高中数学讲义微专题11---15

微专题 11 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转 化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数 的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为 两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数 的零点 方程 的根 方程 的根 函数 与 的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题， 并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为 ，从而用 可表示出 ，将关于 的表达 式转化为关于 的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果 关于 轴对称，则 ；同理， 若 关于 中心对称，则也有 。将对称的点归为一组，在求和时可与 对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例 1：已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. ( )f x ⇒ ( ) 0f x = →方程变形 ( ) ( )g x h x= ⇒ ( )g x ( )h x t t 1 2, ,x x  1 2, ,x x  t 1 2,x x x a= 1 2 2x x a+ = 1 2,x x ( ),0a 1 2 2x x a+ = ( ) lgf x x= 0 a b< < ( ) ( )f a f b= 2a b+ ( )2 2,+∞ )2 2, +∞ ( )3,+∞ [ )3,+∞思路：先做出 的图像，通过图像可知，如果 ，则 ，设 ，即 ，由 范围 可得： ，从而 ， 所 以 ， 而 ， 所 以 答案：C 小炼有话说：（1）此类问题如果 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量 ，从而用 表示出 ，达到消元效果，但 是要注意 是有范围的（通过数形结合 需与 有两交点）；一个是通过图像判 断出 的范围，从而去掉绝对值。 例 2：已知函数 ，若有三个不同的实数 ，使得 ，则 的取值范围是 ________ 思路： 的图像可作，所以考虑作出 的图 像 ， 不 妨 设 ， 由 图 像 可 得 ： ，且关于 轴 对称，所以有 ，再观察 ，且 ， 所以 ，从而 答案： 小炼有话说：本题抓住 关于 对称是关键，从而可由对称求得 ，使得所 求式子只需考虑 的范围即可 ( )f x ( ) ( )f a f b= 0 1a b< < < ( ) ( )f a f b t= = ( )lg 0 lg a t t b t = > = ,a b lg 0,lg 0a b< > lg lg t t a t a e b t b e −= − = ⇒ = =  12 2 t ta b ee + = + 0te > ( )12 3,t te e + ∈ +∞ ( )f x t t ,a b t y t= ( )y f x= ,a b ( ) [ ] ( )2015 cos , 0,2 log , , x x f x x x π π ππ   − ∈   =   ∈ +∞ , ,a b c ( ) ( ) ( )f a f b f c= = a b c+ + ( )f x ( )f x a b c< < ( ) ( ) ( )0,1f a f b= ∈ [ ], 0,a b π∈ 2x π= 2 2 a b a b π π+ = ⇒ + = c π> ( ) ( ) ( )2015log 0,1cf c f aπ= = ∈ 20150 log 1 2015c cπ ππ< < ⇒ < < ( ) ( )2 ,2016a b c cπ π π+ + = + ∈ ( )2 ,2016π π ,a b 2x π= a b π+ = c例 3：定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数 的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 思路： 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的 图像，再利用对称作出负半轴图像，当 时， 函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。 的 零 点 ， 即 为 方 程 的 根 ， 即 图像与直线 的交点。观察图像可得有 5 个 交 点 ： 关 于 对 称 ， ， 且 满 足 方 程 即 ，解得： ， 关于 轴对称， 答案：B 例 4 ： 已 知 ， 函 数 的 零 点 分 别 为 ， 函 数 的零点分别为 ，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 思路：从 解析式中发现 可看做 与 的交点， 可看做 与 的 交点，且 ，从而 均可由 进 行表示，所以 可转化为关于 的函数， 再求最小值即可 解：由图像可得： R ( )f x 0x ≥ ( ) [ ) [ ) 1 2 log ( 1), 0,1 1 3 , 1, x x f x x x  + ∈=   − − ∈ +∞ x ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < < 2 1a − 1 2a− 2 1a− − 1 2 a−− ( )f x 0x > ( )F x ( ) 0f x a− = ( )f x y a= 1 2,x x 3x = − 1 2 6x x+ = − 3 0x < ( ) ( ) ( )3 3 3f x a f x a f x a= ⇒ − = − ⇒ − = − ( )1 3 2 log 1x a− + = 3 1 2ax = − 4 5,x x 3x = 4 5 6x x∴ + = 1 2 3 4 5 1 2ax x x x x∴ + + + + = − 1 13 k≤ < ( ) 2 1xf x k= − − ( )1 2 1 2,x x x x< ( ) 2 1 2 1 x kg x k = − − + ( )3 4 3 4,x x x x< ( ) ( )4 3 2 1x x x x− + − 1 2log 3 2log 6 3 ( ) ( ),f x g x 1 2,x x 2 1xy = − y k= 3 4,x x 2 1xy = − 2 1 ky k = + 1 2 3 40 , 0x x x x< < < < 1 2 3 4, , ,x x x x k ( ) ( )4 3 2 1x x x x− + − k 1 2 3 40 , 0x x x x< < < + 1 2 1 2x x x x⋅ < + ( )3 1log 1 13 x x  − = +   ( ) ( )3log 1g x x= − ( ) 1 13 x h x  = +   1 21 2x x< < < ( )3 1log 1 13 x x  − = +   ( ) ( ) 1 2 3 1 3 2 1log 1 13 1log 1 13 x x x x   − − = +       − = +    ① ② 1 2 1 2,x x x x⋅ + − ( )( ) 2 1 3 2 1 1 1log 1 1 3 3 x x x x    − − = −           1 3 x y  =    2 1x x>， 即 答案：D 例 6：已知函数 ，存在 ， ， 则 的最大值为 思路：先作出 的图像，观察可得： ，所求 可先减少变 量 个 数 ， 利 用 可 得 ： ， 从 而 只 需 求 出 在 的 最 小 值 即 可 ： ， 所 以 函 数 在 单 增 ， 在 单 减 。 从 而 答案： 例 7 ： 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ： ， 且 ， ，则方程 在区间 上的所有实根之 和为（ ） A. B. C. D. 思路：先做图观察实根的特点，在 中，通过作图可 发 现 在 关 于 中 心 对 称 ， 由 可得 是周期为 2 的周期函数，则 在下一个周期 中， 关于 中心对称， ( )( ) ( )( ) ( )3 2 1 2 1 1 2 1 2log 1 1 0 1 1 1 0x x x x x x x x− − < ⇒ − − < ⇒ − + −+ ≤ 1 2 3x x x< ( )f x ( )1,a 0x a< ( ) ( ) ( )0, 0, 0f a f b f c> > < ( )0 ,x b c∈ x c> ( ) 0f c < ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x a= ( ]0,1a ∈ 1 2,x x 1x = − 1 2 2x x+ = − 3 41x x< < 2 3 2 4log loga x x= − = 3 4 1 2 2 a a x x   =      = ( ) ( )1 2 3 4 1 1 12 2 2 a ag a x x x x  = + + + = − + +    ( ]0,1a ∈ ( )g a 10, 2      ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x a= = = = ( )f x y a= ( )y f x= ( )0,1a ∈ 1 2 3 41 , ,x x x x< < 6x = 2 1 2 2 1 2 3 4 log log 1 12 x x x x x x − = ⇒ =  + = ( )( ) ( )3 4 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 2 2 2 4 20x x x x x x x xx x x x − − − ⋅ + += = − 3 4 3 412 12x x x x+ = ⇒ = − ( )( ) ( ) ( )3 4 4 4 4 1 2 2 2 12 20, 8,10x x x x xx x − − = − − ∈ ( )0,12 ( )y f t= ( )t g x= ( )g x ( )f t那么 通过 的联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 2、复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层 求出函数值。例如：已知 ，计算 解： 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一 层层拆解直到求出 的值。