(通用版)高考数学选填考点压轴题型3《函数的奇偶性、对称性、周期性》(含答案详解)

题型3函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.1(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.f（x）(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝aa＋b对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．2(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.3.函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4.善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1（2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数fx的定义域为R，fx2为偶函数，f2x1为奇函数，则（）1A.f0B.f10C.f20D.2f40【答案】B【分析】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f10，结合已知条件可得出结论. 【解析】因为函数fx2为偶函数，则f2xf2x，可得fx3f1x，因为函数f2x1为奇函数，则f12xf2x1，所以，f1xfx1，所以，fx3fx1fx1，即fxfx4，故函数fx是以4为周期的周期函数，因为函数Fxf2x1为奇函数，则F0f10，故f1f10，其它三个选项未知.故选：B.例2（2021·全国甲卷（理）·12）设函数fx的定义域为R，fx1为奇函数，fx229为偶函数，当x1,2时，f(x)axb．若f0f36，则f（）29375A.B.C.D.4242【答案】D【分析】通过fx1是奇函数和fx2是偶函数条件，可以确定出函数解析式2fx2x2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为fx1是奇函数，所以fx1fx1①；因为fx2是偶函数，所以fx2fx2②．令x1，由①得：f0f24ab，由②得：f3f1ab，因为f0f36，所以4abab6a2，2令x0，由①得：f1f1f10b2，所以fx2x2．思路一：从定义入手．9551ff2f2f22221335ff1f1f2222 5113ff2f2=f2222935所以ff．222思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T4．9135所以fff．2222故选：D．11＋x－x例3已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f2＝f2，函数f(x＋1)是奇函数，当111－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3,5]内的所有根之和为________.222【答案】411＋x－x221【分析】由f＝f对任意的x∈R恒成立，得f(x)关于直线x＝对称，由函数2f(x＋1)是奇函数，f(x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f(x)的周期为2，作出函数f(x)的图象即可.11＋x－x【解析】因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因为f2＝f2，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函1数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．作出函数f(x)的图象如图所示，211由图象可得f(x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为×2×4＝4.22 例4已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)…f(50)A．50B．0C．2D．50【答案】C【分析】同例1得f(x)的周期为4，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)，而f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2、f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋···＋f(50)＝f(47)＋f(48)＝f(1)＋f(2)＝2.例5已知函数yf(x)是R上的奇函数，对任意xR，都有f(2x)f(x)f（2）成f(x)f(x)12立，当x1，x2[0，1]，且x2x2时，都有0，则下列结论正确的有()xx12A．f（1）f（2）f（3）f(2019)0B．直线x5是函数yf(x)图象的一条对称轴C．函数yf(x)在[7，7]上有5个零点D．函数yf(x)在[7，5]上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f（2）的值，进而分析可得x1是函数f(x)的一条对称轴，函数f(x)是周期为4的周期函数和f(x)在区间[1，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数yf(x)是R上的奇函数，则f(0)0；对任意xR，都有f(2x)f(x)f（2）成立，当x2时，有f(0)2f（2）0，则有f（2）0，则有f(2x)f(x)，即x1是函数f(x)的一条对称轴；又由f(x)为奇函数，则f(2x)f(x)，变形可得f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x)12当x1，x2[0，1]，且x2x2时，都有0，则函数f(x)在区间[0，1]上xx12为增函数，又由yf(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[1，1]上为增函数；据此分析选项： 对于A，f(x2)f(x)，则f（1）f（2）f（3）f（4）[f（1）f（3）][f（2）f（4）]0，f（1）f（2）f（3）f(2019)504[f（1）f（2）f（3）f（4）]f（1）f（2）（3）f（2）0，A正确；对于B，x1是函数f(x)的一条对称轴，且函数f(x)是周期为4的周期函数，则x5是函数f(x)的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x5是函数yf(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数yf(x)在[7，7]上有7个零点：分别为6，4，2，0，2，4，6；C错误；对于D，f(x)在区间[1，1]上为增函数且其周期为4，函数yf(x)在[5，3]上为增函数，又由x5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数yf(x)在[7，5]上为减函数，D正确；故选：ABD． 【巩固训练】1xa1．已知函数fx()关于x1对称,则f2x2f0的解集为_____.22．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(3x)，且f(x)的图象与xg(x)lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.4x3.已知函数f(x)(xR)满足f(1x)f(1x),f(4x)f(4x)，且3x3时，2f(x)ln(x1x)，则f(2018)（）A．0B．1C．ln(52)D．ln(52)4.已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)图象关于直线x＝2对称C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为21D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－25.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则xxxx_________.812346．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数7.若定义在R上的函数fx满足fx2fx，fx1是奇函数，现给出下列4个论断：①fx是周期为4的周期函数；②fx的图象关于点1,0对称；③fx是偶函数；④fx的图象经过点2,0； 其中正确论断的个数是______________.8.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数f（x2）－f（x1）C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有