专题 15 双曲线（客观题）
一、单选题
1．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左､右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 的直线与双曲线的左
､右两支分别交于 A，B 两点，若 2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为
A． 3 B． 5
C． 7 D．3
【试题来源】陕西省榆林市 2020-2021 学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】C
【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立 ,a c 的等量关系式求解．
【解析】取 AB 的中点 D，连结 2DF ，设 2AF m ，则 1 12 , 2 2 AF m a BF m a ，
因为 1 2 2 2 BF BF m a a ，所以 1 24 , 4 , 2 3 m a DF a DF a ，
从而 1 2 2 2 7 , 7 cF F c a e a
，故选 C．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的
取值范围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ce a
；②只需要根据一个条件得到
关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别
除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
2．已知双曲线C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a ， 0b )的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，且以 1 2F F 为
直径的圆与双曲线C 的右支交于Q ，直线 1FQ 与C 的左支交于 P ，若 12F P PQ ，则双曲
线C 的离心率为
A． 5
2
B． 6
2
C． 3 D． 5
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】D
【分析】设 1F P x
，则由题设和双曲线的定义可得 1 3QF x ， 2 3 2QF x a ，
2 2PF x a ，利用勾股定理可求 x 的值及离心率．
【解析】连接 2 2,PF QF ．因为以 1 2F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q ，故 1 2FQ QF ．
设 1F P x
，则 2PQ x
， 1 3FQ x
， 2 3 2F Q x a
， 2 2F P x a
，
由 2PQF 为直角三角形，故 2 2 22 2 3 2x a x x a ，解析 4
3x a ，故 1 4FQ a
，
2 2F Q a
，因为 1 2FQF 为直角三角形，故 2 2 216 4 4a a c ，故 5e ．故选 D．
【名师点睛】与焦点三角形有关的离心率的计算，注意利用双曲线的定义实现边的关系的转
化，必要时需多次转化．
3．直线 2y x 和双曲线
2
2 13
x y 的渐近线相交于 A， B 两点，则线段 AB 的长度为
A． 2 6 B． 6
C． 2 3 D． 3
【试题来源】四川省凉山州 2020-2021 学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】A
【解析】双曲线
2
2 13
x y 的渐近线为 3
3y x ，
设 2y x 与 3
3y x 相交于 A 点，与 3
3y x 相较于 B 点，
由
2
3
3
y x
y x
解得 ( 3 3, 3 1)A ，由
2
3
3
y x
y x
解得 ( 3 3, 3 1)B ，
所以 2 2( 3 3 3 3) ( 3 1 3 1) 24 2 6AB ，故选 A．
4 ． 已 知 抛 物 线 2 2 0y px p 上 一 点 1,M m 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 ， 双 曲 线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左顶点为 A 且离心率为 5
2
，若双曲线的一条渐近线与直线
AM垂直，则双曲线的方程为
A．
2
2 14
yx B．
2
2 14
x y
C． 2 22 1x y D． 2 24 1x y
【试题来源】天津市滨海七校 2020-2021 学年高三上学期期末联考
【答案】D
【分析】先求出抛物线的方程，从而得到 m 的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线
与直线 AM垂直得到 a 的值，从而可得双曲线的方程．
【解析】因为 1,M m 到其焦点的距离为 5，故1 52
p ，故 8p ，故抛物线的方程为
2 16y x ，故 4m ．因为离心率为 5
2
，故
2 51 2
b
a
，故 1
2
b
a
，
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设 M 在第一象限，则 1,4M ，
则 AM与渐近线
2
xy 垂直，故
4 0 21 a
，故 1a ，故 1
2b ，
故双曲线方程为 2 24 1x y ．故选 D．
【名师点睛】（1） 2 2 0y px p 上一点 0 0,M x y 到其焦点的距离为 0 2
px ，解题中
注意利用这个结论．（2）如果直线 1 1 1:l y k x b 与直线 2 2 2:l y k x b 垂直，那么 1 2 1k k ．
5．已知双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0, 0)a b 的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，且以 1 2F F 为直径
的圆与双曲线C 的渐近线在第四象限交点为 P ， 1PF 交双曲线左支于Q ，若 12FQ QP ，
则双曲线的离心率为
A． 10 1
2
B． 10
C． 5 1
2
D． 5
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】A
【分析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得 P 点坐标，由 12FQ QP 可表示出Q 点坐
标，Q 点坐标代入双曲线方程整理后可求得 e ．
【解析】 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，圆方程为 2 2 2x y c ，
由
2 2 2x y c
by xa
， 由 2 2 2 a b c ， 0, 0x y ，解得 x a
y b
，即 ( , )P a b ，
设 Q(x0，y0)，由 12FQ QP ， 0 0 0 0( , ) 2( , )a x b y x c y ，得 0
2
3
a cx ， 0 3
by ，
因为Q 在双曲线上，所以
2 2
2 2
( 2 ) 19 9
a c b
a b
， 2(1 2 ) 10e ，
解得 10 1
2e （ 1 10
2e 舍去），故选 A
【名师点睛】解题关键是找到关于 , ,a b c 的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解
法，圆与渐近线相交得 P 点坐标，由向量线性关系得Q 点坐标，代入双曲线方程可得．
6．已知 1 2,F F 知是椭圆
2
2
1 : 14
xC y 与双曲线 2C 的公共焦点，A是 1 2,C C 在第二象限的
公共点．若 1 2AF AF ，则双曲线 2C 的离心率为
A． 6
5 B． 6
2
C． 3 D． 2
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】B
【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的 c ，利用勾股定理和椭圆的定义求得
