3.2.1立体几何中的向量方法（一）.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第三章 空间向量与立体几何 课题：‎3.2.1‎立体几何中的向量方法（一） 第 课时 ‎ 课型： 新授课 ‎ 教学目标：‎ 教学目标：‎ ㈠ 知识目标：‎ 向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．‎ ㈡能力目标：‎ 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的运算律；解决简单的立体几何中的问题．‎ ㈢德育目标：‎ 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．‎ 批注：‎ 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．‎ 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． ‎ 教学用具： 多媒体，三角板，直尺 教学方法：讨论法． ‎ 教学过程：‎ 一.引入 以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为‎100 kg的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用 kg的力．‎ 问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？ ‎ ‎ ‎ 提示：能． ‎ ‎ ‎ ‎ 问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？ ‎ ‎ ‎ ‎ 提示：确定． ‎ 二．新课讲解：‎ ‎1．直线的方向向量 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线的方向向量是指和这条直线 的向量． ‎ ‎ ‎ ‎2．平面的法向量 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线l⊥α，取直线l的 a，则a叫做平面α的法向量. ‎ ‎ ‎ 由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置． ‎ ‎  ‎ 问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 有什么关系？若a⊥u呢？ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β是什么位置关系？ ‎ 空间中平行关系、垂直关系的向量表示 ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 ‎ ‎ ‎ 线线平行　l∥m⇔ ⇔ ； ‎ 线面平行　l∥α⇔ ⇔ ； ‎ ‎ ‎ 面面平行　α∥β⇔ ⇔ . ‎ 线线垂直　l⊥m⇔ ⇔ ； ‎ 线面垂直　l⊥α⇔ ⇔ ；‎ 面面垂直　α⊥β⇔ ⇔ .‎ 归结小结：‎ ‎ 1.直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． ‎ ‎ 2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线． ‎ ‎3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． ‎ ‎[例1]　(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：‎ ‎①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；‎ ‎②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；‎ ‎③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．‎ ‎(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：‎ ‎①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)；‎ ‎②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；‎ ‎③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)． ‎ ‎(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系： ‎ ‎①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ‎ ‎②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ‎ ‎③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． ‎ ‎[思路点拨]　先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． ‎ ‎[精解详析]　(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，‎ ‎∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，‎ ‎∴l1⊥l2.‎ ‎③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，‎ ‎∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面(不垂直)‎ ‎(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，‎ ‎∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.‎ ‎②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，‎ ‎∴u∥v，∴α∥β.‎ ‎③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，‎ ‎∴u与v不共线，也不垂直，‎ ‎∴α与β相交但不垂直．‎ ‎(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，‎ ‎∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，‎ ‎∴l⊂α或l∥α.‎ ‎②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－a，‎ ‎∴l⊥α.‎ ‎③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u与a不共线，也不垂直，‎ ‎∴l与α相交，但不垂直．‎ 同步训练：‎ ‎1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向 量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________． ‎ ‎ 解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0 ， ‎ ‎ ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. ‎ ‎2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系． ‎ ‎ (1)直线l1与l2的方向向量分别是 a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)． ‎ ‎ (2)平面α，β的法向量分别为 u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)． ‎ ‎ (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)． ‎ ‎ (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)． ‎ 解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)， ‎ ‎∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. ‎ ‎(2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)， ‎ ‎∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β. ‎ ‎(3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)， ‎ ‎∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交． ‎ ‎(4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)， ‎ ‎∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v， ‎ ‎∴l⊂α或l∥α. ‎ ‎ [例2]　已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的一个法向量． ‎ ‎[精解详析]　设坐标原点为O，‎ 由已知可得＝－‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)，‎ ‎＝－＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．‎ 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝(x，y，z)·(－1,2,0)＝－x＋2y＝0，‎ n·＝(x，y，z)·(－1,0,3)＝－x＋3z＝0.‎ 不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.‎ 因此，可取n＝(6,3,2)为平面ABC的一个法向量．‎ ‎[一点通]　利用待定系数法求法向量的解题步骤： ‎ 同步训练：‎ ‎3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为(　　) ‎ ‎ A．(1，－1,1)　　　　　　 B．(2，－1,1) ‎ ‎ C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) ‎ ‎4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． ‎ ‎【方法小结】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．‎ 教学后记：‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