整式的运算
1、把代数式 2a2b2c 和 a3b2 的共同点写在横线上___________。
2、(π-1)x2y3z 是多项式还是单项式？ π+2 是多项式还是单项式？
多项式 xy2-xy+24 是_____次_____项式。
3、任意写一个三位数，使百位数字比个位数字大 3，交换百位数字与个位数字，用大数减
去小数，交换差的百位数字与个位数字，做两个数的加法，得到的结果为 1089,。
用不同的三位数再做几次，结果都是 1089 吗？找出其中的原因。
4、某种商品的销售统计表明，当单价为 a（元/件）时，销售量为 b（件），以后在单价下降
幅度不超过 20％时，单价每下降 1％，销售量就增加 2％。
⑴设单价下降的百分比为 x（0＜x＜20％),求销售额；（销售额=单价×销售量）
⑵若 a=200（元/件），b=120（件），x=15％，销售额比原来增加还是减少？增加或减少
多少？
5、已知一个长方体的长为(a+3)cm,宽为 bcm,高为(3-a)cm.求长方体的表面积的代数式。
6、通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低 a 元后，再
次下调了 20﹪，现在收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准每分钟是_______元
7、A、B 两地相距 s 千米，甲、乙两人同时从两地相向而行，甲每小时行 4 千米，乙每小时
行 5 千米，t 小时后，两人还未相遇，此时两人相距________千米。
答案：1、都是单项式；都含有字母 a、b；次数都是 5 2、单项式；单项式；三；三 3、
略 4、⑴a(1-x)×b(1+2x)；⑵增加；增加了 2520 元 5、12b+18-2a2 6、5
4
b+a
7、s-9t
1、已知关于 x 的多项式（m+2）x2- (m -3)x+4 的一次项系数为 2，则这个多项式是________.
2、多项式 a2x3+ax2-9x3+3x-x+1 是关于 x 的二次多项式，求 a2+1
a
的值
3、如果(a+1)2x2yn-1 是关于 x,y 的五次单项式，则 n,a 应满足的条件是什么？
4、多项式（a2-9）x3- (a-3)x2+x+4 是关于 x 的二次三项式，求下列代数式的值：
①a2-2a+1; ②(a-1)2
5、一条水渠的横断面为梯形，已知梯形的面积为（a3-ab2）m2,高为（a2-ab）m,上底长为(a-b)m,
求下底的长度。
6、计算多项式 2x3-6x2+3x+5 除以（x-2）2 后，得余式为（ ）
Ａ、1 Ｂ、3 Ｃ、x-1 Ｄ、3x-3
7、已知被除式是 x3+3x2-1，商式是 x, 余式是-1，求除式。
答案：1、3x2+2x+4 2、8 2
3
或 91
3
3、a≠-1；n=4 4、①16；②16 5、a+3b
6、D 7、x2+3x
1、若 x=2m+1,y=3+4m,试用含 x 的代数式表示 y。
2、已知：2x=3,2y=6,2z=12，试求 x、y、z 的关系。
3、已知 10a=20,10b=1
5
，求 3a÷3b 的值.
4、已知（9a2）3.( 1
3 )8=1,求 a12 的值。
5、计算：（-3）2n-1+（-3）2n+（-3）2n+1，并求出当 n=2 时的值。
6、31994×71995×的个位数字是（ ）
Ａ、1 Ｂ、3 Ｃ、7 Ｄ、9
7、22006×91003×32004 的个位数字是_______.
8、已知 a＞0, b＞0, c＞0, d＞0,且 a5=5, b4=4, c3=3, d2=2,比较 a，b，c，d 的大小。
9、3n+11m 能被 10 整除，3n+4+11m+2 也能被 10 整除。
10、如果（- am）n= amn 成立，则（ ）
A、m 是偶数，n 是奇数 B、n、m 都是奇数
C、n 是偶数， m 是奇数 D、n 是偶数
11、已知：42=a4，272=3b，代简求值：（3a-2b）2- (a-3b)(2a+b)+(3a+b)(3a-b).
12、知 x3+x2+x+1=0，求 1+x+ x2+ x3+ x4+…+ x2000 的值。
13、已知：x=4,y=- 1
8
,求代数式 1
7
xy2·14(xy)2·1
4
x5 的值
14、计算：
⑴10×104×105+103×107
⑵[(x-y)3]4.[-(y-x)2]5.(x-y)
⑶(-2x4)4+2x10.(-2x2)3+2x4.5(x4)3.
⑷{1+[1-(1
2
)-2]-2}-2.
⑸（-x）2n-1.(-x)n+2(n 为正整数)。
⑹（- 3
2
xy4）2·16x5y÷(-2x2y3)3
⑺3x2(x3y2-2x)-4x(-x2y)2
⑻[(-a5)4÷a12]2×(-2a4)
⑼（-1.2×102）2×（0.6×104）+（-2×102）3×10
⑽（-3）2010+（-3）2011。
⑾3.2mn2(-0.125m2n3)
⑿2
5
x2y·（- 0.5xy）2-（-2x）3·xy3;
⒀（-3）2n+1+3·（-3）2n（n 是正整数）
⒁103·10+100·102.
答案：1、y=3+(x-1)2 2、x+y+z=8 3、9 4、81 5、-189 6、C 7、6
8、c＞d=b＞a 9、3n+4+11m+2=81×3n+121×11m=81×(3n +11m)+40×11m 10、D 11、
364 或 196 12、1 13、8 14、略
1、若代数式 x2-6x+b 可化为（x-a）2-1,则 b-a 的值是______.
2、多项式 9x2+1 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可
以是__________.
3、若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k=________.