1 2AF AF 得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．
【解析】易知椭圆
2
2
1 : 14
xC y 的焦点坐标为 ( 3,0) ，
设双曲线方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，则 3c ，
记 1 2,AF m AF n ，由 A在椭圆上有 2 2 2
4
(2 3)
x y
x y
，
所以 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) 2 12 4 8x y x y x y ，即 2 2 2a x y ， 2a ，
所以双曲线离心率为 3 6
22
ce a
．故选 B．
7．设双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的离心率为 7 ，则C 的渐近线方程为
A． 5y x B． 6y x
C． 5
5y x D． 6
6y x
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校 2020-2021 学年高三 12 月联考
【答案】B
【分析】根据
22 2
2 1b c a c
a a a
，即可求解．
【解析】由题意，双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的离心率为 7 ，即 7ce a
，
所以
22 2
2 1 6b c a c
a a a
，所以C 的渐近线方程为 6y x ．故选 B．
8．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
，其中 2y x 为其一条渐近线方程，则此双曲线的
离心率为
A． 2 B． 3
C． 5 D．3
【试题来源】山西省运城市河津中学 2021 届高三上学期阶段性测评（文）
【答案】C
【分析】根据题意，得到 2b
a
，结合离心率的定义，即可求解．
【解析】由题意，双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
，其中 2y x 为其一条渐近线方程，可得 2b
a
，
所以双曲线的离心率为
2
21 5c be a a
．故选 C．
9．过原点的直线l 与双曲线C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）相交于不同的两点 A， B ，
F 为双曲线C 的左焦点，且满足 3AF BF ， OA b （O 为坐标原点），则双曲线 C 的
渐近线的斜率为
A． B． 2
C． 3 D． 2
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】B
【分析】设点 F为双曲线的右焦点，根据直线l 过原点，由双曲线的对称性得到 AF BF ，
再利用双曲线的定义结合 3AF BF ，得到 3 ,AF a BF a ，再根据 OA b ，易
得 BF AB ，然后由 2 2 2AF BF AB 求解．
【解析】设点 F为双曲线的右焦点，因为直线l 过原点，由双曲线的对称性得四边形 AFBF
是平行四边形，所以 AF BF ，由双曲线的定义得 2AF AF a ，所以 2AF BF a ，
因为 3AF BF ，所以 3 ,AF a BF a ，因为 OA b ，则 OB b ，
因为 2 2 2c a b ，所以 BF AB ，则 2 2 2AF BF AB ，即 2 2 29 4a a b ，
解得
2
2 2b
a
，即 2b
a
，故选 B.
10．若椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 3
2
，则双曲线
2 2
2 2 1y x
a b
的离心率为
A． 3 B． 5
2
C． 7
2
D．2
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第一次教学质量检测（文）
【答案】B
【分析】利用椭圆的离心率，可得 a ，b 的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．
【解析】椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
2
，可得
2 2
2
3
4
a b
a
，即 1
2
b
a
，
双曲线
2 2
2 2 1y x
a b
的离心率为
2 2
2
1 51 4 2
c a b
a a
．故选 B ．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2 2
2 2 1 0x y a b
a b
的右焦点为 ,0F c ，过双
曲线上一点 0,P c y 作 y 轴的垂线足为 H ，若OP HF ，则该双曲线的离心率为
A． 5 1
2
B． 5 1
2
C． 5 1 D． 5 1
【试题来源】河南九师联盟 2020-2021 学年高三新高考 11 月质量检测
【答案】A
【解析】不妨设 P 在第一象限，则
2
, bP c a
，根据题意，四边形OFPH 为正方形，于是
2bc a= ，即 2 2 0 c a ac ，化简得 2e 1 0e ，解得 5 1
2e （负值舍去）．故选 A．
12．已知点 F 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左焦点．直线l ： y x 与双曲线
的左支交于点 P ，且 OP PF （O 为坐标原点），则此双曲线的离心率为
A． 2 10
2
B． 2 7
2
C． 2 5
2
D． 2
【试题来源】河南省洛阳市 2020-2021 学年第一学期高三第一次统一考试理数试题
【答案】A
【分析】首先根据条件求出点 P 的坐标，然后根据双曲线的定义可建立方程求解．
【解析】因为 OP PF ，直线l ： y x ，所以 45PFO POF
因为OF c ，所以可得 ,2 2
c cP
， 2
2PF c ，
设双曲线的右焦点为 1F ，由双曲线的定义可得 1 2PF PF a
即
2 2 2 22 2 2
c cc c a
，所以 10 2 22 2c c a
所以
2 10 2
210 2
2
c
ae
，故选 A.
13．双曲线
2 2
2 12
x y
b
的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为
A．2 B． 2 2
C．4 D． 4 2
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【解析】双曲线
2 2
2 12
x y
b
0, 0a b 的渐近线方程为
2
by x ，
因为两条渐近线互相垂直，所以 1
2 2
b b
，得 2 2b ，
因为 2 2 2 4c a b ，所以 2c ．所以双曲线的焦距长为 4．故选 C．
14．已知双曲线
2
2 1( 0)x y mm
的焦距为 4，则该双曲线的渐近线方程为
A． 3y x B． 3
3y x
C． 5
5y x D． 15
15y x
【试题来源】河南省开封市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】B
【解析】因为双曲线
2
2 1( 0)x y mm
的焦距为 4，
所以
241 2m
，则 3m ，则该双曲线的渐近线方程为 1 3
3y x xm
．故选 B．
15．若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋2 有公共点，则此双曲线的
离心率的取值范围是
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(1，3] D．(1，3)
【试题来源】备战 2021 年新高考数学一轮复习考点微专题
【答案】A
【解析】依题意可知双曲线渐近线方程为 by xa
，与抛物线方程联立消去 y 得 x2± b xa
＋
2＝0．因为渐近线与抛物线有交点，所以Δ＝
2
2
b
a
－8≥0，求得 b2≥8a2，
所以 c＝ 2 2a b ≥3a，所以 e＝ c
a ≥3．故选 A.