例如：已知 ， ，若 ， 求 解：令 ，则 解得 当 ，则 当 ，则 综上所述： 由上例可得，要想求出 的根，则需要先将 视为整体，先求出 的值，再求对应 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时， 要分为两层来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立； 第二层是结合着第一层 的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数 6、求解复合函数 零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解 的个数，再根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确 y t x y x ( )y f g x=    ( )y g f x=    ( ) ( ) 22 ,xf x g x x x= = − ( )2g f   ( ) 22 2 4f = = ( ) ( )2 4 12g f g∴ = =   x x ( ) 2xf x = ( ) 2 2g x x x= − ( ) 0g f x =   x ( )t f x= ( ) 20 2 0g t t t= ⇒ − = 0, 2t t= = ( )0 0 2 0xt f x= ⇒ = ⇒ = x∈∅ ( )2 2 2 2xt f x= ⇒ = ⇒ = 1x = 1x = ( ) 0g f x =   ( )f x ( )f x x ( )f x D 0x D∈ ( )0 0f x = 0x x= ( )f x x ( ) 0g f x =   ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x x x ( ) 0g f x =   ( )y g f x=    ( ) ( ),f x g x ( )f x ( ) 0g f x =   ( )f x ( )f x ( )if x x定 的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题 例 1 ： 设 定 义 域 为 的 函 数 ， 若 关 于 的 方 程 由 3 个不同的解 ，则 ______ 思路：先作出 的图像如图：观察可发现对于任意的 ，满足 的 的个数 分别为 2 个（ ）和 3 个（ ），已知有 3 个解，从而可得 必为 的 根 ， 而 另 一 根 为 或 者 是 负 数 。 所 以 ， 可 解 得 ： ，所以 答案：5 例 2：关于 的方程 的不相同实根的 个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将 视为一个整体，即 ，则方程变为 可解得： 或 ，则只需作出 的图像，然后统计与 与 的交点总数即可， 共有 5 个 答案：C 例 3 ： 已 知 函 数 ， 关 于 的 方 程 （ ）恰有 6 个不同实数解，则 的取值范围是 ． 思路：所解方程 可视为 ，故考虑作出 ( )if x R ( ) 1 , 11 1, 1 xxf x x  ≠ −=   = x ( ) ( )2 0f x bf x c+ + = 1 2 3, ,x x x 2 2 2 1 2 3x x x+ + = ( )f x 0y ( )0y f x= x 0 00, 1y y> ≠ 0 1y = ( ) 1f x = ( ) ( )2 0f x bf x c+ + = 1 ( ) 1if x = 1 2 30, 1, 2x x x= = = 2 2 2 1 2 3 5x x x+ + = x ( )22 21 3 1 2 0x x− − − + = 2 1x − ( ) 2 1t x x= − 2 3 2 0t t− + = 1t = 2t = ( ) 2 1t x x= − 1t = 2t = 1 1( ) | | | |f x x xx x = + − − x 2 ( ) ( ) 0f x a f x b+ + = ,a b R∈ a 2 ( ) ( ) 0f x a f x b+ + = ( ) ( )2 0f x a f x b+ + =的图像： ， 则 的图像如图，由图像可知，若有 6 个不同实数解，则必有 ，所以 ，解得 答案： 例 4：已知定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的方 程 的实数根个数为（ ） A. B. C. D. 思路：已知方程 可解，得 ，只需统计 与 的交点个数即可。由奇 函 数 可 先 做 出 的 图 像 ， 时 ， ， 则 的 图 像 只 需 将 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图 像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。 通过数形结合可得共有 7 个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例 5：若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程 的不同实根的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 思路： 由极值点可得： 为 ①的两根，观察 到方程①与 结构完全相同， ( )f x ( ) 2 , 1 2 ,0 1 2 , 1 0 2 , 1 xx x xf x x x xx  >  < ≤= − − ≤ ( ) ( ) 12 1,0 2 1 2 , 22 x x f x f x x − − < ≤=  − > x ( ) ( )26 1 0f x f x− − =   6 7 8 9 ( ) ( )26 1 0f x f x− − =   ( ) ( )1 2 1 1,2 3f x f x= = − 1 1,2 3y y= = − ( )y f x= 0x > 2x > ( ) ( )1 22f x f x= − ( ]2,4x∈ ( ]0,2x∈ ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + 1 2,x x ( )1 1f x x= x ( )( ) ( )23 2 0f x af x b+ + = ( )' 23 2f x x ax b= + + 1 2,x x 23 2 0x ax b+ + = ( )( ) ( )23 2 0f x af x b+ + =所以可得 的两根为 ，其中 ，若 ，可判断出 是极大值点， 是极小值点。且 ，所以 与 有两个交点，而 与 有一个交点，共计 3 个；若 ，可判 断出 是极小值点， 是极大值点。且 ，所以 与 有两个交点，而 与 有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：A 例 6：已知函数 ，若方程 恰有七个不相同的 实根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：考虑通过图像变换作出 的图像（如图），因为 最多只能解出 2 个 ，若要出 七 个 根 ， 则 ， 所 以 ，解得： 答案：B 例 7：已知函数 ，若关于 的方程 恰有 4 个不相等 的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路： ，分析 的图像以便于作图， 时， ，从而 在 单调递增，在 单调递减， ，且当 ，所以 ( )( ) ( )23 2 0f x af x b+ + = ( ) ( )1 1 2 2,f x x f x x= = ( )1 1 1f x x= 1 2x x< 1x 2x ( ) ( )2 2 1 1f x x x f x= > = ( )1y f x= ( )f x ( )2f x ( )f x 1 2x x> 1x 2x ( ) ( )2 2 1 1f x x x f x= < = ( )1y f x= ( )f x ( )2f x ( )f x ( ) 2 4 3f x x x= − + ( ) ( )2 0f x bf x c+ + =   b ( )2,0− ( )2, 1− − ( )0,1 ( )0,2 ( )f x ( ) ( )2 0f x bf x c+ + =   ( )f x ( ) ( ) ( )1 21, 0,1f x f x= ∈ ( ) ( ) ( )1 2 1,2b f x f x− = + ∈ ( )2, 1b∈ − − ( ) x xf x e = x ( ) ( )2 1 0f x mf x m− + − = m ( )1,2 2,ee       1,1e      11,1 e  +   1,ee      ( ) , 0 , 0 x x x xef x x xe  ≥=  −  − > ⇒   − ⋅ + − = ( )( ) 1y f f x= + 0a > 0a < 0a > 0a < a a ( ) 1f f x = −   ( )f x 1y ax= + ( )0,1 a 0a > ( ) ( )1 2 2 10, 2f x f xa = − < = ( )1f x x ( )2f x x 0a < ( )f x ( ) 1 2f x = ( ) 1 2f x = x例 9 ： 已 知 函 数 ， 则 方 程 （ 为正实数）的实数根最多有___________个 思 路 ： 先 通 过 分 析 的 性 质 以 便 于 作 图 ， ， 从 而 在 单 增 ， 在 单 减 ， 且 ， 为分段函数，作出每段图像 即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取 能 对应 较多的情况，由 图像可得，当 时，每个 可对应 3 个 。只需判断 中， 能在 取得的值的个数即可，观察 图像可得，当 时，可以有 2 个 ， 从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个 例 10：已知函数 和 在 的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程 有且只有 6 个根 （2）方程 有且只有 3 个根 （3）方程 有且只有 5 个根 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1, 023 1, 3 1, 0 x x f x x x g x x x  − + > = − + =   − + + ≤ ( ) 0g f x a− =   a ( ) ( ),f x g x ( ) ( )' 23 6 3 2f x x x x x= − = − ( )f x ( ) ( ),0 , 2,−∞ +∞ ( )0,2 ( ) ( )0 1, 2 3f f= = − ( )g x ( )f x x ( )f x ( ) ( )3,1f x ∈ − ( )f x x ( )g f x a=   ( )f x ( )3,1− ( )g x 51, 4a  ∈   ( ) ( )3,1f x ∈ − ( )y f x= ( )y g x= [ ]2,2− ( ) 0f g x =   ( ) 0g f x =   ( ) 0f f x =  （4）方程 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 的总 数。 （1）中可得 ，进而 有 2 个对应的 ， 有 3 个， 有 2 个，总计 7 个，（1）错误； （2）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个， 总计 4 个，（2）错误； （3）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个， 有 1 个，总计 5 个，（3）正确； （4）中可得： ，进而 有 2 个对应的 ， 有 2 个，共计 4 个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有 2 个 答案：B 微专题 13 利用数学模型解决实际问题 一、基础知识： 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个 核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建 出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 ( ) 0g g x =   x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 32, 1 , 0, 1,2g x g x g x∈ − − = ∈ ( )1g x x ( )2g x ( )3g x ( ) ( ) ( ) ( )1 22, 1 , 0,1f x f x∈ − − ∈ ( )1f x x ( )2f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 32, 1 , 0, 1,2f x f x f x∈ − − = ∈ ( )1f x x ( )2f x ( )3f x ( ) ( ) ( ) ( )1 22, 1 , 0,1g x g x∈ − − ∈ ( )1g x x ( )2g x（2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变 量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分 段函数进行表示。 ② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则 可利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的 找到最值。 ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的 函数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积 底 高 梯形面积 （上底 下底） 高 三角形面积 底 高 ② 商业问题： 总价 单价 数量 利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本 ③ 利息问题： 利息 本金 利率 本息总和 本金 利息 本金 利率 本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时， 变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所 求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 ① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围 （或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个 变量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个 = × = 1 2 × + × = 1 2 × × = × = − = × − = × = + = × +进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最 优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： ① 正弦定理：设 三边 所对的角分别为 ，则有 ② 余弦定理（以 和对角 为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数 的值域 （3）解题技巧与注意事项： ① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题： 例 1：如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 在 的延长线上， 在 的延长线上，且对角线 过 点。已知 米， 米。 （1）设 （单位：米），要使花坛 的面积 大于 32 平方米，求 的取值范围； （2）若 （单位：米），则当 的长度 分别是多少时，花坛 的面积最大？并求出最大面积。 （1）思路：根据相似三角形可得线段比例： ，从而解出 ，则 ，从而可得 ，解出 的范围即可 解： ABC , ,a b c , ,A B C sin sin sin a b c A B C = = a A 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )siny A xω ϕ= + ABCD AMPN M AB N AD MN C 3AB = 2AD = xAN = AMPN x )4,3[∈x ,AM AN AMPN ND DC AN AM = 3 2 xAM x = − 23 2AMPN xS AN AM x = ⋅ = − 23 322 x x >− x NDC NAM  ND DC AN AM ∴ = 3 2 DC AN DC AN xAM ND AN AD x ⋅ ⋅∴ = = =− − 依题意可得： 解得： （2）思路：求 面积的最大值，即求表达式 的最大值，分离常数求解 即可 解：设 设 ，则 则 ，根据对勾函数可得： 时， 达到最大值，即 此时 ，所以 答：当 时，四边形 的面积最大，为 例 2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势， 假设某网校的套题每日的销售量 y（单位：千套）与销售价格: （单位：元/套）满足的关 系式 ，其中 为常数．已知销售价格为 4 元/套时，每日 可售出套题 21 千套． （1）求 的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数），试 确定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 1 位小数） 解：（1）将 代入关系式可得： （ 2 ） 思 路 ： 依 题 意 可 得 售 出 一 套 ， 所 得 利 润 为 元 ， 所 以 总 的 利 润 23 2AMPN xS AN AM x ∴ = ⋅ = − ( )2 23 32 3 32 64 0 02 x x x xx > ⇒ − + > >− ( )82, 8,3x  ∈ +∞    AMPN ( ) 23 2 xf x x = − ( ) 23 2 xf x x = − )4,3[∈x ( ) 4 43 2 =3 2 42 2f x x xx x    ∴ = + + − + +   − −    2t x= − [ )1,2t ∈ 43 4y t t  = + +   1t = y 27y = 1 3t x= ⇒ = 33, 92 xAN AM x = = =− 3, 9AN AM= = AMPN 227m x ( )24 62 my xx = + −− 2 6,x m< < m x 4, 21x y= = ( )221 4 4 6 102 m m= + − ⇒ = ( )2x −，其中 ，利用导数判定 的单调性，进 而可求得最大值点 解：依题意所获利润 化简可得： 令 ，即解不等式 解得 在 单调递增，在 单调递减 在 取得最大值，即 例 3：某人销售某种商品，发现每日的销售量 （单位：kg）与销售价格 （单位：元 /kg）满足关系式 ，其中 为常数.已知销售价格为 8 元 /kg 时，该日的销售量是 80kg. （1）求 的值； （2）若该商品成本为 6 元/kg，求商品销售价格 为何值时，每日销售该商品所获得的利润 最大. 解：（1）当 时， ，解得： （2）思路：依题意可得销售商品所获得利润 ，所以 也是一个分段 函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出 的最大值。 ( ) ( ) ( )2102 4 62f x x xx  = − + − −  2 6x< < ( )f x x ( ) ( ) ( ) ( )2102 2 4 62f x x y x xx  = − = − + − −  ( ) 3 24 56 240 278f x x x x= − + − ( )2 6x< < ( ) ( )( )' 212 112 240 4 3 10 6f x x x x x∴ = − + = − − ( )' 0f x > ( )( )3 10 6 0x x− − > 2 6x< 432 144 1443 321 3 321 3 2 321 393W x x xx x x  = + + = + + ≥ ⋅ ⋅ + =   144 12x xx = ⇒ = min 393W∴ = x y 3 5z x y= + z x y ,x y 5 3 45 1 , x y x y x y N ∗  + ≤  − ≥  ∈ 33 5 5 5 zz x y y x= + ⇒ = − + l M z 例 6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有 人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游 向 B 处，若救生员在岸边的行进速度为 6 米/ 秒，在海中的行 进速度为 2 米/ 秒， 。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出 最短时间 解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到 处时间 短，所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。 解：从图形可得： ，所以 （s） 而 ，所以 （s） ，所以救生员的选择是正确的 （2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量 ，并构造出时间关于 的函数 ，再求出 的最小值即可。