4、若 x2+x+m2 是一个完全平方式，则 m=_________. (±1
2
)
当 x2+2(k-3)x+25 是一个完全平方式，则 k 的值是_______. (8；-2)
若 x2-16x+m2 是一个完全平方式，则 m=_______. (-8)
5、如果 x2+4x+k 恰好是另一个整式的平方，那么常数 k 的值为( )
A、4 B、2 C、-2 D、±2
6、若（7x-a）2=49x2-bx+9，则|a+b|之值为何？（ ）
A、18 B、24 C、39 D、45
7、将代数式 x2+4x-1 化成（x+p）2+q 的形式为（ ）
A、(x-2)2+3 B、(x+2)2-4 C、(x+2)2-5 D、(x+2)2+4
8、已知 0≤x≤1,若 x2+y2=3,xy=1,则 x-y=_______.
9、已知：x2-2x+y2+6y+10=0,求 x+y 的值.
10、已知 x-y=9,xy=5.求 x2+y2 的值与(x+y)2 的值。
11、若 x2-y2=12,x+y=6,求 x,y 的值.
12、已知：x2-3x+1=0,求 x4+( )的值；
答案：1、5 2、±6x；81
4
x4 3、±10 4、1
2
；8 或-2；8 5、A 6、45
7、C 8、1 9、-2 10、91；101 11、x=4；y=2
1、若△ABC 三边为 a、b、c,且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac,试问△ABC 三边有何关系？
2、设 a、b、c 是不全相等的数，若 x=a2-bc,y=b2-ac,z=c2-ab,则 x、y、z（ ）
A、都不小于 0 B、都不大于 0
C、至少有一个小于 0 D、至少有一个大于 0
3、当 x=_____时，- 4x2-4x+1 有最大值，这个值是______.
4、无论 x,y 为何值，x2+y2-2x-4y+5 的值总是（ ）
A、负数 B、零 C、非负数 D、正数
5、试说明 x,y 不论取何值，多项式 x2+y2-2x+2y+3 的值总是正数。
6、已知 a2+2ab+b2=0,求代数式 a(a+4b)－(a+2b)(a-2b)的值.
7、已知（a+b）2=A,（a-b）2=B.则 a2+b2=________.
8、已知 a2+b2+2a+4b+5=0.求代数式[(a+ b
2 )+(a- b
2 )2]·(2a2- 1
2
b2)的值。
9、若 a+b=0,定义运算若 a☆b=a(1-b),则（a☆a）+(b☆b)=2ab 是否成立？
10、设 a,b,c,d 都是整数，且 m=a2+b2,n=c2+d2,m·n 也可以表示成两个整数的平方和，其形
式如何？
答案：1、等边三角形 2、A 3、-1
2
；2 4、C 5、略 6、0 7、1
2
（A+B）8、
0 9、略 10、mn=（a2+b2）（c2+d2）= a2 c2+ a2 d2+ b2 c2+ b2 d2= a2 c2+2abcd+ b2 d22+ b2
c2-2abcd + a2 d=(ac-bd)2+(bc-ad)2
1、观察下列式子：1×2×3×4+1=52
2×3×4×5+1=112
3×4×5×6+1=192
……
⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明：
⑵根据⑴计算 2009×2010×2011×2012+1.（用一个最简式子表示）
2、观察一列单项式：a,-2a2,4a3,-8a4,......根据你发现的规律，第 7 个单项式为______；第 n 个
单项式为_______.
3、有一个多项式为 x10-x9y+x8y2- x7y3+……按这样的规律写下去，写出它的第七项和最后一
项，这个多项式为几次几项式？
4、观察下列格式：62-42=4×5，112-92=4×10，172-152=4×16，…
请你用一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来。
5、观察下列单项式：-x,2x2,-3x3,4x4,…,-19x19,20x20,…请你写出第 n 个单项式。
6、一列数列：2,4,6，…，2n，…若前 n 个数的和为 930，则 n 等于多少？
7、观察下列各式：（-5）×（-3）=15，而 15=（-4）2-1；
（-3）×（-1）=3，而 3=（-2）2-1；
（-1）×1=-1，而-1=02-1；
1×3=3，而 3=22-1； 3×5=15，而 15=42-1；……
你发现了什么规律？请用只含有一个字母的式子表示出来。
8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如，
4=22-0,12=42-22,20=62-42，因此 4,12,20 这三个数都是神秘数。
⑴28 和 2012 这两个数是神秘数吗？为什么？
⑵设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数
是 4 的倍数吗？为什么？
⑶两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
9、当细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，某种细菌 A 每 15 分钟分裂一次，如果一个器皿里
有 100 个 A 细菌，那么一个小时后，器皿里有______ 个 A 细菌。3 个小时后 A 细菌的个
数是一小时时的_______ 倍。
10、古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一
个三角形数记为 a1，第二个三角形数记为 a2，第 n 个三角形数记为 an，计算 a2- a1, a3- a2,
a4- a3,…,由此推算，a100- a99=_______，a100=______.
11、观察下列等式：39×41=402-12，48×52=502-22，56×64=602-42，65×75=702-52，
83×97=902-72…
请你把发现的规律用字母表示出来：m×n=_______
答案：1、n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2；略 2、64a7；（-1）n+12n-1an 3、x4y6；y10；
十次十一项式 4、a2-(a-2)2=4(a-1) 5、（-1）nnxn 6、2n(n+1)
2 =930；n=30
7、n(n+2)=(n+1)2-1 8、⑴是；⑵是；⑶不是 9、1600；256 10、100；5050
11、（m+n
2
）2－(n-m
2
)2 或(m-n)(m+n)=m2-n2
1、已知（2010-a）(2008-a)=2009,求（2010-a）（2010-a）+(2008-a) (2008-a)的值
2、（4m2-n2）÷________=n-2m.
3、计算：12-22+32-42+…+992-1002
4、已知 x≠0，M=（x2+2x+1）(x2-2x+1), N=(x2+x+1)( x2-x+1),则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A、M＞N B、M＜N C、M=N D、无法确定
5、计算：
①（1- 1
2²
）（1- 1
3²
）（1- 1
4²
）……（1- 1
10²
）
② 1000²
252²-248²
③ [(a- 1
2
b)2+(a+ 1
2
b)2](2a2- 1
2
b2)
④20022-2001×2003.
