人教A版(2019)必修一同步练习题2.2 基本不等式
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人教A版(2019)必修一同步练习题2.2 基本不等式

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资料简介
1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 等式性质与不等式性质(共 2 课时) (第 1 课时) 一、选择题 1.(2019·高一期末)下列不等式一定成立的是( ) A. ?+? 2 ≥ √?? B. ?+? 2 ≤ −√?? C.? + 1 ? ≥ 2 D.?2 + 1 ?2 ≥ 2 【答案】D 【解析】当?, ?, ?都为负数时,A,C 选项不正确.当?, ?为正数时,B 选项不正确.根据基本不等式,有 ?2 + 1 ?2 ≥ 2√?2 ⋅ 1 ?2 = 2,故选 D. 2.(2019 高一期中)已知 x>0,函数 9 y x x = + 的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】∵x>0,∴函数 9 9 2 6y x x x x = +   = ,当且仅当 x=3 时取等号, ∴y 的最小值是 6.故选:C. 3.(2019 广东高一期末)若正实数 a,b满足? + ? = 1,则下列说法正确的是( ) A.ab有最小值 1 4 B.√? + √?有最小值√2 C. 1 ? + 1 ? 有最小值 4 D.?2 + ?2有最小值√2 2 【答案】C 【解析】∵ a > 0,b > 0,且a + b = 1;∴ 1 = a + b ≥ 2√ab; ∴ ab ≤ 1 4 ;∴ ab有最大值 1 4 ,∴选项 A 错误; (√? + √?) 2 = ? + ? + 2√?? = 1+ 2√?? ≤ 1 + 2√ 1 4 = 2,∴ √? + √? ≤ √2,即√a + √b有最大值√2, ∴B 项错误. 1 a + 1 b = a+b ab = 1 ab ≥ 4,∴ 1 a + 1 b 有最小值 4,∴C 正确; ?2 + ?2 = (? + ?)2 − 2?? = 1 − 2?? ≥ 1 − 2 × 1 4 = 1 2 ,∴ a2 + b2的最小值是 1 2 ,不是√2 2 ,∴D 错误. 4.(2019·柳州市第二中学高一期末)若? > −5,则? + 4 ?+5 的最小值为( ) 2 A.-1 B.3 C.-3 D.1 【答案】A 【解析】? + 4 ?+5 = ? + 5+ 4 ?+5 − 5 ≥ 2 × 2 − 5 = −1,当且仅当? = −3时等号成立,故选 A. 5.(2019 吉林高一月考)若 ( ) 1 2 f x x x = + − ( 2)x  在 x n= 处取得最小值,则n =( ) A. 5 2 B.3 C. 7 2 D.4 【答案】B 【解析】: 当且仅当 时,等号成立;所以 ,故选 B. 6.(2019·广西高一期中)已知 5 x 2  ,则 f(x)= 2 4 5 2 4 x x x − + − 有 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 【答案】D 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x f x x x x x x − +   = = − +  − = − − −  当 1 2 2 x x − = − 即 3x = 或1(舍去)时, ( )f x 取得最小值1 二、填空题 7.(2019·宁夏高一期末)当 1x  − 时, 1 ( ) 1 f x x x = + + 的最大值为__________. 【答案】-3. 【解析】当 1x  − 时, ( ) 1 1 [ ( 1) ] 1 1 1 f x x x x x = + = − − + − − + + 又 1 ( 1) 2 1 x x − + −  + , ( ) 1 1 [ ( 1) ] 1 3 1 1 f x x x x x = + = − − + − −  − + + ,故答案为:-3 8.(2019·上海市北虹高级中学高一期末)若 0m  , 0n  , 1m n+ = ,且 4 1 m n + 的最小值是___. 【答案】9 【解析】∵ 0m  , 0n  , 1m n+ = , 4 4 ( ) 5 4 1 4 5 2 1 9 n m n m m n m n m n m n m n    + = + + = + + +  =    , 当且仅当 1 2 , 3 3 n m= = 时“=”成立,故答案为 9. 3 9.(2019·浙江高一期末)已知 0a  , 0b  ,若不等式 2 1 2 m a b a b +  + 恒成立,则m 的最大值为 ______. 【答案】9. 【解析】由 2 1 2 m a b a b +  + 得 ( ) 2 1 2m a b a b    + +    恒成立,而 ( ) 2 1 2 2 2 5 a b a b a b b a   + + = + +    2 2 5 2 5 4 9 a b b a  +  = + = ,故 9m  ,所以m 的最大值为9 . 10.(2019·浙江高一月考)设函数 2 4 ( ) ( 2) ( 0)f x x x x x = − + +  .若 ( ) 4f x = ,则 x = ________. 【答案】2 【解析】因为 2( 2) 0y x= −  ,当 2x = 时,取最小值; 又 0x  时, 4 2 4 4y x x = +  = ,当且仅当 0 6( ,),即 2x = 时,取最小值; 所以当且仅当 2x = 时, 2 4 ( ) ( 2)f x x x x = − + + 取最小值 (2) 4f = . 即 ( ) 4f x = 时, 2x = .故答案为 2 三、解答题 11.(2016·江苏高一期中)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; (2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值; (3)已知 x< 5 4 ,求 f(x)=4x-2+ 1 4 5x − 的最大值; 【答案】(1) 的最大值 ;(2) 的最小值为 5; (3)函数 的最大值为 【解析】(1) , 当且仅当 , 时取等号,故 的最大值为 (2) , 4 当且仅当 即 时取等号 (3) 当且仅当 ,即 时,上式成立,故当 时, 函数 的最大值为 . 12.(2019·福建高一期中)设 0, 0, 1a b a b  + = 求证: 1 1 1 8 a b ab + +  【答案】可以运用多种方法。 【解析】证明[法一]: 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1a b a b ab ab ab +  + + = + 2 2 1 1 2 2 2 8 1 2 2 ab ab ab a b = + =  = = +            当且仅当 1 = = 2 a b ,取“=”号。 