不妨设 ，则 ，所以时间 ，再求导求出 的最小值即可 解：设 ，则 ，设所用时间为 令 ，即解不等式 5 3 45 6: 1 5 x y xM x y y + = = ⇒ − = =  ( )6,5M∴ max 3 5 43z x y= + = 45BAD∠ =  B 300 300 2sin45AB = =  1 300 2 150 22t = = 300AD BD= = 2 300 300 2006 2t = + = 1 2t t> x x ( )f x ( )f x CD x= 2 2300BC x= + ( ) 2 2300 300 6 2 x xf x − += + ( )f x CD x= 2 2300BC x= + ( )f x ∴ ( ) 2 2300 300 6 2 x xf x − += + ( ) 2 2 ' 2 2 2 2 1 1 2 300 3 6 2 2 300 6 300 x x xf x x x − + +∴ = − + ⋅ = + + ( )' 0f x > 2 2 2 23 300 0 3 300x x x x− + > ⇒ > + ，解得： 在 单调递减，在 单调递增 （秒） 答：当 时，救生员所用的时间最短，为 秒 答：甲，乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时，受到服务的老人最多，最多为 43 人 例 7：某人有楼房一幢，室内面积共计 180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每 间面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15m2，可以 住游客 3 名，每名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需 要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间 各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为 间，小房间为 间，每天 的房租收益为 元），求 各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的 房租收益是多少？ 思路：本题的主要变量是 ，从题目中可发现对 的约束条件有 3 个，一个是房间数必 须是非负整数，所以 ，第二个条件是室内面积为 ，所以大小房间面积和要 不大于 ，第三个条件是装修费用总和不高于 8000 元，据此列出约束条件： ，所求收益 ，所 以该模型为线性规划问题，数形结合即可。 解：依题意可得对 的约束条件为： ，所求目标函数 为 作出可行域，依图可得：直线过 或 时， 最大，即 2 2 29 300x x∴ > + 2 2 300 8x∴ > 75 2x > ( )f x∴ ( )0,75 2 ( )75 2,300 ( ) ( )min 75 2 50 100 2f x f∴ = = + 75 2CD = 50 100 2+ x y z ,x y ,x y ,x y ,x y N∈ 2180m 2180m 18 15 180 1000 600 8000 , x y x y x y N + ≤  + ≤  ∈ 200 150z x y= + ,x y 18 15 180 6 5 60 1000 600 8000 5 3 40 , , x y x y x y x y x y N x y N + ≤ + ≤   + ≤ ⇒ + ≤   ∈ ∈  200 150z x y= + ( )3,8M ( )0,12M z max 18000z =答：当大房间为 3 间，小房间为 8 间；或者不设大房间，小房间为 12 间时，收益最大，最 大值为 元 例 8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定， 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 的圆面，该圆面的内接四边 形 是原棚户建筑用地，测量可知边界 万米， 万米， 万米 （1）请计算原棚户区建筑用地 的面积及圆面半径 的值 （2）因地理条件的限制，边界 不能变更，而边界 可以调整，为了提高棚 户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧 上设计一点 ，使得棚户区改造的新建筑用地 的面积最大，并求最大值 解：（1）在 中，由余弦定理可得： ① 在 中，由余弦定理可得： ② 因为四边形 内接于圆 所以由①②可得： 解得： （万平方米） 由余弦定理可得： （2）设 ，可知 18000 R ABCD 4AB AD= = 6BC = 2CD = ABCD R ,AD CD ,AB BC ABC P APCD ABC 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ ADC 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC D= + − ⋅ ⋅ ABCD 180B D∴∠ + ∠ =  cos cosB D∴ = − 2 2 2 24 6 2 4 6cos 4 2 2 4 2cosB B+ − ⋅ ⋅ = + + × × 1cos 602B B= ⇒ ∠ =  120D∴∠ =  1 1sin sin2 2ABCD ABC ADCS S S AB BC B AD DC D∴ = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅   1 14 6 sin60 2 4 sin120 8 32 2 = × × × + × × × =  2 2 2 2 cos 28AC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ = 2 7AC∴ = 2 7 4 212 sin 33 2 ACR B ∴ = = = 2 21 3R∴ = ,AP x CP y= = APCD APC ADCS S S= +  由（1）可知 若要 面积最大，只需 最大 在 中，由余弦定理可得： 即 ，即 当且仅当 时，等号成立 所以四边形 的最大面积为 万平方米 例 9 ： 如 图 是 一 块 平 行 四 边 形 园 地 ， 经 测 量 ， ，拟过线段 上一点 设计一条直路 （点 在 四边形 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积比为 的左，右两部分，分别 种植不同的花卉，设 （单位：m） （1）当点 与点 重合时，试确定点 的位置 （2）求 关于 的函数表达式 （3）试确定点 的位置，使得直路 长度最短 解：（1）当 与 重合时， （设 为平行四边形的高） 依题意可得： 即 即 为 的中点 （2） 在线段 上 当 时，可得 在线段 上 2 3ADCS =  ∴ APCD APCS 1 1 3sin sin2 2 4APCS AP CP P AP CP B xy= ⋅ = ⋅ =  APC 2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC P= + − ⋅ 2 2 2 228 2 cos60 28x y xy x y xy= + − ⋅ ⇒ + − = 2 2 2x y xy+ ≥ 2 228 2x y xy xy xy∴ = + − ≥ − 28xy ≤ x y= 3 32 3 2 3 28 9 34 4APCDS xy∴ = + ≤ + ⋅ = APCD 9 3 ABCD 20 , 10 , 120AB m BC m ABC= = ∠ =  AB E EF F ABCD 3:1 ,EB x EF y= = F C E y x ,E F EF F C 1 2BEFS BE h= ⋅ ⋅  h ABCDS AB h= ⋅ 1 4BEF ABCDS S=  1 1 2 4BE h AB h⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 1 2BE AB∴ = E AB E AB 0 20x∴ ≤ ≤ [ ]10,20x ∈ F BC 20 , 10 , 120AB m BC m ABC= = ∠ =  在 中 当 时，点 在线段 上，此时四边形 为梯形或平行四边形 ，由 得： 当 时 ， 当 时， 即 综上所述可得： （3）即求 的最小值 当 时， 等号成立条件： 当 时， 等号成立条件： ，此时 ∴ 3sin 20 10 100 32ABCDS AB BC ABC= ⋅ ⋅ ∠ = × × =  1 25 34EBF ABCDS S∴ = =   1 3sin1202 4EBFS BE BF x BF= ⋅ ⋅ = ⋅  100BF x ∴ = ∴ BEF 2 2 2 2 2 100 1002 cos 2 cos120EF BE BF BE BF EBF x xx x  = + − ⋅ = + − ⋅    2 2 10000 100y EF x x ∴ = = + + [ )0,10x ∈ F CD EBCF ( ) ( )1 10 sin602EBCFS x CF∴ = + × ×  1 25 34EBCF ABCDS S= =  10CF x= − BE CF≥ ( ) ( )22 210 2 10 2 10 2 10 cos120 2 5 25EF x x x x= + − − × × − = − + BE CF< ( ) ( )22 210 10 2 2 10 10 2 cos60 2 5 25EF x x x x= + − − × × − = − + 22 5 25y x x= − + 2 2 2 10000 100,10 20 2 5 25,0 10 x xxy x x x  + + ≤ ≤∴ =   − + ≤ > ∈ ∈ − ( )1,2B − CD CD EF O DE FGBC FGBC G EF 1 G O GO ODE OMPQ EF OD P DE POE θ∠ = OMPQ θ ( )1,2B − 2A = ( )4,0F − ∴ ( )siny A xω ϕ= + ( ) ( )4 1 4 12T = − − − =   2 6T π πω∴ = = 2sin 6y x π ϕ = +   ( )1,2B − 2sin 2 sin 16 6 π πϕ ϕ   − + = ⇒ − + =       ( )26 2 k k Z π πϕ π∴ − = + ∈ 2= 3 πϕ∴ ∴ FGBC 22sin 6 3y x π π = +   1Gy = 2 2 12sin 1 sin6 3 6 3 2G Gx x π π π π   ∴ + = ⇒ + =       2 = 26 3 6Gx k π π π π∴ + + 2 5= 26 3 6Gx k π π π π+ +解得： 或 ，由 可得： （3）由图可知， 过 作 轴于 在 中 在 中 时， 的最大值为 微专题 14 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点 A 附近取点 B，并使 B 沿曲线不断接近 A。