有弧 AE=弧 BE , 弧 AC=弧 BC , 弧 AD=弧 BD？ 5、练一练： (1)已知⊙O 的半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，AD 长为 2cm，弧 AB 长为 5cm. 求：（1）AB 的长；（2）弧 AC 的长. (2)如图，已知 P 是圆 O 内一点，画一条弦 AB， 使 AB 经过点 P，并且 AP=PB 例 1．如图,在⊙O 中,半径为 50 cm,弦 AB 的长为 50 cm, 求①点 O 到 AB 的距 离.②  AOB 的大小 变 1.弦 AB 的长为 50 cm,圆心 O 到 AB 的距离为 30 cm,求⊙O 的半径. 变 2.在⊙O 中,半径为 50 cm,圆心 O 到 AB 的距离为 30 cm,求弦 AB 的长. 例 2． 已知：如图，以点 O 为圆心的两个圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于点 C、D 两点， 求证：AC=DB 分析：作 OH⊥AB，垂足为 H 证明：过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H， ∵ＯH⊥ＡＢ ∴ＡH＝BH 又∵ＯH⊥ＣＤ ∴ＣH＝DH ∴ＡH－ＣH＝BH－DH 即ＡＣ＝ＢＤ 例 3．（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形， 它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为 7.2 米，求桥拱的半径（精确到 0.1 米） 分析： 如图，假设弧 AB 表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为 37.4 米，拱高为 7.2 米，求桥拱所在圆 的半径.（精确到 0.1 米） 1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义. 2、如何确定圆心的位置？ 3、图中哪些表示圆 O 的半径？ 4、如何建立等量关系？ 解：设圆 O 的半径为 R，则 OA=OB=OC=R 根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则 OD= 2.7R ∵ OC⊥AB，且 OC 过圆心 ∴ AD= 2 1 AB=18.7 在 Rt△AOD 中，∠ADO=90° ∵ AD 2 +OD 2 =OA 2 ∴ 18.7 2 + 2)2.7( R = 2R 9.27R 答：桥拱所在圆的半径约为 27.9 米. 三、巩固练习：P13-14 1、如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，线段 OM 的长的最小值为____. 最大值为____________. 2、已知⊙O 的直径是 50cm，⊙O 的两条平行弦 AB=40cm ，CD=48cm， 求：弦 AB 与 CD 之间的距离. 3、某人荡秋千，秋千踏板在静止时离地 0.3 米，秋千荡起时，踏板摆动的最大水平距离（两 最高点之间的距离）为 8 米，踏板离地最大高度为 1.3 米，求秋千的绳长. 四、课堂小结 知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是 构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足① 过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣 弧． 五、作业布置 练习册：P5，习题 27.3（1）