第三章 数列

第三章  数列 考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．                   §03. 数 列  知识要点   数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项   数列与函数的关系   项 项数 通项                   等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和                       等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （ ） 中项 （ ） （ ） 前 项和 重要性质       1. ⑴等差、等比数列：   等差数列 等比数列 定义 通项公式 = +（n-1）d= +（n-k）d= + -d   求和公式   中项公式 A=     推广：2 = 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则 。 2 若 成A.P（其中 ）则 也为A.P。 若 成等比数列 （其中 ），则 成等比数列。 3 ．  成等差数列。 成等比数列。 4  ，    5      ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ②2 ( ) ③ ( 为常数).                                                                          ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① ② ( ， )① 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即 a、b、c等比数列. ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且 →为a、b、c等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③ ( 为非零常数). ④正数列{ }成等比的充要条件是数列{ }（ ）成等比数列. ⑷数列{ }的前 项和 与通项 的关系： [注]： ① （ 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{ }前n项和   → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等差数列的充分条件.  ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍 ； ②若等差数列的项数为2 ，则 ； ③若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，   .      3. 常用公式：①1+2+3 …+n =     ②     ③ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，… ； 5，55，555，… . 4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款： = . ⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率. 5. 数列常见的几种形式： ⑴ （p、q为二阶常数） 用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程 （ 对应 ，x对应 ），并设二根 ②若 可设 ，若 可设 ；③由初始值 确定 . ⑵ （P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为 的形式，再用特征根方法求 ；④ （公式法）， 由 确定. ①转化等差，等比： . ②选代法： . ③用特征方程求解： . ④由选代法推导结果： . 6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法： 一是求使 ，成立的 值；二是由 利用二次函数的性质求 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 的最小公倍数.    2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。 3. 在等差数列｛ ｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当 >0,d