这样直线 AB 的极 限位置就是曲线在点 A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方 面也可理解为一个动态的过程，让切点 A 附近的点向 不断接近，当与 距离非常小时， 观察直线 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数 在 3 12Gx k= − + 1 12Gx k= + ( )4,0Gx ∈ − ( )3,1G − 10OG∴ = 3, 1OC CD= = 2, 6DO COD π∴ = ∠ = P 1PP x⊥ 1P ∴ 1Rt OPP 1 sin 2sinPP OP θ θ= = OMP ( )sin120 sin 60 OP OM θ = −  ( ) 2 3sin 60 2cos sinsin120 3 OPOM θ θ θ∴ = ⋅ − = −  1 2 3 2 3 2 32cos sin 2sin 2sin2 cos23 3 3OMPQS OM PP θ θ θ θ θ ∴ = ⋅ = − ⋅ = + −    4 3 2 3sin 2 , 0,3 6 3 3 π πθ θ   = + − ∈       2 6 2 6 π π πθ θ∴ + = ⇒ = OMPQS 2 3 3 A A AB 3y x=处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点 不断接近 包含两个方向， 点右边的点向左接近，左边的点向右接 近，只有无论从哪个方向接近，直线 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如 在 处， 通过观察图像可知，当 左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 ，而当 右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 ，两个不同的方向极限位置不相 同，故 在 处不含切线 （4）由于点 沿函数曲线不断向 接近，所以若 在 处有切线，那么必须在 点及 其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数 上点 在 附近有定义且附近的点 ，则割线 斜率为： 当 无限接近 时，即 接近于零， 直线 到达极限位置时的斜率表示为： , 即切线斜率，由导数定义可知： 。故 为 在 处切线的斜率。这是导数的几何意义。 3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点： （1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也 就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则 断开处的边界值也不存在导数 （2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前 面例子 在 处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只 需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可 ( )1, 1− − B A A AB A y x= ( )0,0 0x = y x= − 0x = y x= y x= ( )0,0 B A ( )f x A A ( )y f x= ( )( )0 0, ,A x f x ( )f x A ( )( )0 0,B x x f x x+ ∆ + ∆ AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 AB f x x f x f x x f xk x x x x + ∆ − + ∆ −= =+ ∆ − ∆ B A x∆ ∴ AB ( ) ( )0 0 0 lim x f x x f xk x∆ → + ∆ −= ∆ ( ) ( ) ( )'0 0 00 lim x f x x f xk f xx∆ → + ∆ −= =∆ ( )' 0f x ( )f x ( )( )0 0,A x f x y x= ( )0,0（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。 例如： 在 处不可导 综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中 的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。 （二）方法与技巧： 1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率 （切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程 2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点 的横坐标 ，因为 可“一 点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标 ，代入到导函数中可得到切线的斜 率 ,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标， 千方百计的把它求解出来。 3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数 与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标 ,再 考虑利用条件解出核心要素 ，进而转化成第一类问题 4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用 求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以 互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解， 例如： （图像为圆的一部分）在 处的切线方程，则可考虑利用圆的切 线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在 轴的抛物线，可看作 关于 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在 轴的抛物线切线问题的重要方法） 5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即 为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好 在曲线上那就需要进行分类讨论了。 二、典型例题 例 1：求函数 在 处的切线方程 x 3y x= ( )0,0 A 0x 0x ( )0f x ( )' 0f x k= ( )0 0,x y 0x 0∆ = 21y x= − 1 3,2 2       y y x y ( ) ( )3 2xf x e x= − 1x =思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜 式求出切线方程 解： 切点坐标为 切线方程为： 小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到 函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用 例 2：已知函数 ，则： （1）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 平行 （2）在曲线 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 垂直 解： （1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为 ，再利用平行条件求出 ，进而求 出切线方程 设切点坐标为 由切线与 平行可得： 切线方程为： （2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为 ，有垂直关系可得切线斜 率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出 ，进而求出切线方程 设切点坐标 ，直线 的斜率为 而 不在定义域中，舍去 不存在一点，使得该点处的切线与直线 垂直 ( )1f e= ∴ ( )1,e ( ) ( ) ( )' 3 3 2 3 1x x xf x e x e x e= + − = + ( )' 1 4f e∴ = ∴ ( )4 1 4 3y e e x y ex e− = − ⇒ = − ( ) ln 2f x x x= + ( )f x 4 2 0x y− − = ( )f x 3 0x y− − = ( )0 0,x y 0x ( )0 0,x y ( )' 0 0 1 2f x x ∴ = + 4 2 0x y− − = ( )' 0 0 0 1 12 4 2f x xx = + = ⇒ = 0 1 1ln 12 2y f  ∴ = = +   ∴ 11 ln2 4 4 ln2 12y x y x − + = − ⇒ = − −   ( )0 0,x y 0x ( )0 0,x y ( )' 0 0 1 2f x x ∴ = + 3 0x y− − = 1 ( )' 0 0 0 1 12 1 3f x xx ∴ = + = − ⇒ = − ( )0 0,x ∈ +∞ 0 1 3x∴ = − ∴ 3 0x y− − =小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需 先设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键 条件 （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其 是否在定义域内 例 3：函数 上一点 处的切线方程为 ， 求 的值 思路：本题中求 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， 在直线 上， ，即 ，得到 的一个等量关系， 在从切线斜率中得到 的导数值，进而得到 的另一个等量关系，从而求出 解： 在 上， 又因为 处的切线斜率为 小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；② 切线的斜率即为切点导数值 （2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中 确定 两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。 例 4：曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切 线方程 所以切线方程为： 即 ， ( ) 2lnf x a x bx= − ( )( )2, 2P f 3 2ln2 2y x= − + + ,a b ,a b P 3 2ln2 2y x= − + + 3 2 2ln2 2 2ln2 4y∴ = − ⋅ + + = − ( )2 =2ln2 4f − ,a b 2x = ,a b ,a b P 3 2ln2 2y x= − + + ( )2 3 2 2ln2 2 2ln2 4f∴ = − ⋅ + + = − ( )2 ln2 4 2ln2 4f a b∴ = − = − P 3− ( )' 2af x bxx = − ( )' 2 4 32 af b∴ = − = − ln2 4 2ln2 4 2 14 32 a b a a bb − = − =∴ ⇒  =− = −  ,a b xy e= ( )22,e 2e 22e 24e 2 2 e ( )' xf x e= ( )' 22f e∴ = ( )2 2 2y e e x− = − 2 2 0e x y e− − =与两坐标轴的交点坐标为 答案：D 小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求 面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择 底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的 两条直角边有助于简化计算。 