⑤（a+b+c）2-(a-b+c)2.
⑥（x+y）2(x-y)2(x2+y2)2.
⑦(a+b+c)2-(a-b+c)2.
⑧301
3
×292
3
⑨（a-b+c）2 －（a+b-c）2
⑩（a-b）(a+b)(a2+b2)·（a4+b4）
答案：1、∵（2010-a）(2008-a)=2009 ∴（2009-a）2-1=2009，（2009-a）2=2010；（2010-a）
（2010-a）+(2008-a) (2008-a)=（2009-a+1）2+(2009-a-1)2=2（2009-a）2+2=4022 2、-2m-n
3、5050 4、B 5、略
1、若 x2+3x-1=0,则 x3+5x2+5x+18 的值为_____。
2、某环保局将一个长为 2×103dm,宽为 4×102dm,高为 8×10dm 的长方体废水池中的满池废
水注入正方体贮水池净化，那么请你考虑一下，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废
水刚好装满？若有，求出该正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由。
3、计算：（1
2
+ 1
3
+ …+ 1
2001
）（1+1
2
+…+ 1
2000
）- （1+1
2
+…+ 1
2001
）（1
2
+ 1
3
+ …+ 1
2000
）
4、某菜农有西红柿和胡萝卜共 100 斤到菜市场去卖，结果西红柿卖出去六成，胡萝卜卖出
去七成，已知西红柿每斤 7 角，胡萝卜每斤 6 角，该菜农两种菜共卖得的钱数是_____
元
答案：1、20 2、有；4×102 3、 1
2001
4、42 元
平行线与相交线
1、如图所示，OF 是∠BOE 的平分线，OC⊥OE,OD⊥OF, C D
那么图中与∠AOF 互补的角有（ ） E
A、1 个 B、2 个 F
C、3 个 D、4 个
A O B
2、如图所示，∠ABC=∠ADE,若 DF 平分∠ADE, BG A F
平分∠ABC,则 DF 与 BG 平行吗？为什么？
D E
G
B C
3、如图所示，∠ABC=∠ADC,DE、BF D F C
分别是∠ADC、∠ABC 的角平分线，
∠DEA=∠FBA,求证：DC∥AB
A E B
4、如图，已知∠EFG+∠BDG=180°, A
∠DEF= ∠B.试判断∠AED 与∠C D E
的关系，并予以说明。
F
B G C
5、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是_________；若一个
角的两边与另一个角的两边分别平行，其中一个角为 30°，那么另一个角为______；
若两个角的一对边在同一条直线上，另一对边互相平行，那么这两个角____.
6、A、B 为直线 l 外不同两点，直线 a 过 A 点，a⊥l, 直线 b 过 B 点，b⊥l,则 a、b 的关系
为______.
A、相交 B、平行 C、重合 D、平行或重合
7、如图，已知 AB∥CD,∠E=28°，∠C=52° E
则∠EAB 的度数是 （ ）
A、28° B、52°
C、70° D、80°
A B
C D
8、两条直线相交于一点，形成______对对顶角；三条直线相交于一点，形成______对对顶
角；四条直线相交于一点，形成______对对顶角；猜想：n 条直线相交于一点时，形成
______对对顶角；
9、已知∠AOB=a，在∠AOB 外部画∠BOC，然后分别画∠AOC 的角平分线为 OM 和∠BOC
的角平分线为 ON，当∠AOB+∠BOC＜180°时，∠MON 度数是多少？当∠AOB+∠BOC
＞180°时，∠MON 度数又是多少？
10、已知线段 AB=6cm，在直线 AB 上画线段 AC=2cm，则线段 BC 的长是_________.
11 如下图，AB//EF，∠C=90°， A B
则∠B+∠D－∠E=______度 C
D
E F
12、如下图 14，已知∠A=27°，∠E=33°，DE 平分∠CDA,BE 平分∠CBA,求∠C
13、如下图 15，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I 的度数为________.
C A
D
D G
E B I
B C H
A E F
图 12 图 13
14、如下图 16，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=a,若以 OA、OB、OC、OD、OE 为边的所
有的角之和等于 380°，则∠AOB 的度数是________.
B
E
D
C
O A
图 16
15、已知在同一个平面内的三条直线 L1，L2，L3，如果 L1⊥L2，L2⊥L3，那么 L1 与 L3 的位
置关系是____________.
E
16、如右图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E F D
+∠F+∠G+∠H 的值。 O C
G
B
H A
17、如右图，把一张长方形纸片 ABCD A E D
沿 EF 折叠后 ED 与 BC 的交点为 G，
D、C 分别在 M、N 的位置上，
若∠EFG=50°，则∠BGE=_____. B G F C
M N
18、如图，两平面镜 a、b 的夹角为 c, a B
入射光线 AO 平行于 b 入射到 a 上， O A
经两次反射后的出射光线 O/B 平行于 a,
则角 c 等于_____度
c O/ b
19、一个人从 A 点出发向北偏东 30°方向走到 B 点，再从 B 点出发向南偏东 15°方向走
到 C 点，那么∠ABC 等于（ ）
A、75° B、105° C、45° D、90°
21、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯
的角度可能是（ ）
A、第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130°
B、第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°
C、第一次向右拐 50°，第二次向右拐 130°
D、第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130°
22、已知两个角的两边互相平行，这两个角的差是 40°，则这两个角分别是（ ）
A、140°和 100° B、110°和 70° C、70°和 30° D、150°和 110°
23、如图已知，AB//CD//EF，∠B=60°，∠D=10° B G F D
EG 平分∠BED，则∠GEF=________.