16．已知抛物线 2 2 0y px p 的焦点为双曲线
2 2
116 9
x y 的一个焦点，那么 p
A． 5
2 B．5
C．10 D．20
【试题来源】河南省 2021 届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】C
【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可．
【解析】双曲线
2 2
116 9
x y 的左焦点坐标是 5,0 ，抛物线 2 2 0y px p 的焦点为
,02
p
所以 52
p ，解得 10p ．故选 C．
17．已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离心率为 e ，
过点 1F 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，若 2 0AB BF
，且
1 2 135F AF ，则 2e
A．5 2 2 B．5 2 5
C．5 2 2 D． 5 2 5
【试题来源】山西省榆社中学 2021 届高三上学期 11 月阶段性考试（文）
【答案】C
【分析】根据题中条件，先得到 1 2 90F BF ， 2 45BAF ，设 2BF x ，根据双曲线
的定义，结合勾股定理，得到 2 222 2 2 8 2a a a c ，即可求出结果．
【解析】 2 0AB BF
， 2AB BF ， 1 2 90F BF ，
1 2 135F AF ， 2 45BAF ，设 2BF x ，则 2 2AF x ， AB x ，
由双曲线定义可得 1 2 2F A AB BF a ， 1 2F A a ，又 2 1 2AF AF a ，则
1 2 2F A x a ，则 2 2 2a x a ，所以 2 2x a ，因此 1 2 2 2BF a a ，
在 1 2Rt F BF△ 中，由勾股定理可得 2 2 2
1 2 1 2F B BF F F ，
即 2 222 2 2 8 2a a a c ，所以
2
2
2
8 4 8 2 8 5 2 24
ce a
．故选 C．
【名师点睛】求解本题的关键是先依据题意得到直角三角形，结合双曲线的定义求出三角形
三边的长度与 a 的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值即可．
18．已知抛物线 2 12y x 的焦点与双曲线
2 2
14
x y
a
的一个焦点重合，则 a
A． 5 B． 13
C．5 D． 2 5
【试题来源】北京市 2021 届高三上学期数学统练 5 试题
【答案】C
【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知 2 4c a ，求 a 的值．
【解析】抛物线 2 12y x 的焦点是 3,0 ，
双曲线
2 2
14
x y
a
中， 2 4c a ，由题意可知 4 9a ，解得 5a ．故选 C.
19．双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b
： ， 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线C 上，
且 1 2 3PF PF b ， 1 2
9
4PF PF ab ，则双曲线C 的离心率为
A． 5
3 B． 4
3
C． 21
3 D． 21
【试题来源】天津市红桥区 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】A
【分析】根据双曲线定义 1 2 2PF PF a 及 1 2 3PF PF b ， 1 2
9
4PF PF ab ，整
理可得 b
a
的值，再根据离心率公式 21 ( )be a
求得离心率．
【解析】由双曲线定义可知 1 2 2PF PF a ，又 1 2 3PF PF b ， 1 2
9
4PF PF ab ，
故 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 9 9 4PF PF PF PF PF PF b ab a ，
整理得 4
3
b
a
或 1
3
b
a
（舍），故离心率 2 51 ( ) 3
be a
，故选 A．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的
取值范围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ce a
；②只需要根据一个条件得到
关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别
除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
20．若双曲线
2 2
1 : 14 9
xC y 与双曲线
2 2
2 2 2: 1( 0, 0) x yC a ba b
有公共点，则双曲线 2C 的
离心率的取值范围是
A． 131, 2
B． 131, 3
C． 13 ,2
D． 13 ,3
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【解析】因为双曲线
2 2
1 : 14 9
xC y 的渐近线方程为 2
3y x ，
双曲线
2 2
2 2 2: 1( 0, 0) x yC a ba b
的渐近线方程为 by xa
，
为使双曲线
2 2
1 : 14 9
xC y 与双曲线
2 2
2 2 2: 1( 0, 0) x yC a ba b
有公共点，
只需 2
3
b
a
，则离心率为
22 2
2
4 131 1 9 3
c a b be a a a
．故选 D．
21．设 1F ､ 2F 分别为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在
点 P ，满足 2 1 2PF F F 且 2F 到直线 1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心
率为
A．1 7
3
B． 1 7
3
C． 5
4 D． 5
3
【试题来源】陕西省汉中市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】D
【分析】利用题设条件和双曲线的定义，表示出边，然后利用勾股定理得到 ,a c 的的等量关
系，左右同时除以 2a ，化简即可求得离心率．
【解析】依题意 2 1 2PF F F ，可知 1 2PF F△ 是一个等腰三角形， 2F 在直线 1PF 的投影是
中点，根据双曲线定义可知 1 2 2PF PF a ，所以 1 2 2PF a c ，由勾股定理可知
2 2 2 2
1 2 = 2 2F F a c a c ，整理可得 2 23 2 5 0c ac a ，即 23 2 5 0e e ，解
得 5
3e ．故选 D．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 5,0A 和 5,0B ，点 C 在双曲线
2 2
116 9
x y 的右支上，则 sin sin
sin
A B
C
A． 2
3 B． 2
3
C． 4
5 D． 4
5
【试题来源】云南省 2021 届高三第三次双基检测（理）
【答案】D
【解析】因为点C 在双曲线
2 2
116 9
x y 的右支上，且 5,0A 和 5,0B 为双曲线的两个焦
点 ， 所 以 8CA CB ； 因 为 10AB ， 所 以 由 正 弦 定 理 得
sin sin 8 4
sin 10 5
CB CAA B
C AB
，故选 D．
【名师点睛】解答本题的关键在利用正弦定理将 sin sin
sin
A B
C
变形为边的形式，然后可根据
所给长度求解出结果．
23．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a ， 0b )的左右焦点分别为 1F ， 2F ， P 为双曲线右支
上的任意一点，若
2
1
2
PF
PF
的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是
A． 1,2 B． 2,3
C． 1,3 D． 2,3
【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市第二高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和基本不等式可得当 2 2PF a ， 1 4PF a 时，
2
1
2
PF
PF
取得最小
值，再由 1 2 1 2 PF PF F F 即可求出离心率范围．
【解析】 P 为双曲线右支上的任意一点，则 1 2 2PF PF a ，即 1 2 2PF PF a ，
则 22 2 2
21
2 2
2 2 2 2
2 4 44 2 4 8
PF aPF a aPF a PF a aPF PF PF PF
，
当且仅当
2
2
2
4 aPF PF ，即 2 2PF a 时等号成立，此时 1 4PF a ，
1 2 1 2 PF PF F F ，即 6 2a c ，即 3e ， 1 3e ．故答案为 C．
24．已知 1F ， 2F 是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左右焦点，若在右支上存在点 A使得点
