八年级数学暑假冲A手册

1 暑假冲 A 练习手册 一元二次方程综合 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△= △>0 方程 实数根； △2? 5 3．如图是抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽 4 6米，水位上升 3 米就达到警戒 线 CD，这时水面宽 4 3米，若洪水到来时，水位以每小时 0.25 米速度上升，求水过警戒线 后几小时淹到拱桥顶? 4.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 21 8 5 5y x x   ， 其中 y （m）是球的飞行高度， x （m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离 还有 2m． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离． 5.已知二次函数 2 22y x mx m   。 （1）求证：对于任意实数 m，该二次函数图象与 x 轴总有公共点； （2）若该二次函数图象与 x 轴有两个公共点 A，B，且 A 点坐标为（1，0），求 B 点坐标。 6．如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用 一段墙体(墙体的最大可使用长度 a＝10 米)。 (1)如果所围成的花圃的面积为 45 平方米，试求宽 AB 的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面 积，并说明围法，如果不能请说明理由． 6 7．某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价为 3 元，年销售量为 10（十万）件，为 了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 x(十 万元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y＝－ 1 10 x2＋3 5 x＋1，如果把利润看成是 销售总额减去成本费和广告费。 (1)试写出年利润 S(十万元)与广告费 x(十万元)的函数关系式． (2)如果投入广告费为 10～30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告 费的增大而增次? (3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少? 二次函数与代数综合 【精讲精练】 例 1.已知：y 关于 x 的函数 y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1 2+2kx2+k+2=4x1x2． ①求 k 的值； ②当 k≤x≤k+2 时，请结合函数图象确定 y 的最小值和最大值． 7 [变式训练] 1.已知：关于 x 的一元二次方程 mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为 x1、x2(其中 x1＜x2)，若 y 是关于 m 的函数，且 y＝x2－2x1， 求这个函数的解析式； (3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 的取值范围满足什么条件时，y≤2m?． 2.已知关于 x 的方程 kx2+(2k+1)x+2=0. (1)求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根. (2) 已知抛物线 y=kx2+(2k+1)x+2 恒过定点，求出定点坐标. (3)当抛物线 y=kx2+(2k+1)x+2 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数时， 若 P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且 y1>y2，请结合函数图象确定实数 a 的取值范 围. 8 【精讲精练】 例 1. 二次函数 y＝x2－3x－18 的图象与 x 轴有两交点，求两交点间的距离。 [变式训练] 1. 抛物线 y=2x2-2x-3 与直线 y=x+2 交于 A、B 两点，求 AB 的距离。 2. 若抛物线 y=-x2+x+6 与直线 y=-x+m 只有一个交点，求 m 的值。 例 2．已知抛物线 y＝1 4 x2 和直线 y＝ax＋1 (1)求证：不论 a 取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点； (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线与直线的两个交点，P 为线段 AB 的中点，且点 P 的 横坐标为x1＋x2 2 ，试用 a 表示点 P 的纵坐标； (3)若 A、B 两点的距离为 d，试用 a 表示 d。 9 已知二次函数 y=x2+ax+a-2. （1） 求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点； （2） 设 a