A E C
24、下列说法正确的有：①对顶角一定相等；②如果两个角的和是直角，那么称这两个角互
为余角；③对顶角相等但一定不互补；④同角或等角的余角相等。 （C）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
25、在图中，∠AEF=∠C，∠AFD+∠EDF=180°， A
则下面结论正确的是。 F E
A、∠BFD=∠A B、∠AFE=∠EDC
C、∠A+∠AFD=180° C、∠BFD=∠CED B D C
答案：1、C 2、略 3、略 4、略 5、相等或互补；30°或 150° 6、D
7、D 8、2；6；12；n（n-1） 9、1
2
∠a；180°-1
2
∠a 10、4 ㎝或 8 ㎝
11、90° 12、39° 13、540° 14、72° 15、平行或重合 16、360°
17、100° 18、60° 19、C 20、略 21、B 22、B 23、25°
24、C 25、B
生活中的数据和概率
1、有一句谚语：“捡了芝麻，丢了西瓜”，意思是说有一些人办事只抓一些无关紧要的小事，
却忽略了具有重要意义的大事。据测算，5 万粒芝麻才 200 克，你能换算 1 粒芝麻有多
少千克吗？
2、地球到月球的距离用四舍五入法得 38 万千米，其精确值的范围是_______________.
3、我国的耕地面积约为 182 万平方千米，对于我国 13 亿人口来说，人均耕地面积为多少
平方千米呢？人均耕地面积的百万分之一为多少平方米呢？大约与我们身边哪个物体相当
呢？
4、甲、乙两名同学做摸牌游戏，他们在桌上放了一副扑克牌中的 4 张牌，牌面分别是 J、Q、
K、K。游戏规则是：将牌面全部朝下，从这 4 张牌中随机取 1 张牌记下结果放回，洗匀后
再随机取 1 张牌，若两次取出的牌中都没有 K，则甲获胜，否则乙获胜。你认为甲、乙两
人谁获胜的可能性大？用列表或画树状图的方法说明理由。
5、一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，先从盒中摸出 8 个球，画
上记号放回盒中，再把盒中球搅匀，然后每次摸出一球，放回盒中再继续摸球，一共摸了
50 次，统计结果如右表： 球的颜色 无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
⑴盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
⑵盒中有红球多少个？
6、一个口袋装有 10 个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋
中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出 10 个球，求出其中红球
数与 10 的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程 20 次，得到红球数与 10
的比值的平均数为 0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有___个黄球
7、一只不透明的袋子中，装有 2 个白球和一个红球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中
摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率。
8、任意掷一枚均匀的硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是____. ( 1
2 )
同时掷出两枚硬币，则同为正面朝上的概率为_____( 1
4 )
9、三人同行，可以从其中找出性别相同的概率为（ ）
A、1 B、2
3 C、1
3 D、0
10、在一场篮球比赛中，某位明星球员得 61 分，在这 61 分中既有 3 分球，也有 2 分球（没
有罚球），那么请问：这名球员在这 61 分中投中 3 分球的概率最大是多少？最小是多
少？（19
21
；1
30
）
11、某人射击一次，如果射击的结果是等可能的，那么这个射手中 10 环的概率是（ B ）
A、 1
12 B、 1
11 C、 1
10 D、1
9
12、两个用均匀材料做的正方体玩具，各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.
⑴将这两个玩具各抛掷一次，朝上一面的点数之和为 6 的概率是多少？ （ 5
36
）
⑵将这两个玩具各抛掷一次，朝上一面出现相同数字的概率是多少？ （ 1
6
）
13、袋中共有 5 个大小相同的红球、白球，任意摸出一球为红球的概率是2
5
。求袋中红球、
白球各有几个？
14、数 706.2 保留两个有效数字是_____.
15、在我们的生活中我们常常用划剪子、石头、布的方法来决定胜负，在不考虑人为因素
的条件下，你认为这个游戏公平吗？划拳双方获胜的概率分别是多少？ （公平； 1
3
）
16、测量 1 张纸大约有多厚，出现了以下四种观点，你认为合理且可行的观点是（ ） （D）
A、直接用三角尺测量 1 张纸的厚度
B、先用三角尺测量同类型的 50 张纸的厚度
C、先用三角尺测量同类型的 2 张纸的厚度
D、先用三角尺测量同类型的 1000 张纸的厚度
17、我们的宇宙大约形成于年前，可记为______;宇宙大爆炸的一刹那，它在历史上只存在
了 1×10-43 秒，若写成纯小数，那么小数点后应有______个零。（43）
18、国家质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应
在百万分之七十五以下，百万分之七十五用科学计数法表示应写成（ ）
A、7.5×10-6 B、7.5×10-5 C、7.5×10-4 D、7.5×10-7
19、胡锦涛总书记在美国耶鲁大学演讲时谈到，我国国内生产总值从 1978 年的 1473 亿美
元增长到 2005 年的 22257 亿美元。若将 2005 年的国内生产总值用四舍五入法保留三
个有效数字，其近似数用科学计数法表示为________亿美元，精确到________位。
（2.23×104； 百亿）
20、已知甲数为 a×10n,乙数是甲数的 10 倍，丙数是乙数的 2 倍，甲、乙、丙三数的积为
1.6×1012，求 a,n 的值。（其中 1≤a＜10,n 为正整数) (a=2 n=3)
21、生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到 150 多吨，下面的动物体
重与它体重的百万分之一相近的是（ ）
A、大象 B、豹 C、鸡 D、松鼠
22、用四舍五入法取近似数，647.96 精确到十分位的近似数是_______.
23、蓝猫走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有三个门，只有第三个门有开关，
第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，蓝猫一次就能走进迷宫的概率是____.(1
6
)
24、有朋友约定明天上午 8:00～12:00 的任一时刻到学校与王老师会面，王老师明天上午要
上三节课（第一节课安排在 8:00 上），每一节课 45min，朋友到学校时王老师正巧不在
上课的概率是________.