例 5：一点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值 范围是( )． A. B. C. D. 思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。 ，对于曲线上 任意一点 ，斜率的范围即为导函数的值域： ，所以倾斜角的范围是 答案：B 小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正 切值为斜率，斜率即为切点的导数值。 （2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：① 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅 助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。② 直线倾斜角的范围为 例 6：求过点 ，且与曲线 相切的直线方程 思路： 满足 ，但题目并没有说明 是否为切点，所以要分 是否为切点进行 分类讨论。当 是切点时，易于求出切线方程，当 不是切点时，切点未知，从而先设再 求，设切点 ，切线斜率为 ，三个未知量需用三个条件求解：① ，② ，③ 解：（1）当 为切点时 ( )( )21,0 0, e− 2 21 12 2 eS e∴ = × × = P 3 2 3y x x= − + P α α 0, 2 π     30, ,2 4 π π π         3 ,4 π π   3,2 4 π π    ' 23 1y x= − P [ )' 2=3 1 1,y x − ∈ − +∞ 30, ,2 4 π π π         [ )0,π ( )2,8A ( ) 3f x x= ( )2,8A ( )f x A A A A ( )0 0,x y k ( )0 0y f x= ( )' 0k f x= 0 0 A A y yk x x −= − ( )2,8A ( )' 23f x x= 切线方程为： （2）当 不是切点时，设切点 ，切线斜率为 ，消去 可得： 而 方程等价于： 解得： （舍）， 切线方程为 综上所述：切线方程为 或 小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位 置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相 切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子 （2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用 已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。 例 7：设函数 ，若曲线 的斜率最小的切线与直 线 平行，求 的值 思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 ，进而可得导函数的 最小值为 ，便可求出 的值 解： 直线 的斜率为 ，依题意可得： ( )' 2 12f∴ = ∴ ( )8 12 2 12 16y x y x− = − ⇒ = − ( )2,8A ( )0 0,P x y ( )0 2x ≠ k 3 0 0 2 0 0 0 3 8 2 y x k x yk x   =∴ =  − = − 0,k y 3 2 0 0 0 83 2 xx x −= − ( )( )3 2 0 0 0 08 2 2 4x x x x− = − + + 0 2x ≠ ∴ 2 2 2 0 0 0 0 03 2 4 2 0x x x x x= + + ⇒ − − = 0 2x = 0 1x = − 0 1, 3y k∴ = − = ∴ ( )1 3 1 3 2y x y x+ = + ⇒ = + 12 16y x= − 3 2y x= + ( ) ( )3 2 9 1 0f x x ax x a= − − − < ( )y f x= 12 6x y+ = a 12− 12− a ( ) 2 ' 2 2 2 2 22 1 1 1 13 2 9 3 9 3 93 9 3 3 3f x x ax x a a a x a a   = − − = − + − − = − − −       ( )' 2 min 1 1 93 3f x f a a ∴ = = − −    12 6x y+ = 12− 21 9 12 33a a− − = − ⇒ = ± 0a 0 1x< < ( )g x ( ) ( ),0 , 1,−∞ +∞ ( )0,1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 0 3g x g g x g= = − = = − 极大值 极小值 ( )3, 1t ∈ − − ( )3, 1t ∈ − − ( )1,P t ( )y f x= 2:C x y= P P 1 P ( )0k k ≠ C Q x M Q PQ C N k MN C k ( )1,1P : 1PQ y kx k= − + ( )( )21, 1Q k k− − M QN N ,M N MN ( )0∆ = k N抛物线 本身也可视为函数 ，从而可以 为入手点先求出切线，再利用切线过 代入 点坐标求 ，计算量会相对小些。 解：由 在抛物线上，且 的横坐标为 1 可解得 设 化简可得： 消去 ： 设直线 即 联立方程： 由 可得： 切线 的斜率 代入 得： 2x y= 2y x= N M M k P P ( )1,1P ∴ ( ): 1 1PQ y k x− = − 1y kx k= − + 1,0kM k − ∴    2 1 y x y kx k  =∴ = − + y 2 1 0x kx k− + − = 1 21, 1x x k∴ = = − ( )( )21, 1Q k k∴ − − ( ) ( )2 1: 1 1QN y k x kk − − = − − −   ( ) ( )2 11 1y k x kk = − − − −   ∴ ( ) ( ) 2 2 11 1 y x y k x kk  = = − − − −    ( )2 1 11 1 0x x k kk k  ∴ + − − − + =   ( ) 1 11 1 1Q N Nx x k k x kk k    ∴ ⋅ = − − − + ⇒ = − − +       21 11 , 1N k kk k     ∴ − − + − +          2y x= ' 2y x= ∴ MN ' 1| 2 1NMN x xk y k k=  = = − − +   21 1 1: 1 2 1 1MN y k k x kk k k       ∴ − − + = − − + + − +             1 ,0kM k −     21 1 1 11 2 1 1 1k k kk k k k       − − + = − − + − + − +             小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭 圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联 立方程计算 简便 （2）本题在求 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知 的横 坐标求出 的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点 求另一交点的问题。 三、近年好题精选： 1、设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则 曲线 在点 处的切线方程为________ 2、已知直线 与曲线 切于点 ，则 的值为_________ 3、若曲线 与曲线 存在公切线，则 的最值情况为（ ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 4 、（ 2015 ， 新 课 标 II 文 ）， 已 知 曲 线 在 点 处 的 切 线 与 曲 线 相切，则 _______ 5、（2015，陕西理）设曲线 在点 处的切线与曲线 上点 处的切 线垂直，则 的坐标为_________ 6、（2014，广东）曲线 在点 处的切线方程为__________ 7、（2014，江西）若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐 标为__________ 8、已知函数 ，则过原点且与函数 图像相切的直线方程为______ 9、已知函数 ，若函数 的图像在 处的切线方程 为 ，则 _______, __________ 2 1 xyC =： xaeyC =：2 a 2 8 e 2 4 e 2 8 e 2 4 e 211 2 1 0k k k kk ∴ − + = ⇒ + − = 1 5 2k − ±∴ = 0∆ = N Q N ( ) ( ) 2f x g x x= + ( )y g x= ( )( )1, 1g 2 1y x= + ( )y f x= ( )( )1, 1f 1y kx= + 3y x ax b= + + (1,3) b lny x x= + ( )1,1 ( )2 2 1y ax a x= + + + a = xy e= ( )0,1 ( )1 0y xx = > P P 5 2xy e−= + ( )0,3 xy e−= P 2 1 0x y+ + = P ( ) ln xf x x = ( )f x ( ) ( )21 2 xf x e x ax a R= − − ∈ ( )f x 0x = 2y x b= + a = b =习题答案： 1、答案： 解析：由切线过 可得： ，所以 ，另一方面， ， 且 ， 所 以 ， 从 而 切 线 方 程 为 ： 2、答案： 解析：代入 可得： ， ，所以有 ，解得 4y x= ( )( )1, 1g ( )1 3g = ( ) ( ) 21 1 1 4f g= + = ( )' 1 2g = ( ) ( )' ' 2f x g x x= + ( ) ( )' '1 1 2 4f g= + = ( )4 4 1 4y x y x− = − ⇒ = 3b = (1,3) 2k = ( )' 23f x x a= + ( ) ( )' 1 1 3 1 3 2 f a b f a = + + = = + = 1 3 a b = −  =3、答案：B 解析：设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，由 可得： ，所以有 ，所以 ， 即 ，设 ，则 。