2F 到直线 1AF 的距离为 3a ，则离心率 e 的取值范围是
A． 51, 2
B． 5 ,2
C． 71, 2
D． 7 ,2
【试题来源】湘豫名校联考 2020-2021 学年高三（理）
【答案】D
【分析】设直线 1AF 的方程，利用点 2F 到直线的距离建立等式，解出斜率 k ，因为 0 bk a
，
从而求出 ,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围．
【解析】设 1AF ： ( )y k x c ，因为点 A 在右支上，则 0 bk a
，
因为
2
23
1
kca
k
，所以
2 2
2
2 2 2
3
4 3
a bk c a a
，即 2 24 7c a ，解得 7
2e 故选 D．
25．已知曲线 1C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
与曲线 2C ： 2 2 ( 0)y px p 有公共的焦点 F，P
为 1C 与 2C 在第一象限的交点，若 PF x 轴，则 1C 的离心率 e 等于
A． 2 1 B． 2 1
C． 5 1
2
D． 5 1
2
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【解析】抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 ( ,0)2
pF ，
由 PF x 轴，即
2
px ，可求得 PF p ，
设双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的另一个焦点为 'F ，
由抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 ( ,0)2
pF 与双曲线的右焦点重合，
即
2
pc ，可得双曲线的焦距 ' 2FF c p ，
由 'PFF△ 为直角三角形，则 2 2' ' 2PF FF PF p ，
根据双曲线的定义，得 2 ' 2 ( 2 1)a PF PF p p p ，
所以双曲线的离心率为 2 2 12 ( 2 1)
c pe a p
，故选 A．
26．已知Q 为双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点 M
关于双曲线中心 O 的对称点为 N ，设直线 QM 、 QN 的倾斜角分别为 、 ，且
tan( ) 4
tan tan 3
，则双曲线的渐近线方程为
A． 2y x B． 1
2y x
C． 4y x D． 1
4y x
【试题来源】河南省 2021 届高三上学期名校联盟模拟信息卷（理）
【答案】B
【解析】设 0 0,M x y ，则 0 0,N x y ，因为 tan( ) 4
tan tan 3
，所以
tan tan
41 tan tan
tan tan 3
，
即 1 4
1 tan tan 3 ， 1tan tan 4
， 1
4QM QNk k ，
因为 ,0Q a ，所以
2
0 0 0
2 2
0 0 0
0 0 1
4
y y y
x a x a x a
，
因为
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
，所以 2
2 2
02
2
0 aay b x ，即 2
2 2
02
2 2
0
1
4
b x aa
x a
，
2
2
1
4
b
a
， 1
2
b
a
，
故双曲线的渐近线方程为 1
2
by x xa
，故选 B．
【名师点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的渐近线方程为
by xa
，双曲线
2 2
2 2 1y x
a b
的渐近线方程为 ay xb
，考查两角和的正切公式的应用，
考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题．
27．设点 ,A B 分别为双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左右焦点，点 ,M N 分别在双
曲线C 的左、右支上，若 2
5 ,MN AM MB MN MB ，且 ,MB NB
则双曲线C 的离
心率为
A． 65
5
B． 85
5
C．13
5 D．17
7
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【解析】因为 5MN AM ，所以 , ,A M N 共线，设 AM m ，则 5MN m ，
2 2
( )MB MN MB MB MB BN MB MB BN ，所以 0MB BN ，
所以 MB BN ，结合双曲线定义得
2 2 2
2
6 2
(5 )
MB m a
m NB a
MB NB m
，
所以 2 2 2( 2 ) (6 2 ) 25m a m a m ，整理得 ( )(3 2 ) 0m a m a ． m a 或 2
3m a ，
若 2
3m a ，则 8
3MB a ， 2NB a ，不满足 MB NB
，舍去，
若 m a ，则 3MB a ， 4NB a ，满足 MB NB
， 5MN a ， 6AN a ，
所以在 MNB 中 4 4cos 5 5
aMNB a
，
在 ANB 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAB AN BN AN BN NB ，
即 2 2 24 36 16 6 4 5
42c a a a a ，整理得
2
2
17
5
c
a
，所以 85
5
ce a
．故选 B．
28．已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的离心率为 2 ，左、右焦点分别为 1F 、 2F ，A
在C 的左支上， 1AF x 轴，A、B 关于原点对称，四边形 1 2AF BF 的面积为 48 ，则 1 2F F
A．8 B． 4
C．8 3 D． 4 3
【试题来源】周口市商丘市大联考 2020-2021 学年第一学期高中毕业班阶段性测试
【答案】A
【分析】设 1 2 2F F c ，求出 1AF ，由题意可知四边形 1 2AF BF 为平行四边形，根据四边
形 1 2AF BF 的面积为 48 可得出关于 a 的等式，由此可求得 1 2F F ．
【 解 析 】 设 1 2 2F F c ， 由 于 双 曲 线 的 离 心 率 为 2ce a
， 2c a ， 则
2 2 3b c a a ，所以，双曲线C 的方程为
2 2
2 2 13
x y
a a
，即 2 2 23 3x y a ，
将 x c 即 2x a 代入双曲线C 的方程可得 3y a ， 1 3AF a ，
由于 A、 B 关于原点对称， 1F 、 2F 关于原点对称，则四边形 1 2AF BF 是平行四边形，
四边形 1 2AF BF 的面积 23 4 12 48S a a a ，解得 2a ， 1 2 2 4 8F F c a ．故
选 A．
29．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左焦点为 F，左顶点为 A，直线 y kx 交双曲线于
P､Q 两点(P 在第一象限)，直线 PA 与线段 FQ 交于点 B，若 2FB BQ ，则该双曲线的离
心率为
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，联立直线与双曲线方程即可求出设 P ，Q 的坐标，设
,B m n ，由 2FB BQ ，所以 2FB BQ ，即可表示出 B 的坐标，再根据 B 、 A、 P 在
一条直线上，所以 AP ABk k ，即可求出得到方程，从而得解；
【解析】依题意可得 ,0A a ， ,0F c ，因为 P 在第一象限，所以 0k ，设 1 1,P x y ，
2 2,Q x y ，联立直线与双曲线方程
2 2
2 2 1x y
a b
y kx
，消去 y 得 2 2 2 2 2 2 0b a k x a b ，
解得 2 2 2
abx
b a k
，所以 2 2 2 2 2 2
,ab abkP
b a k b a k
， 2 2 2 2 2 2
,ab abkQ
b a k b a k
，
设 ,B m n ，由 2FB BQ ，所以 2FB BQ ，
即 2 2 2 2 2 2
, 2 ,ab abkm c n m n
b a k b a k
即
2 2 2
2 2 2
2
2
abm c m
b a k
abkn n
b a k
解得
2 2 2
2 2 2
2
3
2
3
ab cm
b a k
abkn
b a k
即
2 2 2 2 2 2
2 2,3 3
ab c abkB
b a k b a k
因为 B 、 A、 P 在一条直线上，所以 AP ABk k ，
即 2 2 2 2 2 2
2
2 3
abk abk
ab a b a k ab c a b a k
，
即 2 2 2 2 2 2
1 2
2 3ab a b a k ab c a b a k
，
即 2 2 2 2 2 22 2 2 3ab a b a k ab c a b a k ，
所以 2 2 2 2 2 22 3a b a k c a b a k ，解得 5c a ，所以 5ce a
，故选 D.