25、某商店在“十一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白
色乒乓球各两个；顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色
不同不得奖，那么顾客摸奖一次，得奖的概率是______. (1
3
)
26、某公司对一批某品牌的衬衣的质量抽检结果如下表：
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
⑴从这批衬衣中任抽 1 件是次品的概率约为多少？
⑵如果销售这种衬衣 600 件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换
27、一个袋中装有 1 个红球，1 个黑球和 1 个黄球，它们除了颜色都相同，从中任意摸出一
球，记录下颜色后又放回袋中；充分摇匀后，再任意摸出一球，记录颜色后又将它放回
袋中；再一次充分摇匀后，又从中任意摸出一球，试求：
⑴三次均摸出黑球的概率；
⑵三次中至少有一次摸出黑球的概率。
28、在用科学记数法表示的数 3.14×10-7, 2.5×10-8, 1.32×107, 4.9×10-8 中，最大的数
为________，最小的数为__________.
29、计算机中一般用 b（字节）、Kb（千字节）或 Mb（兆字节）或 Gb（千兆字节）作为存储
容量的计算单位，它们之间的关系为 1Kb=210b，1Mb=210Kb，1Gb=210Mb，一种新款电脑的
硬盘存储量为 200 Gb，它相当于多少 Kb？（结果用科学计数法表示并保留三个有效数
字）
30、一纳米相当于 1 根头发丝直径的六万分之一，1 根头发丝约有_______纳米。
31、随着生活水平的不断提高，小明家也搬进了新房子，现在他家的住房面积为 144 平方米，
请问你能用科学计数法表示出他家的住房面积相当于我国国土面积的多少吗？（我国国
土面积按 960 万平方千米计算）
32、如图在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 有如图所示的
A、B 两点，在格点中任意放置点 C，恰能使△ABC 的面积为 ·B
1 的概率为（ ） ·A
A、 3
25
B、 4
25
C、1
5
D、 6
25
33、学校门口经常有小贩搞摸奖活动，某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的 50 只小
球，其中红球 1 只，黄球 2 只，绿球 10 只，其余为白球，搅匀后，每两元摸一个球，
奖品的情况标注在球上（如下图），如果花 4 元摸同时 2 个球，那么获得 10 元的概率是
多少？ （ 2
2450
）
8 元的奖品 5 元的奖品 1 元的奖品 无奖品
红球 黄球 绿球 白球
34、甲、乙、丙、丁四人任意站成一行，甲正好站在最后的概率是_______.
35、一副扑克去掉大、小王，小明拿走 10 张，余下的给小李、小华做游戏，两人商定，每
人各抽十次（抽后放回去），每次抽一张，小李抽到红牌记一分，小华抽到黑牌记一分，
否则不计分，若使比赛公平，小明拿走的 10 张牌中应有几张为红牌？
36、从 1、2、…、100 中任取一数，它既能被 4 整除，又能被 6 整除的概率是多少？
37、一套五卷《二十五史故事丛书》，随机地放在书架上，求各册自左到右或自右到左恰好
成 1，2，3，4，5 的顺序的概率。
38、在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个 9 位数，让参与者猜商品价格，被猜的
价格是一个 4 位数，也就是这个 9 位数中从左到右连在一起的某 4 个数字，如果参与者
不知道商品的价格，从这些连在一起的所有 4 位数中，任意猜一个，求他猜中商品价格
的概率。
39、有一个“摆地摊”的赌主，他拿出 3 个白球，3 个黑球，放在一个袋子里，让人摸球中
奖，只要交两元钱就可以从袋里摸 3 个球，如果摸到的 3 个球都是白球，可以得到 10
元的回报，请你计算一下中奖的概率，并估算一下，如果有 1000 名学生每人摸一次，
赌主将从同学身上骗走多少钱？
40、在目前微电子制造技术下，已能够在 700 平方毫米的芯片上集成 10 亿个元件，一个这
样的元件大约占________平方毫米.
41、一袋子中装有一个红球和一个白球，每个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，
记下颜色后放回袋中，摇匀后再从袋中任意摸出一球，则两次都是颜色相同的球的概率
是多少？与“任意掷一枚硬币两次，两次朝上的面相同”的概率一样吗？
1、 某公司用 480 万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金 1520 万元购买生产设备，
进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费 40 元，经过市场调研发现：
该产品的销售单价定在 100 元到 300 元之间较为合理．当销售单价定为 100 元时，年销
售量为 20 万件；当销售单价超过 100 元，但不超过 200 元时，每件产品的销售价格每
增加 10 元，年销售量将减少 0.8 万件；当销售单价超过 200 元，但不超过 300 元时，每
件产品的销售价格在 200 元的基础上，每增加 10 元，年销售量将再减少 1 万件．设销
售单价为 x（元），年销售量为 y（万件），年获利为 w（万元）．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利 w 与 x 之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢
利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈
利不低于 1842 元，请你确定此时销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，
销售单价应定为多少元？
⑴∴y=- 2
25 x+28(100≤x≤ 200) y= - 1
10 x+32(200＜x≤300）．
⑵投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为 78 万元．
（3）两年的总盈利不低于 1842 万元，可见第二年至少要盈利 1842+78=1920 万元，既
然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那 2000 万元了．
第二年：
100≤x≤200 时 第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）2+1922≥1920 解不等式得到：
190≤x≤200 200≤x≤300 时
第二年盈利=xy-40y=-0.1（x-180）2+1960≥1920
解不等式得到：160≤x≤200，联合 200≤x≤300，也就只有 x=200 综上有 190≤x≤200 为解
这时候再看 y=-0.08x+28，可见 x=190 时，y 最大，为 12.8
所以定价 190 元时候，销售量最大．
2、北国超市怀特店经销一种销售成本为每件 40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件
50 元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 5 元，每周销量就减少 50 件．设销售
单价为 x 元（x≥50），一周的销售量为 y 件．
（1）写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，使得一周销售利润达到 8000 元，
销售单价应定为多少？
⑴y=500-10（x-50）=1000-10x（50≤x≤100），
⑵由题意得：（x-40）（1000-10x）=8000， -10x2+1400x-40000=8000，
10x2-1400x+48000=0， x2-140x+4800=0， 即（x-60）（x-80）=0，
x1=60，x2=80，
当 x=60 时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000＞10000 不符合要求，舍去．
当 x=80 时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000＜10000 符合要求．