故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法二]: 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + a b a b a b ab a b ab a b b a + +  + + = + + ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 =8a b ab a b a b ab     = + = + +           当且仅当 1 = = 2 a b ,取“=”号。故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法三] 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + a b a b a b ab a b ab a b b a + +  + + = + + 1 1 2 2 =2 2+ a b a b b a a b a b a b + +      = + = + +            =4+2 4+2 2 =8 b a b a a b a b   +       当且仅当 1 = = 2 a b 时,取“=”号。故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法五]: 0, 0, 1a b a b  + = 5 1 1 1 8 1 8b a ab a b ab  + +   + +  2 1 4 2 a b ab ab +         显然成立 1 1 1 1 = = = 8 2 a b a b ab + + 当且仅当 时,取“ ”号,故 2.2 基本不等式(第 2 课时) 二、选择题 1.(2019·四川高一期中)用篱笆围一个面积为 2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短,最短的篱笆是( ) A.30 B.36 C.40 D.50 【答案】C 【解析】设矩形的长为 ( )x m ,则宽为 100 ( )m x ,设所用篱笆的长为 ( )y m ,所以有 100 2 2y x x = +  , 根据基本不等式可知: 100 100 2 2 2 2 2 40y x x x x = +     = ,(当且仅当 100 2 2x x =  时,等号成 立,即 10x = 时,取等号)故本题选 C. 2.(2019·北京高一期中)若实数 x,y满足2? + ? = 1,则? ⋅ ?的最大值为( ) A.1 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 【答案】C 【解析】∵实数 x,y满足2? + ? = 1,∴ ? = 1 − 2?,∴ ?? = ?(1 − 2?) = −2?2 + ? = −2(? − 1 4 )2 + 1 8 ≤ 1 8 ,当? = 1 4 ,? = 1 2 时取等号,故选:C. 3.(2019·北京北师大实验中学高一期末)宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假 设一个三角形,边长分别为a b c, , ,三角形的面积 S 可由公式 ( )( )( )S p p a p b p c= − − − 求得,其中 p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满 足 12 8a b c+ = =, ,则此三角形面积的最大值为( ) A.4 5 B. 4 15 C.8 5 D.8 15 【答案】C 【解析】由题意,p=10, 6 S ( )( )( ) ( )( ) 10 10 10 10 10 10 20 10 10 20 2 a b a b c a b − + − = − − − = − −   = 8 5 , ∴此三角形面积的最大值为 8 5 .故选:C. 4.(2019·湖南高一期中)当? > 0,关于代数式 2? ?2+1 ,下列说法正确的是( ) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值 【答案】A 【解析】∵ ? > 0, ∴ 2? ?2+1 = 2 ?+ 1 ? ≤ 2 2√?⋅ 1 ? = 1 ,当且仅当? = 1 ? 即? = 1时取等号, 故? > 0,关于代数式 2? ?2+1 有最大值 1,没有最小值,故选:A. 5.(2019·全国高一课时练习)汽车上坡时的速度为 a,原路返回时的速度为 b,且 0<a<b,则汽车 全程的平均速度比 a,b的平均值( ) A.大 B.小 C.相等 D.不能确定 【答案】B 【解析】令单程为 s,则上坡时间为?1 = ? ? ,下坡时间为?2 = ? ? , 平均速度为 2? ?1+?2 = 2? ? ? + ? ? = 2 1 ? + 1 ? ≤ √?? ≤ ?+? 2 .故选 B. 6.(2019·龙岩市第一中学高一月考)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客 要购买10?黄金,售货员先将5?的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5?的 砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ) A.大于10? B.小于10? C.大于等于10? D.小于等于10? 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为?,右臂长为?(不妨设? > ?), 先称得的黄金的实际质量为?1,后称得的黄金的实际质量为?2 .由杠杆的平衡原理:??1 = ? × 5, ??2 = ? × 5 .解得?1 = 5? ? ,?2 = 5? ? ,则?1 +?2 = 5? ? + 5? ? . 下面比较?1 +?2与 10 的大小: 因为(?1 +?2) − 10 = 5? ? + 5? ? − 10 ≥ 2√ 5? ? ⋅ 5? ? − 10 = 0,又因为? ≠ ? ,所以,(?1 +?2) − 10 > 0, 即?1 +?2 > 10 .这样可知称出的黄金质量大于10? .故选:? 二、填空题 7.(2019·全国高一课时练)某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 7 f(t)=t2+10t+16,则该商场前 t天平均售出[如前 10 天的平均售出为 ?(10) 10 ]的月饼最少为 【答案】18 【解析】平均销售量 y= ?(?) ? = ?2+10?+16 ? =t+ 16 ? +10≥18. 当且仅当 t= 16 ? ,即 t=4∈[1,30]等号成立,即平均销售量的最小值为 18. 8.(2016·青海平安一中高一课时练习)有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙 的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最 大面积为____m2(围墙厚度不计). 【答案】2500 【解析】设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0

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