30．如图，已知点 0 0,P x y 是双曲线
2 2
1 : 14 3
x yC 上的点，过点 P 作椭圆
2 2
2 : 14 3
x yC
的两条切线，切点为 A 、 B ，直线 AB 交 1C 的两渐近线于点 E 、 F ， O 是坐标原点，则
OE OF 的值为
A． 3
4 B．1
C． 4
3 D． 9
16
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】B
【分析】设点 0 0,P x y ，求出直线 AB 的方程为 0 03 4 12x x y y ，联立直线 AB 与双曲
线两渐近线方程，求出点 E 、 F 的坐标，由此可计算得出OE OF 的值．
【 解 析 】 先 证 明 结 论 ： 椭 圆
2 2
2 : 14 3
x yC 在 其 上 一 点 0 0,M x y 的 切 线 方 程 为
0 03 4 12x x y y ．由于点 0 0,M x y 在椭圆 2C 上，则 2 2
0 03 4 12x y ，
联立 0 0
2 2
3 4 12
3 4 12
x x y y
x y
，消去 y 得 2 2 2 2
0 0 0 03 4 24 48 16 0x y x x x y ，
即 2 2
0 012 24 12 0x x x x ，即 2
0 0x x ，所以，直线 0 03 4 12x x y y 与椭圆 2C 相
切．所以椭圆
2 2
2 : 14 3
x yC 在其上一点 0 0,M x y 的切线方程为 0 03 4 12x x y y ．
本题中，设点 0 0,P x y ，设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
直线 PA 的方程为 1 13 4 12x x y y ，直线 PB 的方程为 2 23 4 12x x y y ，
由于点 0 0,P x y 在直线 PA 、 PB 上，可得 1 0 1 0
2 0 2 0
3 4 12
3 4 12
x x y y
x x y y
，
所以点 1 1,A x y 、 2 2,B x y 满足方程 0 03 4 12x x y y ，所以，直线 AB 的方程为
0 03 4 12x x y y ．联立
0 03 4 12
3
2
x x y y
y x
，得点
0 0 0 0
4 3 6,
3 2 3 2
E
x y x y
，
同理
0 0 0 0
4 3 6,
3 2 3 2
F
x y x y
．
因此， 2 2 2 22 2
0 00 0 0 0
48 36 12 13 43 2 3 2
OE OF x yx y x y
．故选 B．
【名师点睛】在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 y kx m 与椭圆方程联立，由 0 进行求解；
（2）椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
在其上一点 0 0,x y 的切线方程为 0 0
2 2 1x x y y
a b
，在应用此方程时，
首先应证明直线 0 0
2 2 1x x y y
a b
与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
相切．
二、填空题
1．已知双曲线
2 2
2 1 09
x y aa
的离心率是 5
4
，则双曲线的右焦点坐标为_________．
【试题来源】北京市昌平区 2021 届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】 5,0
【解析】由题意可知，该双曲线的离心率为
2
2
9 5
4
ae a
，解得 4a ，
所以，双曲线的标准方程为
2 2
116 9
x y ，则 16 9 5c ，
因此，该双曲线的右焦点坐标为 5,0 ．故答案为 5,0 ．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，设双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 F ，若双曲
线的右支上存在一点 P ，使得
△
OPF 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的
离心率为_________．
【试题来源】江苏省常州市四校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】 3 5 (或 2 10
2
)
【分析】先根据 OPF△ 的形状先确定出 P 点坐标，然后将 P 点坐标代入双曲线方程，根据
,a c 的齐次式求解出离心率的值．
【解析】因为 OPF△ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，
不妨假设 P 在第一象限，所以 1
2 2P P F
cx y x ，所以 ,2 2
c cP
，
所以
2 2
2 2 14 4
c c
a b
，所以 2 2 2 2 2 24c b c a a b ，
所以 2 2 2 2 2 2 2 24c c a c a a c a ，所以 4 2 2 46 4 0c a c a ，
所以 4 26 4 0e e ，所以 2 6 36 16 3 52e ，
因为 1e ，所以
2
2 10 2 103 5 2 2e
，
故答案为 3 5 （或 2 10
2
）．
3．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾
用太极图解释宇宙现象．太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的
圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切．若正方形的边长为 8，则以两个小圆
的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线
实轴长是_________．
【试题来源】2021 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】 2 2
【解析】以两焦点所在直线为 y 轴，两焦点所在线段的中垂线为 x 轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为 2c ，由题意得双曲线的渐近线方程为 y x ， 4 8c ，
所以 , 2a b c ，进而得 2a ．故双曲线的实轴长为 2 2 ．故答案为 2 2
4．点 A是椭圆
2 2
1 : 125 16
x yC 与双曲线
2 2
2 : 14 5
x yC 的一个交点，点 1 2,F F 是椭圆 1C 的
两个焦点，则 1 2| | | |AF AF 的值为_________．
【试题来源】上海市青浦区 2021 届高三上学期一模
【答案】 21
【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设 1 2| | ,| |AF m AF n ，不妨设 0 n m ，
利用椭圆与双曲线的定义，求出 ,m n 即可．
【解析】对于椭圆 1C ：焦点在 x 轴上， 2 2 2 25 16 9c a b ；