销售单价应定为 80 元，才能使得一周销售利润达到 8000 元的同时，投入不超过 10000
元．
3、某网店以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售，每月可售出 300 件．调
查表明：单价每上涨 0.5 元，该商品每月的销售量就减少 5 件．
（1）请写出每月销售该商品的利润 y（元）与单价上涨 x（元）间的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
（3）若该网店每月要扣除 200 元的固定成本，问它每月能获得 6000 元的利润吗？请说
明理由．
（1）y==-10x2+100x+6000；（2）当 x=5 时，y 有最大值，其最大值为 6250，
即单价定为 85 元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为 6250 元．（3）6050 元
4、将多项式 x2+4 加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：
_______、_______、_______． 4x；-4x； 1
16 x4
5、多项式 x2+mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值是________。 ±8
6、观察下列单项式，2x，-5x2，10x3，-17x2，…根据你发现的规律写出第 5 个式子是________；
第 n 个式子是__________ 26x2 （-1）n+1（n2+1）xn
答案：1、4×10-6 2、37.5≤x≤38.4 3、1.4×10-3；1.4×10-3；火柴盒 4、乙获
胜 5、 6、15 7、略 8、1
2
；1
4
9、A 10、19
21
；1
30
11、B 12、
5
36
；1
6
13、2；3 14、7.1×102 15、公平；1
3
16、D 17、1.5×1010；
42 18、B 19、2.23×104；百亿 20、a=2；n=3 21、D 22、648.0
23、1
6
24、 7
16
25、1
3
26、6%；36 27、⑴ 1
27
⑵17
27
28、1.32×107；2.5
×10-8 29、2.10×108 30、6×104 31、1.5×10-11 32、D 33、 2
2450
34、1
4
35、5 36、 2
25
37、 1
60
38、1
6
39、1
20
；1500 40、7×10-7
三角形
一、全等三角形的基本性质 B
1、如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且∠B=∠C，则
在下列条件中无法判定△ABE≌三角形 ACD 的是（ ） D
A、AD=AE B、BE=CD
C、∠AEB=∠ADC D、AB=AC A E C
2、如图，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于点 E，BD 交 CE 于点 O， A
且 AE=AD，则图中全等三角形的对数为（ ） E D
A、6 对 B、5 对 C、4 对 D、3 对 O
B C
3、下列命题中，不正确的是（ ）
A、锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 90°；B、三角形中至少有两个锐角；
C、有一个角是锐角的三角形是锐角三角形； D、三角形中至少有一个角小于 90°
4、下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判断全等，那么一定也可以依据“ASA”
来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也全等；
③要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等；其中正确的是（ ）
A、①和② B、②和③ C、①和③ D、①②③
5、对于两个图形，给出下列结论：⑴两个图形的周长相等；⑵两个图形的面积相等；⑶两
个图形的周长、面积都相等；⑷两个图形的形状相同，面积也相同。其中能得到这两个
图形全等的结论共有（ ） [A ⑷ ]
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
6、如图，AB//CD 且 AB=CD，△ABE≌△CDE 的根据是（ ） A B
A、只能用 ASA B、只能用 SAS E
C、只能用 AAS D、用 ASA 或 AAS
C D
7、在△ABC 和△DEF 中，①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；
⑥∠C=∠F。则下列哪组条件中不能保证△ABC≌△DEF
A、具备①②④ B、具备①②⑤ C、具备①⑤⑥ D、具备①②③
8、下列说法正确的是（ ）
A、两边和一角对应相等的两个三角形全等； B、面积相等的两三角形全等；
C、有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等；
D、有两角和一边对应相等的两个三角形全等。
答案：1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、D 7、A 8、D
二、根据已知条件求证两个三角形全等，从而证明所要证的线段相等、垂直或平行；角相等、
度数或直角
1、如图所示，A、E、F、C 四点在一条直线上，AE=CF， B
过 E、F 分别作 DE⊥AC，BF⊥AC，若 AB=CD，
试说明 FG=EG A E G F C
D
2、如图，已知：AD⊥BD，AC⊥BC，AD=BC， D C
你能说明 AC 与 BD 的关系吗？ O
A B
3、如图，E，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上两点， D C
AD//BC，AB//CD，AE=CF，试说明 F
⑴△ABE≌△CDF；⑵BE//DF. E
A B
4、两块完全相同的三角形纸板 ABC 和 DEF，按如图所示的方式叠放，四边形 B（E）FOC
为重叠部分，点 O 为边 AC 和 DF 的交点。不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等？
为什么？ B(E)
F C
O
A D
5、已知 AB=AC，点 D、E 分别在 AC、AB 上，AF⊥CE， A
AG⊥BD，垂足分别是 F、G，AF=AG
求证：⑴∠B=∠C；⑵求证：AD=AE E D
F G
B C
6、如右图，BE 是△ABC 的高，F 是 A
AB 上一点，P 为 BE 延长线上的一点， P
Q 为 CF 上的一点，△PAB≌△AQC，
则 AP 与 AQ 有怎样的位置关系？ F E
请说明理由。 Q
B C
7、如图，已知 AB⊥AC，AB=AC，AD=AE，BD=CE。 C
问 AD 与 AE 的位置关系？说明理由。
D
B A
E
A
8、如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点， F
过 D 点的直线 GF 交 AC 于点 F，交 E
AC 的平行线 BG 与 G 点，DE⊥DF B
交 AB 于点 E,连接 EG，EF。 B D C
⑴求证：BG=CF；
⑵请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。
G
答案：略
三、需要添加辅助线
1、已知如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°， A
D 是 AC 上一点且 AE⊥BD，交 BD 的延长线于 E， E
又 AE=1
2 BD，求证：BD 是∠ABC 的平分线 D
C B
2、如图，E 为 AD 的中点，BE 平分∠ABC 且 AB+CD=BC. A E D
求证：CE 平分∠BCD。
B C
3、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，G 是 BC F
的中点，过 G 作直线平行于 AD，分别交 AB 和 CA 的延长 E A
线于 E 和 F。求证：BE=CF=1
2
(AB+AC)
B G D C
4、如图 A，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC 为 120°的等腰三角形，以 D 为顶点作
一个 60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于 M，N 两点，连接 MN.