可知 在 单调递 增，在 单调递减，所以 4、答案：8 解析： ，所以 ，切线方程为 ，联立方程 ，从而由相切可得： 5、答案： 解析： 的导数 ，所以 ，故 处的切线斜率为 ，设切点 ，由 的导数 ，可得： ，则 ，即 点坐标 6、答案： 解析： ，所以 ，则切线方程为： 7、答案： 解析： ，因切点坐标未知，故设 ，由切线与 平行可知切 线斜率为 ，即 ，解得： ，所以 ，即 点坐标 8、答案： 解析：设切点坐标为 ，切线的斜率为 ，因为 1C ( )2 1 1,x x 2C ( )2 2, xx ae ' ' 2 x y x y ae  = = 2 2 2 1 1 2 1 2 x x ae xx ae x x −= = − 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 22 2 2 2 x x xx x xx x x ae  −= ⇒ = − −  = 2 24 4xae x= − ( ) 2 24 1 x xa e −= ( ) ( )4 1 x xf x e −= ( ) ( )' 4 2 x xf x e −= ( )f x ( )1,2 ( )2,+∞ ( )max 2 42a f e = = ' 11y x = + ' 1| 2xy = = ( )1 2 1 2 1y x y x− = − ⇒ = − ( ) 2 2 2 1 2 02 1 y x ax axy ax a x = − ⇒ + + = = + + + 2 8 0 8a a a∆ = − = ⇒ = ( )1,1 xy e= ' xy e= ' 0| 1xk y == = P 1− ( )0 0,P x y 1y x = ' 2 1y x = − 02 0 1 1 1xx − = − ⇒ = 0 0 1 1y x = = P ( )1,1 5 3y x= − + ' 55 xy e−= − ' 0| 5xy = = − 3 5 5 3y x y x− = − ⇒ = − + ( )ln2,2− ' xy e−= − ( )0 0,P x y 2 1 0x y+ + = 2− 0 0 '| 2x x xy e− = = − = − 0 ln2x = − ( )ln 2 0 2y e− −= = P ( )ln2,2− 1 2y xe = ( )0 0,x y k ( ) 2 1 ln xf x x −=‘ 所以切线方程为： 9、答案： 解析：将 代入到直线方程可得切点坐标为 直线方程为 微专题 15 函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调 区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程 中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设 的定义域为 ，区间 ，若对于 ，有 ，则称 在 上单调递增， 称为单调递增区间。若对于 ，有 ，则称 在 上单调递减， 称为单调递减区 间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数 在 可导，那么 在 上单调递增 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ， 无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 02 2 0 0 0 20 0 0 0 1 ln 1 ln ln 1 ln lnln xk xkx x x xy kx x ex x xkxy xx − = − = − ∴ = ⇒ ⇒ = ⇒ =    = =  1 2k e ∴ = 1 2y xe = 1, 1a b= − = 0x = ( )0,b ( )0 1b f∴ = = ∴ 2 1y x= + ( )' xf x e x a= − − ( )' 0 1 2 1f a a∴ = − = ⇒ = − 1, 1a b∴ = − = ( )f x D I D⊆ 1 2 1 2, ,x x I x x∀ ∈ < ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x I I 1 2 1 2, ,x x I x x∀ ∈ < ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x I I ( )f x ( ),a b ( )f x ( ),a b ( ) ', ( ) 0x a b f x⇒ ∀ ∈ ≥，等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如： 的单调递增区间 为 ，而 ，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例 子为 在 处的导数为 0，但是 位于单调区间内。 （2）函数 在 可导，则 在 上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由 的 符号能否推出 在 的单调性呢？如果 不是常值函数，那么便可由导数的符 号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出 的导函数 （3）令 （或 ），求出 的解集，即为 的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。 另一方面通过定义域对 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的 求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令 ，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若 不存在 常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若 的解集为定义域，那么说明 是定义域上的增函数，若 的 解集为 ，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么 是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断 方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异 减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 （1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。 ( ) 2f x x= [ )0 +∞， ( )' 0 0f = ( ) 3f x x= 0x = ( )0,0 ( )f x ( ),a b ( )f x ( ),a b ( ) ', ( ) 0x a b f x⇒ ∀ ∈ ≤， ( ) ', ( )x a b f x∀ ∈ ， ( )f x ( ),a b ( )f x ( )f x ' ( )f x ' ( ) 0f x > 0< x ( )f x x ' ( ) 0f x > ( )f x ' ( ) 0f x > ( )f x ' ( ) 0f x > ∅ ( )f x ( )1− ×例如函数 的单调减区间为 ，若写成 就出错了（0 不在定义域 内） （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。 有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错 误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。 依然以 为例，如果写成 ，那么就意味着从合并在一起的集合中任 取两个变量，满足单调减的条件。由 性质可知，如果在 两个区间里 各取一个，是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用： ①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于 而言，决定的是 的单调 性。当 时， 单调递增，意味着 随 的增大而增大，由于导数的几何 意义为切线斜率，故切线斜率 随 的增大而增大；同理，当 时， 单调递 减，则切线斜率 随 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？ 单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不 同，所以如果说 是决定函数单调性的，那么 在已知单调性的前提下，能够告 诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。 （1）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数 （2）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义：当通过 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单 调性，再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题： 例 1：下列函数中，在 上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 思路：本题只需分析各个函数在 上的单调性即可。A 选项 通过其图像 可知显然在 不单调；B 选项 ，当 时， 1y x = ( ) ( )0, , ,0+∞ −∞ [ )0,+∞   1y x = ( ) ( )0, ,0+∞ −∞ 1y x = ( ) ( )0, , ,0+∞ −∞ ( )"f x ( )'f x ( )'' 0f x > ( )'f x ( )'f x x k x ( )'' 0f x < ( )'f x k x ( )'f x ( )''f x ( )" 0f x > ( )" 0f x < ( )'f x ( )0,+∞ ( ) sin2f x x= ( ) xf x xe= ( ) 3f x x x= − ( ) lnf x x x= − + ( )0,+∞ ( ) sin2f x x= ( )0,+∞ ( ) ( )' 1x x xf x e xe x e= + = + ( )0,x∈ +∞，所以 在 单调递增；C 选项 可得 在 单调递减，在 单调递增；D 选项 ， 可得 在 单调递增，在 单调递减。综上，B 符合条件 答案：B 例 2：函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 思路：先分析 的定义域： ，再观察解析式可得 可视为函数 的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点， 可分别分析两个函数的单调性，对于 而言， 对 是减函数。所以如要求得增区 间，则 中 对 也应为减函数。