对于双曲线 2C ：焦点在 x 轴上， 2 2 2 4 5 9c a b ；
则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设 1 2| | ,| |AF m AF n ，不妨设 0 n m ，
利用椭圆与双曲线的定义，得到 10
4
m n
m n
，则 7
3
m
n
，
所以 21mn ，则 1 2| | | |AF AF 的值为 21；故答案为 21．
5．如图，已知双曲线
2 2
2: 12
x yC a a
的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，M 是 C 上位于第一象
限内的一点，且直线 2F M 与 y 轴的正半轴交于 A 点， 1AMF 的内切圆在边 1MF 上的切点
为 N，若| | 4MN ，则双曲线 C 的离心率为________．
【试题来源】湖南省 2020-2021 学年高三上学期月考（四）
【答案】 22
4
【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到 2 24 2GF MF a ，进而得到 2 8a ，
求出 a ，即可求出双曲线的离心率．
【解析】如图所示：设 1AMF 的内切圆在 1,AF AM 上的切点分别为 ,E G ，
由双曲线的定义知 1 2 2MF MF a ，即 1 24 2NF MF a ，
又 1 1 2NF EF GF ，即 2 24 2GF MF a ，即 4 2GM a ，
又 4GM MN ， 2 8a ，即 4a ，则 2 16a ， 2 4 2 6a ，
2 2 2 16 6=22c a a ，即 22c ， 22
4e ，故答案为 22
4
．
【 名 师 点 睛 】 本 题 解 题 的 关 键 是 利 用 双 曲 线 的 定 义 以 及 切 线 长 定 理 得 到
2 24 2GF MF a ．
6．已知 1 2F F， 分别为双曲线
2 2
2 2 1 0 0x yC a ba b
： ， 的左右焦点，过 1F 的直线与双曲
线C 的左支交于 A B， 两点，连接 2 2AF BF， ，在 2ABF 中， 2 1sin 2 4
ABF ， 2AB BF ，
则双曲线C 的离心率为_________．
【试题来源】 2021 届高三上学期第三次月考（文）
【答案】 2
【分析】设 1BF m ，则由双曲线定义可得 2 2BF a m ， 1 2AF a ， 2 4AF a ，由
2 1sin 2 4
ABF 可得 6m a ，再在 1 2BF F△ 中根据余弦定理即可列出式子求出离心率．
【解析】设 1BF m ，则由双曲线定义可得 2 2BF a m ，
1 1 2 2AF AB BF BF m a ，则 2 4AF a ，
则 2 2 1sin 2 2 4
ABF a
a m
，解得 6m a ，从而 2 8BF a ．
在 1 2BF F△ 中， 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 cos FF F BF BF BF BF BF ，
即 2 2 2 2 24 36 64 2 6 8 1 2sin 2
ABFc a a a a
，解得 2ce a
．故答案为 2．
7．已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
和双曲线 2C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y m nm n
的焦点
相同， 1F ， 2F 分别为左､右焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点， PM x 轴， M
为垂足，若 2
2
3OM OF (O 为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为_________．
【试题来源】浙江省台州市六校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】 3
2
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，所以 2
2 2
3 3OM OF c ，即 P 的横坐标为 2
3 c ，
设 1 2,PF s PF t ，由椭圆的定义得 2s t a ，由双曲线的定义得 2s t m ，
联立解得 ,s a m t a m ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 1 2,e e ，
由椭圆的第二定义得
2
2 2 2
3p
PF t c
a a ax cc c
，解得 1
2
3t a e c ，
由双曲线的第二定义得
2
2 22
3p
PF t c
m m mx cc c
，解得 2
2
3t e c m ，
又t a m ，则 2
2
3a e c ， 1
2
3
2e e
，所以 1 2 2
3
2
ce e ea
，故答案为 3
2 .
8．已知双曲线
2 2
: 18 2
x yC 与 x 轴的正、负半轴分别交于 M ， N 两点，左、右焦点分
别 为 1F ， 2F ， 若 以 1 2F F 为 直 径 的 圆 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 点 P ， 则
tan 2 MPN _________．
【试题来源】华大新高考联盟全国卷 2021 届高三 11 月教学质量测评（理）
【答案】 8
15
【解析】设点 P 在第一象限．连接 PM， PN ，则 10OP ， 2 2OM ON
因为 1tan 2
bMOP a
，所以 2PM ， 2 2 2OP OM PM ，则 90PMN
故 2 2, 2P ， 4 2MN ，
则在直角 PMN 中， tan MPN 4MN
PM
， 8 8tan 2 1 16 15MPN
．
9．已知双曲线
2 2
18: 8
x yC 的左焦点为 F，点 M 在双曲线 C 的右支上， (0,4)A ，当
MAF△ 的周长最小时， MAF△ 的面积为_________．
【试题来源】山东省百所名校 2020-2021 学年上学期高三上学期 12 月联考
【答案】12
【分析】 MAF△ 的周长为 MA MF AF ，其中 4 2AF 为定值，所以即求
MA MF ，利用定义可得 4 2MF MF ，所以周长为 8 2MA MF ，作图当
A FM、 、 三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积．
【解析】如图，设双曲线 C 的右焦点为 F．由题意可得 2 2, 4 0 4 0a F F （ ，）, （ ，）．
因为点 M 在右支上，所以 2 4 2MF MF a ，所以 4 2MF MF ，则
MAF△ 的周长为 8 2 8 2 12 2MA MF AF MA MF AF ，
即当 M 在 M 处时， MAF△ 的周长最小，此时直线 AF 的方程为 4y x ．
联立 2 2
4
18 8
y x
x y
，整理得 1 0y ，则 1My ，
故 MAF△ 的面积为 1 1 1' 8 4 1 122 2 2MFF OA FF y （ ） ．故答案为 12.