⑴线段 BM，MN，NC 之间的关系，并加以证明。
⑵若点 M，N 分别是射线 AB，CA 上的点，其他条件不变，再探线段 BM，MN，NC 之间的
关系，在图 B 中画出图形，并说明理由。
A A
N
M
B C B C
D D
( A ) ( B ) A
答案：1、延长 AE 交 BC 的延长线于 G，求证△AGC 和△BCD 全等，由此得出 AE=EG，
再证△ABE 和△BEG 全等。 2、在 BC 取点 F，使 BF=AB，由此△ABE 和△EBF 全等，
得 AE=ED=EF，再证△EFC 和△EDC 全等。 3、延长 EG 到 H，使 EG=GH，证△EGC
和△BGH 全等，得 EC=BH，再证△AEF 和△BEH 是等腰三角形，得 AF=AE，BE=BH。
4、延长 AC 到 E 使 CE=BM，因为∠ABC 和∠ACD 是直角三角形，由此证△BMD 和△DCE
全等，再证△DMN 和△DEN 全等，得 MN=NE=NC+CE=NC+BM。
四、利用正方形、长方形、等边三角形、等腰直角三角形、三角尺等有关图形的基本性质：
1、如图，在正方形 ABCD 中，点 G 为 BC 上任意一点， D C
连 AG，过 B、D 两点分别作 BE⊥AG,DF⊥AG,
垂足分别为 E、F 两点，求证：△ADF≌△BAE.
E G
F
A B
2、如图，在长方形 ABCD 中，F 是 A D
BC 边上的一点，AF 的延长线交
DC 的延长线于点 G，DE⊥AG 于点 E， E
且 DE=DC，根据上述条件， B F C
请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。 G
3、如图，已知△ABC 为等边三角形， A
D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，
且△DEF 也是等边三角形。除已知 E
相等的边以外，请你猜想还有哪些
相等线段，并证明你的猜想是正确的。 F
B D C
4、△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE、BD 分别与 E
CD、CE 交于点 M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB； D
②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是： M N
A、3 B、2 C、1 D、0
A C B
5、如图已知△ABC 和△CDE 是两个等腰直角三角形， B
连接 AD，并延长 AD 交 BE 于 F。
求证：AF⊥BE F
D
E C A
6、如图，已知：Rt△ABC 中，∠C=90° B
AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点 D
与斜边 AB 的中点 M 重合，当三角尺 M
绕着点 M 旋转时，两直角边始终保持分别
与边 BC、AC 交于点 D，E 两点（D，E 不与 C E A
B，A 重合）。⑴求证：MD=ME;
⑵求四边形 MDCE 的面积。
7、已知∠AOB=90°，OM 平分∠AOB，将一块直角 A M
三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别
与边 OA、OB 交于点 C、D，则线段 PC 与 PD 相等吗？ P
为什么？ C
O D B
答案：1、略 2、△ABE 和△DEG 3、AE=CD=BF；AF=EC=DB。
4、B 5、证明△ACD 和△BCE 全等，得∠CAF=∠EBC，∠BDF=∠CDA，所以∠BCA=
∠BFA=90° 6、过点 P 分别作 OA、OB 的垂线。
五、利用两个三角形全等来证或求
1、已知如图，在△ABC 中，∠BCA=90°，EF⊥AB 于 F， C
CD⊥AB 于 D，∠BEF=∠CDG,BF=DG,若 BC=12，AD=5
求证：⑴DG//BC, ⑵求 CE 的长 E
G
B F D A
六、中线的利用
1、如图，在△ABC 中，AD 是中线，AB=9,AC=7， A
AD 的长度的取值范围是________.
B D C
A
2、已知如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，
求证 AB+AC﹥2AD
B D C
答案：1、8＞x＞1 2、略
七、平分线的利用
1、在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A 的平分线 AD 分 BC 为 3 ㎝和 5 ㎝，则点 D 到直线 AB 的距
离是___________.
2、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB，△ABC A
的面积为 36，BC=12，AB=18，DE 的长为______. E D
B C
3、如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C， A
求证：AB+BD=AC.
B D C
4、如右图，AD 是△ABC 中∠BAC A
的平分线，DE⊥AB，垂足为 E，
DF⊥AC，垂足为 F，S△ABC=7，DE=2， E F
AB=4，则 AC 长是（ ）
B D C
5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AF 是角平分线，交 CD 于点 E，
求证: 1 2.
