第三章 空间向量与立体几何教案
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3.1.5空间向量运算的坐标表示.doc

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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第三章 空间向量与立体几何 课题:‎3.2.1‎立体几何中的向量方法(一) 第 课时 ‎ 课型: 新授课 ‎ 教学目标:‎ 教学目标:‎ ㈠ 知识目标:‎ 向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题.‎ ㈡能力目标:‎ 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量的运算律;解决简单的立体几何中的问题.‎ ㈢德育目标:‎ 学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物.‎ 批注:‎ 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用.‎ 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. ‎ 教学用具: 多媒体,三角板,直尺 教学方法:讨论法. ‎ 教学过程:‎ 一.引入 以前人们为夯实地面,采用的是一种由三人合作使用的石制工具,石墩上有三个石耳,用三根粗绳子拴着,三个人站在三个方位上,同时拉绳子使石墩离开地面,然后石墩落下夯实地面.若三个人所站方位使得绳子两两成等角,且与水平地面所成角为45°,为了使质量为‎100 kg的石墩垂直离开地面,每个人至少需要用 kg的力.‎ 问题1:在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向),能确定这条直线在空间的位置吗? ‎ ‎ ‎ 提示:能. ‎ ‎ ‎ ‎ 问题2:在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗? ‎ ‎ ‎ ‎ 提示:确定. ‎ 二.新课讲解:‎ ‎1.直线的方向向量 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线的方向向量是指和这条直线 的向量. ‎ ‎ ‎ ‎2.平面的法向量 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线l⊥α,取直线l的 a,则a叫做平面α的法向量. ‎ ‎ ‎ 由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置;由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置. ‎ ‎  ‎ 问题1:若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,当a∥u时,l与α 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 有什么关系?若a⊥u呢? ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 问题2:若u,v分别是平面α,β的法向量,则u∥v,u⊥v时,α,β是什么位置关系? ‎ 空间中平行关系、垂直关系的向量表示 ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则 ‎ ‎ ‎ 线线平行 l∥m⇔ ⇔ ; ‎ 线面平行 l∥α⇔ ⇔ ; ‎ ‎ ‎ 面面平行 α∥β⇔ ⇔ . ‎ 线线垂直 l⊥m⇔ ⇔ ; ‎ 线面垂直 l⊥α⇔ ⇔ ;‎ 面面垂直 α⊥β⇔ ⇔ .‎ 归结小结:‎ ‎ 1.直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类.解题时,可以选取坐标最简的方向向量. ‎ ‎ 2.一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可以根据需要进行选取,一个平面的所有法向量共线. ‎ ‎3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置,所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系. ‎ ‎[例1] (1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系:‎ ‎①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);‎ ‎②a=(5,0,2),b=(0,4,0);‎ ‎③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).‎ ‎(2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系:‎ ‎①u=(1,-1,2),v=(3,2,-);‎ ‎②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);‎ ‎③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1). ‎ ‎(3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系: ‎ ‎①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2); ‎ ‎②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12); ‎ ‎③u=(4,1,5),a=(2,-1,0). ‎ ‎[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系,再判断线面、面面关系. ‎ ‎[精解详析] (1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),‎ ‎∴a=-b,∴a∥b,∴l1∥l2.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0,∴a⊥b,‎ ‎∴l1⊥l2.‎ ‎③∵a=(-2,1,4),b=(6,3,3),‎ ‎∴a与b不共线,也不垂直,∴l1与l2相交或异面(不垂直)‎ ‎(2)①u=(1,-1,2),v=(3,2,-),‎ ‎∴u·v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β.‎ ‎②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=-v,‎ ‎∴u∥v,∴α∥β.‎ ‎③∵u=(2,-3,4),v=(4,-2,1),‎ ‎∴u与v不共线,也不垂直,‎ ‎∴α与β相交但不垂直.‎ ‎(3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),‎ ‎∴u·a=-6+8-2=0,∴u⊥a,‎ ‎∴l⊂α或l∥α.‎ ‎②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12),u=-a,‎ ‎∴l⊥α.‎ ‎③∵u=(4,1,5),a=(2,-1,0),∴u与a不共线,也不垂直,‎ ‎∴l与α相交,但不垂直.‎ 同步训练:‎ ‎1.已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向 量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为________. ‎ ‎ 解析:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0 , ‎ ‎ ∴u⊥v,∴l∥α或l⊂α. ‎ ‎2.根据下列条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系. ‎ ‎ (1)直线l1与l2的方向向量分别是 a=(1,-2,-2),b=(-2,-3,2). ‎ ‎ (2)平面α,β的法向量分别为 u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12). ‎ ‎ (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a=(2,0,3),v=(1,-4,-3). ‎ ‎ (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a=(3,2,1),v=(1,-2,1). ‎ 解:(1)∵a=(1,-2,-2),b=(-2,-3,2), ‎ ‎∴a·b=-2+6-4=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. ‎ ‎(2)∵u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12), ‎ ‎∴v=-2(1,3,6)=-2u,∴u∥v,∴α∥β. ‎ ‎(3)∵a=(2,0,3),v=(1,-4,-3), ‎ ‎∴a与v既不共线也不垂直,∴l与α斜交. ‎ ‎(4)∵a=(3,2,1),v=(1,-2,1), ‎ ‎∴a·v=3-4+1=0,a⊥v, ‎ ‎∴l⊂α或l∥α. ‎ ‎ [例2] 已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),求平面ABC的一个法向量. ‎ ‎[精解详析] 设坐标原点为O,‎ 由已知可得=-‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎=(0,2,0)-(1,0,0)=(-1,2,0),‎ ‎=-=(0,0,3)-(1,0,0)=(-1,0,3).‎ 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·=(x,y,z)·(-1,2,0)=-x+2y=0,‎ n·=(x,y,z)·(-1,0,3)=-x+3z=0.‎ 不妨令x=6,则y=3,z=2.‎ 因此,可取n=(6,3,2)为平面ABC的一个法向量.‎ ‎[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤: ‎ 同步训练:‎ ‎3.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为(  ) ‎ ‎ A.(1,-1,1)       B.(2,-1,1) ‎ ‎ C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) ‎ ‎4.四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示的坐标系Axyz中,分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. ‎ ‎【方法小结】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现,一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.‎ 教学后记:‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎

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