10．已知直线 3y x 与双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
有两个交点，则双曲线 C 的
离心率的取值范围是_________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（三）
【答案】 2,
【分析】若要直线 3y x 与双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
有两个交点，则直线
3y x 的斜率要小于渐近线 by xa
的斜率，建立不等式，即可得解．
【解析】双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的渐近线方程为 by xa
，
若直线 3y x 与双曲线有两个交点，则 3b
a
，即 2 23b a ，即 2 2 23c a a ，
所以 2 24c a ， 2 4e ，即 2e ，故答案为 2, ．
11．已知直线 y a 与双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的一条渐近线交于点 P ，双曲线
C 的左、右顶点分别为 1A ， 2A ，若 2 1 2
5
2PA A A ，则双曲线C 的离心率为_________．
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】 2 或 10
3
【分析】解出点 P 的坐标，用两点间距离公式求出 2 1 2,PA A A ，化简整理出 , ,a b c 的关系
式，从而求得离心率．
【解析】若渐近线的方程为 by xa
，则点 P 的坐标为
2
,a ab
．
因为 2 1 2
5
2PA A A ，所以
22
2 25a a a ab
，则
2
1 4a
b
，所以 3a
b
，
从而
2
2
101 3
be a
．
若渐近线的方程为 by xa
，则点 P 的坐标为
2
,a ab
，同理可得 2e ．
12．如图，已知 F 为双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右焦点，过点 F 的直线交两渐近线
于 A，B 两点．若 120AOB ， OAB 内切圆的半径 3
5
a br ，则双曲线的离心率为
_________．
【试题来源】长郡中学、、长沙市一中联合体 2020-2021 学年高三上学期联考
【答案】 19
4
【解析】由焦点 F 到渐近线的距离为 b ， 120OAB 知 2 3
3AF b ，
在 OAF△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cos120OF OA AF OA AF ，
即
2
2 2 2 3 2 32 cos1203 3c OA b OA b
，解之得 3
3OA a b ．
设 OAB 内心为 M ，作 MN OA 于 N ，显然 60MAO ， 3
5
a bMN r ，
则 3 3 3
3 15
a bAN MN ，则 3 3 3 12 4 3
3 15 15
a b a bON OA AN a b ，
3
35tan 412 4 3
15
a b
MNMON ON a b
，即 3
4
b
a
，
22 3 191 1 4 4
be a
．故答案为 19
4
【名师点睛】求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出 ,a c 代入离心率的公式即
得解）；（2）方程法（找到关于离心率的方程求解）．要根据已知灵活选择合适的方法求解．
13．已知 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左，右焦点，P 是双曲线 C 的右支
上一点， 1O 是 1 2PF F 的内心，且 1 2 1 1 1 1 2
: : 1: 2:3O F P O F P O F FS S S ，则 C 的离心率为
_________．
【试题来源】湖南省五市十校 2020-2021 学年高三上学期第二次大联考
【答案】3
【分析】由焦点三角形内心与各顶点构成的三角形中 1 2 1 1 1 1 2
: : 1: 2:3O F P O F P O F FS S S ，令
内 切 圆 半 径 为 r 有
1 2 1 1 1 1 22 1 1 2
1 1 1| | , | | , | |2 2 2O F P O F P O F FS PF r S PF r S F F r ， 且
1 2| | | | 2PF PF a ，即可求离心率．
【解析】设内切圆半径为 r ，则
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1: : | | : | | : | | | |:| |:| | 1: 2:32 2 2O F P O F P O F FS S S PF r PF r F F r PF PF F F ，
故 2 1 2
1 2| | | |3 3PF F F c ， 1 1 2
2 4| | | |3 3PF F F c ，又 1 2| | | | 2PF PF a ，即 2 23 c a ，
故 3e ．故答案为 3．
14．已知点 P 是双曲线
2 2
14 12
x y 上的动点， 1F ， 2F 分别为双曲线的左，右焦点，O 为
坐标原点．若点 M 是 1 2F PF 的角平分线上的一点，且 1F M MP ，则| |OM _________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（六）
【答案】2
【解析】延长 2PF 交 1F M 延长线于点 N ，
因为点 M 是 1 2F PF 的角平分线上的一点，且 1F M MP ，
所以点 M 为 1F N 的中点， 1PN PF ；又点O 为 1 2F F 的中点，所以 2
1
2OM F N ，
当点 P 在右支时（如图 1）， 2 2
1 1
2 2OM F N PN PF ，
由双曲线的定义可得 1 2 2 4PF PF a ，所以 1
1 4 22OM PN PF ，
当点 P 在左支时（如图 2）， 2 2
1 1
2 2OM F N PF PN ，
由双曲线的定义可得 2 1 2 4PF PF a ，
所以 2 1
1 1 4 22 2OM F N PF PN ．故答案为 2 ．
【名师点睛】求解本题的关键在于先延长 2PF 交 1F M 延长线于点 N ，根据题中条件，得出
1PN PF ， 2
1
2OM F N ，结合双曲线的定义，即可求解．
15．已知 1F ， 2F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
的左、右焦点，C 的离心率 2e ，过 2F 的
直线与双曲线C 的右支交于 A、B 两点（其中 A点在第一象限），设点 M 、N 分别为 1 2AF F△ 、
1 2BF F△ 的内心，则 MN 的范围是_________．（用只含有 a 的式子表示）
【试题来源】湖北省十一校考试联盟 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】 4 32 , 3
aa
【分析】利用双曲线的性质可得 M 、N 的横坐标相等为 a ，得到 MN x 轴且过双曲线右
顶点，设 AB 的倾斜角设为 ，根据题中条件，得到 2
sin
aMN ，以及 的范围，即可得
到所求范围．
【解析】记边 1AF 、 2AF 、 1 2F F 上的切点分别为 H 、G 、 E ，
