5.4应用二元一次方程组——增收节支例题与讲解(2013-2014学年北师大八年级上).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎4　应用二元一次方程组——增收节支 ‎1．列方程组解答生活中的增收节支问题 在生活中，我们时刻都在与经济打交道，经常面临利润问题、利息问题等．解决这类问题，应熟记一些基本公式：‎ ‎(1)增长率问题：‎ 增长率＝×100%.‎ 计划量×(1＋增长率)＝增长后的量；‎ 计划量×(1－减少率)＝减少后的量．‎ ‎(2)经济类问题：‎ 利息＝本金×利率×期数；‎ 本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；‎ 商品的利润＝商品的售价－商品的进价；‎ 商品的利润率＝×100%.‎ ‎【例1】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？‎ 分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：‎ 总产值 总支出 差 去年 x y ‎500‎ 今年 ‎(1＋15%)x ‎(1－10%)y ‎950‎ 题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．‎ 解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出是y万元，由题意，得 解得 所以(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350.‎ 所以今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．‎ 谈重点 分析表格中数字含义找等量关系 先认真审题，找出问题中的已知量和未知量．再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，问题中的相等关系就会清晰地浮现出来．‎ ‎2．列方程组解答行程问题、水路问题、工程问题 在我们的生活中，经常面临行程问题、水路问题、工程问题．解决这类问题，应熟记一些基本公式：(1)行程问题的基本数量关系：路程＝速度×时间．(2)水路问题的基本数量关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．(3)工程问题的基本数量关系：工作量＝工作效率×工作时间．‎ ‎【例2－1】 A市至B市航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风向飞往B市需2小时30分，从B市逆风向飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．‎ 分析：本题中明显的未知数有两个，即：飞机的速度与风速．除此之外，还有两个隐藏的未知数，即：顺风速度与逆风速度．所以我们可以通过设直接未知数和间接未知数，列出二元一次方程组求解．‎ 解：设飞机速度为x km/h，风速为y km/h，根据路程＝速度×时间列出方程组：解得 所以飞机的速度为‎420 km/h，风速为‎60 km/h.‎ ‎【例2－2】 某地为了尽快排除堰塞湖险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方13.‎‎4万立方米 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多‎1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前．‎ 根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？‎ 分析：抓住关键语句：开挖2天和增调人员后所干的3天里，一共挖出土石方13.‎4万立方米；每天挖的土石方比原来的2倍还多‎1万立方米来构建数学模型．‎ 解：设原计划每天挖土石方x万立方米，增调人员和设备后每天挖y万立方米，‎ 依据题意，可列出方程组：‎ 解得 所以原计划每天挖土石方1.‎3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.‎6万立方米．‎ ‎3．配套问题中的相等关系 在实际问题中，大家常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套等．解决这类问题的方法是抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．‎ 产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系．常见的题型有：(1)配套与人员分配问题．(2)配套与物质分配问题．‎ 析规律 配套问题　‎ 配套问题的背景虽然不同，但解决问题的方法是一样的，需要抓住配套问题的关键语句进行配套．‎ ‎【例3】 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？‎ 分析：本题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数∶螺母数＝1∶2.‎ 解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母，则一天生产的螺钉数为1 200x个，生产的螺母数为2 000y个．‎ 根据题意，得 整理得 解得 所以为了使每天生产的产品刚好配套，应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．‎ ‎4．注意及时避免一些常见的错误 二元一次方程组是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，其应用即能够将实际问题转化为数学模型，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解．而在具体求解时，不少同学由于审题不清等问题，总会出现这样那样的错误，这就要求我们认真地审题，及时地找出题目中的等量关系．‎ 如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为速度之差，这一点很多同学是不会理解错的，问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两车的长度之和，不少同学往往忽略这一点而造成错解．‎ ‎【例4】 一列快车长‎168 m，一列慢车长‎184 m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4 s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16 s，求两车的速度．‎ 分析：两车相向而行，其相对速度为两车的速度之和，两车同向而行，其相对速度为两车的速度之差，这样设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s，即可利用方程组求解．‎ 解：设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s.‎ 由题意，得 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 即 也即 解得 因此快车的速度为‎55 m/s，慢车的速度为‎33 m/s.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