结合定义域可得 的单调增区间为 答案：D 例 3：求函数 的单调区间（2009 宁夏，21 题（1）） 思路：第一步：先确定定义域， 定义域为 ， 第二步：求导： , 第三步：令 ,即 第四步：处理恒正恒负的因式，可得 第五步：求解 ,列出表格 ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞ ( ) 2 3 33 1=3 3 3f x x x x   = − − +      ‘ ( )f x 30, 3       3 ,3  +∞    ( )' 1 11 xf x x x −= − + = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )2 1 2 log 4f x x= − ( )0,+∞ ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( ), 2−∞ − ( )f x ( ) ( )2 4 0 , 2 2,x x− > ⇒ ∈ −∞ − +∞ ( )f x 2 1 2 log , 4y t t x= = − 1 2 logy t= y t 2 4t x= − t x ( )f x ( ), 2−∞ − ( ) ( )3 23 3 3 xf x x x x e−= + − − ( )f x R ( ) ( )' 2 3 2( ) 3 6 3 3 3 3x xf x x x e x x x e− −= + − − + − − ( ) ( )( )3 9 3 3x xx x e x x x e− −= − − = − − + ' ( ) 0f x > ( )( )3 3 0xx x x e−− − + > ( )( )3 3 0x x x− + < ( ) ( )3,0 3,x ∈ − +∞ x ( ), 3−∞ − ( )3,0− ( )0,3 ( )3,+∞ ' ( )f x − + − + ( )f x    例 4：求函数 的单调区间 解：定义域 令导数 解得： （通过定义域大大化简解不等式的过程） 例 5：求函数 的单调区间 解： 令 ，即解不等式 ，解得 的单调区间为 ↘ ↗ ↘ 例 6：求函数 的单调区间 思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析 解： ，当 时， 为减函数 当 时， ( ) ( )ln ln 2f x x x x= + − + ( )0,2x ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ' 2 22 21 1 21 =2 2 2 2 x xx x x x xf x x x x x x x x x − +− + + − −= + + = =− − − − ( )0,2x ∈ 2 0, 2 0x x∴ − < + > ∴ ( )' 0f x > 2 0 2x x− < ⇒ < ∴ x ( )0, 2 ( )2,2 ' ( )f x + − ( )f x   ( ) 2ln xf x x = ( ) ( ) 1 22 ' 3 2 1 12ln ln ln 4 ln12 2 x x x x x xxf x x x −⋅ ⋅ − −= = ⋅ ( )' 0f x > ( )ln ln 4 0x x − < 40 ln 4 1x x e< < ⇒ < < ( )f x∴ x ( )0,1 ( )41,e ( )4 ,e +∞ ( )'f x − + − ( )f x ( ) 1 lnf x x x= − − ( ) 1 ln , 1 1 ln ,0 1 x x xf x x x x − − >=  − − < 在 单调递增 综上所述： 在 单调递减，在 单调递增 小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可 去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。 （2）本题在 时，利用之前所学知识可直接判断出 单调递减，从而简化步骤。 导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为 简便 例 7：（1）若函数 在区间 单调递增，则 的取值集合是__________ （2）若函数 的递增区间是 ，则 的取值集 合是___________ 解：（1）思路： ，由 在 单调递 增可得： ， 。 （2）思路： 的递增区间为 ，即 仅在 单调递增。 令 ，若 ，则 单调递增区间为 不符题意，若 ，则 时， 。所以 答案：（1） ，（2） 小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明 在区间 单调递增， 那么 也可以在其他区间单调递增，即 是增区间的子集。而（2）明确提出单调 增区间为 ，意味着 不再含有其他增区间， 为单调区间的分界点，从而满 足条件的 只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 ( )f x∴ ( )1,+∞ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )0,1x ∈ ( )f x ( ) ( ) ( )1ln 1 0, 01 xf x ax x ax −= + + ≥ >+ [ )1,+∞ a ( ) ( ) ( )1ln 1 0, 01 xf x ax x ax −= + + ≥ >+ [ )1,+∞ a ( ) ( ) ( )( ) 2 ' 2 2 2 2 1 1 1 1 a ax af x ax x ax x + −= − =+ + + + ( )f x [ )1,+∞ 1x∀ ≥ ( ) ( )( ) ( )2 ' 2 2 2 0 1 2 1 1 ax af x a x ax x + −= ≥ ⇒ + ≥ + + 2 max 2 11a x  ∴ ≥ = +  1a∴ ≥ ( )f x [ )1,+∞ ( )f x [ )1,+∞ ( )' 2 2 20 2 0 af x ax a x a −> ⇒ + − > ⇒ > 1a > ( )f x ( )0,+∞ 0 1a< ≤ 2 ax a −> ( )' 0f x > 2 1 1a aa − = ⇒ = 1a ≥ 1a = ( )f x [ )1,+∞ ( )f x [ )1,+∞ [ )1,+∞ ( )f x 1x = a例 8： ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值 范围是_______ 思路： ，有已知条件可得： ，使得 ，即 ，只需 ，而 ，所 以 答案： 小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化 成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数 单调递增（减） 时，其导函数 （ ），勿忘等号。 （2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例 6 的 条件改为“在 上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的 解法解出的 的范围时 ，但当 时，满足不等式的 的解仅有 ，不能 成为单调区间，故 舍去，答案依然为 例 9：设函数 （其中 是自然对数的底数），若 在其定义域内 为单调函数，求实数 的取值范围 思路：条件中只是提到 为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就 是 恒成立或 恒成立，进而求出 的范围即可 解： 若 在 单调递增，则 恒成立 即 ( ) 3 21 1 23 2f x x x ax= − + + ( )f x 2 ,3  +∞   a ( )' 2 2f x x x a= − + + 2 ,+3x  ∃ ∈ ∞   ( )' 0f x ≥ ( )21 2a x x≥ − ( )2 min 1 2a x x ≥ −   ( ) 2 21 1 2 2 1 2 2 3 3 9y x x   = − > − = −      1 9a > − 1 9a > − ( )f x ( )' 0f x ≥ 0≤ 2 ,3  +∞  a 1 9a ≥ − 1 9a = − x 2 3x = 1 9a = − 1 9a > − ( ) 2lnpf x px xx = − − e ( )f x p ( )f x ( )' 0f x ≥ ( )' 0f x ≤ p ( )' 2 2pf x p x x = + − ( )f x ( )0,+∞ ( )' 2 2 0pf x p x x = + − ≥ 2 2 2 2 1 2 2 21 1 1 x xp px x x x x  + ≥ ⇒ ≥ ⋅ =  + +  ，设 则 若 在 单调递减，则 恒成立 即 ，设 则 ，且当 或 时， 综上所述： 或 例 10：若函数 在区间 内单调递增，则 取值 范围是( ) A． B． C． D． 思路：先看函数 的定义域，则 在 恒成立， 可看成是由 的复合函数，故对 进行分类讨论。当 时， 单调递增，所以 需单调递增， ， 与 矛 盾 ； 当 时 ， 单 调 递 减 ， 所 以 需 单 调 递 减 ， 答案：B 2 max 2 1 xp x  ∴ ≥  +  ( ) 2 2 1 xh x x = + ( ) 2 2 2 2 111 12 xh x x x xx x = = ≤ =+ + ⋅ 1p∴ ≥ ( )f x ( )0,+∞ ( )' 2 2 0pf x p x x = + − ≤ 2 2 1 2 21 1 xp px x x  + ≤ ⇒ ≤  +  2 min 2 1 xp x  ∴ ≤  +  ( ) 2 2 1 xh x x = + ( ) 2 2 2 011 xh x x x x = = >+ + 0x → x → +∞ ( ) 0h x → 0p∴ ≤ 1p ≥ 0p ≤ ( ) ( )( )3log 0, 1af x x ax a a= − > ≠ 1 ,02  −   a 1 ,14     3 ,14     9 ,4  +∞  91, 4      ( )f x 3 0x ax− > 1 ,02  −   2 1 4a x a> ⇒ ≥ ( )f x 3log ,ay u u x ax= = − a 1a > logay u= 3u x ax= − ( )' 2 2 min 3 0 3 0u x a a x∴ = − ≥ ⇒ ≤ = 1a > 0 1a< < logay u= 3u x ax= − ( )' 2 2 min 33 0 3 4u x a a x∴ = − ≤ ⇒ ≥ = 3 ,14a  ∴ ∈  小炼有话说： （1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围 时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 （2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的 ），可分别分析底数与 1 的大小 （对数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单 调性特点（同增异减），故本题对底数 以 1 为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。 ( )f x a