则 AH AG ， 1 1F H F E ， 2 2F G F E ，
由双曲线的定义可得 1 2 2AF AF a ，即 1 2 2AH HF AG GF a ，
得 1 2 2HF GF a ，则 1 2 2F E F E a ，记 M 的横坐标为 0x ，则 0,0E x ，
于是 0 0 2x c c x a ，得 0x a ．
同理，内心 N 的横坐标也为 a ，则有 MN x 轴． 即 1 2AF F△ 、 1 2BF F△ 的内心 M 、N 在
直线 x a 上，则C 的右顶点为 E ，直线 AB 的倾斜角为 ，
因为C 的离心率 2e ，所以 2c
a
，则
2 2
2 4a b
a
，所以 3b
a
，
因 为 过 2F 的 直 线 与 双 曲 线 C 的 右 支 交 于 A 、 B 两 点 ， 所 以 tan 3b
a
或
tan 3b
a
或
2
；则 2
3 3
，且 MN ME NE ，
在 2Rt MF E△ 中， 2 2MF E ， tan tan2 2 2 2ME c a a
，
同理，在 2Rt NF E△ 中， 2 2NF E ， tan tan2 2NE c a a ，
则 tan tan2 2 2MN ME NE a
1 2
sinsin cos2 2
aa ，
因为 2
3 3
，所以 3 sin 12
，因此 4 32 3
aa MN ．故答案为 4 32 , 3
aa
．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据双曲线的性质以及三角形内切圆的性质，得到 M 、
N 的横坐标都为 a ，再结合直线与双曲线交点的位置以及双曲线的离心率确定直线 AB 的
倾斜角的范围，即可求解．
三、双空题
1．双曲线
2
2 13
x y 的离心率为_________，渐近线方程为_________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 2 3
3
3 0x y
【分析】根据双曲线方程求出 , ,a b c ，再由离心率 ce a
，渐近线 by xa
即可求解．
【解析】由双曲线
2
2 13
x y ，则 2 3a ， 2 1b ，所以 2 2 2c a b ，
所以 2 2 3
33
ce a
，渐近线 by xa
，即 1 3 0
3
y x x y ．
故答案为 2 3
3
； 3 0x y .
2．双曲线
2
2 14
yx 的渐近线方程为_________，焦距为_________．
【试题来源】北京市 2020 届高三 6 月阶段性检测
【答案】 2y x 2 5
【解析】令
2
2 04
yx 得 2y x ，即双曲线
2
2 14
yx 的渐近线方程为 2y x ；
焦距为 2 1 4 2 5 ．故答案为 2y x ； 2 5 ．
【名师点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型．
3．已知双曲线
2 2
2: 1( 0)3
x yC aa
，F 为左焦点，若 2a ，则双曲线离心率为_________；
若对于双曲线C 上任意一点 P ，线段 PF 长度的最小值为1，则实数 a 的值为_________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 7
2
1
【解析】因为双曲线
2 2
2: 1( 0)3
x yC aa
，
若 2a ，则 2 2 3 7c a ，所以 7c ，因此双曲线的离心率为 7
2
ce a
；
因为 F 为左焦点，所以 ,0F c ，其中 2 2 3c a ，
若对于双曲线C 上任意一点 P ，为使线段 PF 的长度最小，则点 P 必在该双曲线的左支上，
设 0 0,P x y ，则 0x a ，
2 2
0 0
2 13
x y
a
，
所以
2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 02 2
32 3 2c cPF x c y x cx c x x cx a x aa a a
1c a a c aa
，因此 22 21 3c a a ，解得 1a ．故答案为 7
2
；1．
【名师点睛】对于双曲线上一点到焦点距离的最小值问题，一般先根据焦点位置，确定使距
离最小的点应位于双曲线的哪一支，再根据双曲线的性质（顶点到对应焦点的距离最小），
即可求出结果；也可根据双曲线的焦半径公式求解；或利用两点间距离公式，确定使距离最
值的点的位置，即可求解．
4．双曲线
2
2: 12
yC x 的渐近线方程为_________；设 A、B 分别为 C 的左、右顶点，P
为C 上的一点，若 1tan 3PAB ，则 tan APB _________．
【试题来源】福建省泉州市 2021 届高三毕业班质量检测
【答案】 2y x 17
9
【分析】由双曲线 C 的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点 ,P x y ，计算得出
2AP BPk k ，再利用两角差的正切公式可求得 tan APB 的值．
【解析】由题 2 1a ， 2 2b ，渐近线方程为 2y x ．
设 ,P x y ，由题设
1AP
yk x
，
1BP
yk x
，
又
2
2 12
yx ，
2
2 21
y
x ，即
2
2 21AP BP
yk k x
，即 tan tan 2PAB PBA ，
1tan 3PAB ， tan 6PBA ，
16tan tan 173tan tan 1 tan tan 1 2 9
PBA PABAPB PBA PAB PBA PAB
．
故答案为 2y x ；17
9
．
5．双曲线 :C
2
2 14
xy 的渐近线方程为_________，设双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
经过
点 4,1 ，且与C 具有相同渐近线，则C 的方程为_________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学 2020 届高三下学期 5 月模拟
【答案】
2
xy
22
112 3
yx
【分析】令
2
2 04
xy ，求得 1
2y x ，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到
2a b ，得出
2 2
2 2 14
x y
b b
，将点 4,1 代入方程，求得 2 2,a b 的值，即可求得双曲线的标
准方程．
【解析】由题意，双曲线
2
2 14
xy ，令
2
2 04
xy ，解得
2
2
4
xy ，即 1
2y x ，
即双曲线的渐近线的方程为 1
2y x ，
由双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
和双曲线
2
2 14
xy 相同的渐近线，
可得 1
2
b
a
，即 2a b ，所以
2 2
2 2 14
x y
b b
，
将点 4,1 代入方程
2 2
2 2 14
x y
b b
，即 2 2
16 1 14b b
，解得 2 3b ，所以 2 24 12a b ，
所以所求双曲线的方程为
22
112 3
yx
故答案为 1
2y x ，
22
112 3
yx ．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲
线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
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