6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线， B
BE=CF，则下列说法中正确的有（ ） E
①AD 平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD=CD； A D
④AD⊥BC
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 F
A C
7、如图所示，OA 平分∠BAC，∠1=∠2，
求证：△ABC 为等腰三角形。
O
1 2
B A C
8、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 ㎝，BC=8 ㎝，将直角边 C
AC 沿直线 AM 折叠，使点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 N， M
BN=4 ㎝，求 CM 的长。
B N A
9、如下图，已知点 O 到△ABC 的两边所在直线的距离相等，且 OB=OC，
⑴如图⑴，若点 O 在边 BC 上，试说明 AB=AC. A A
⑵如图⑵，若点 O 在△ABC 的内部，求证：AB=AC
E F O
B O C B C
⑴ ⑵
答案：1、3 2、2.4 3、在 AC 上截取 AE=AB，证明△ABD≌△ADE，∴BD=DE，证
明△EDC 是等腰三角形，∴BD=DE=EC。 4、3 5、略 6、D 7、过 O
分别作 AB、AC 的垂线 8、AB=6+4=10，设 CM=x，则1
2
×6×8=1
2
×10×x+1
2
×6
×x，得 x=3 9、略
八、度数的利用
1、如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠A、∠C 的平分线 A
AD、CE 交于点 F，试猜想 AE、CD、AC 三线段
之间有怎样的数量关系，并加以证明。 E
F
B D C
2、如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高 AD 和 A
BE 的交点，CD=4，则线段 DF 的长度是多少？
E
F
B D C
答案：1、在 AC 上截取 AG=AE，证明△AEF≌△AFG,∴AE=AG，在△DCF 和△GFC 中，∠DFC=1
2
∠A+1
2
∠C=1
2
（180°-60°）=60°=∠AFE=∠AFG，∴∠GFC=180°-60°-60°=60°∴△DCF
≌△GFC ∴CD=CG，∴AC=AG+GC=AE+CD 2、∵∠ABC=45° AD⊥BC ∴AD=BD 证明△ADC
和△BFD 全等，得 DF=CD=4
九、等量代换
1、如右图，在△ABC 中，∠C＞∠B，AD⊥BC 于 D， A
AE 平分∠BAC,求证：∠EAD=1
2
(∠C-∠B)
B E D C
2、在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点， A
BF=CD，CE=BD，求证：∠EDF=90°－1
2
∠A。 F
E
B D C
3、如右图，BP 平分∠ABC 交 CD 于 F, A D
DP 平分∠ADC 交 AB 于 E，若∠A=38°， E
∠C=46°，求∠P 的度数。 P
F
C B
4、如右图，△ABC 中，∠ABC 的平分线 A
与∠ACE 的平分线交于 D,则∠D 与∠A D
之间有何关系？
B C E
答案：1、∠EAD=1
2
∠A-∠DAC=1
2
（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=1
2
∠C-1
2
∠B 2、
略 3、42° 4、∠A=2∠D
十、其他方面
1、满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）
A、∠B+∠A=∠C B、∠A: ∠B:∠C =2：3: 5
C、∠A=2∠B=3∠C D、一个外角等于和它相邻的一个内角
2、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC:BC:AB=3:4:5，且△ABC 的周长是 12 ㎝，则边 AB 上
的高的长是______㎝。
3、在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 上的点，AE=2CE,BD=2CD,AD、BE 交于点 F，若
S△ABC=3，则四边形 DCEF 的面积为多少？
4、如下图，它是由 6 个面积为 1 的小正方形组成的矩形， 点 A、B、C、D、E、F、G 是小正
方形的顶点，以这 7 个点中的任意三个点为顶点，可组成______个面积为 1 的三角形，
请写出所有这样的三角形 A B
C
D E F G
5、如右图，E 为△ABC 内的一点， A
试说明 AB+AC＞EB+EC
E
B C
6、已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足关系式|2a-b-1|+a2=4(a-1)，c 为偶数，则 c=_____
7、如图所示是小敏用 10 个全等的
小长方形纸片拼成的这个大长方形
的宽为 50 ㎝，试求一个小长方形 50 ㎝
的面积。
8、小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是 4,9,12，如何求这个三角形的面积？
小明提示说：“可通过作最长边上的高来解。”小华根据小明的提示作出的图形正确的是
（ ）
A B C D
9、若三角形的三个外角度数之比为 2:3:4，则这个三角形的三个内角度数之比为_________.
10、如图，在△ABC 中，∠BAC=2∠B，AB=2AC， C
求证：△ABC 是直角三角形。
B
A
11、画△ABC，使∠B=45°，∠C=30°，BC=6 ㎝。（不写作法，保留作图痕迹）。
12、在△ABC 中，AB=AC，中线 BE 分△ABC 的周长为 12 ㎝、9 ㎝两部分，则它的各边长
为____________. （8,8,5 或 6,6,9）
13、如果五条线段长分别为 2 ㎝，4 ㎝，5 ㎝，6 ㎝，7 ㎝，则任选其中三条可组成三角形的
共有_______ 种不同选法。 （7）
14、一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B=20°， D
∠D=30°，请你帮李叔叔想个办法判断这个零件是否合格，
并向李叔叔解释其中的道理。 C
A B
15、如图，有一块三角形的土地，现在要求过三角形的某个顶点画一条线段，
将它的面积平均分成两份，你认为这条线段如何画？为什么？
16、在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 是 AC 的中点，DG⊥AC 交 AB 于点 G.
⑴如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连接 EF 与 CE，过点
F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H。求证：①DG=DC；②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明。
⑵若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，⑴中的其他条件不变，借助图
2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断在⑴中得出的结论是否发生改
变，
B B
H
G G
F
A D E C A D C E
图 1 图 2
17、如图，四边形 ABCD 中，AD=4 ㎝，CD=3 ㎝，AD⊥CD， C B
AB=13 ㎝，BC=12 ㎝，求四边形 ABCD 的面积。 D
A
答案：1、C 2、2.4 3、略 4、15 5、延长 BE 交 AC 于 F，在△ABF 中，
AB+AF＞BF ① 在△EFC 中，FC+EF＞EC ② ①+ ② 得 AB+AC＞EB+EC
6、4 7、400 8、C 9、5:3:1 10、略 11、略 12、8；8；5
或 6；6；9 13、7 14、∠BCD=180°-（180°-90°-20°-30°）=140°，测量∠
BCD 是否等于 140° 15、过三角形的一个顶点作它对边的中线 根据等底同高的三角
形的面积相等 16、①△ADG 是等腰三角形，所以 AD=DG 又∵D 是 AC 的中点，∴
DG=DC②FH=FC ∵DG=DC DE=DF ∴FG=EC 证△FGH≌△FEC 略 17、36
变量之间的关系
1、 长途汽车公司规定旅客可随身携带一定重量的行李， y(元)
如果超过规定，则需要购买行李票，行李费 y（元） 10
与行李重量 x(千克)的关系如图所示，由图像可知，
旅客可免费携带的最大重量是_______千克行李， 6
当行李超过规定重量时，变量 y 与 x 的关系式是 y=____
0 30 60 80 x(千克)
2、如图是汽车行驶路程与时间的关系图，分别计算 2 时内、 路程/km
3 时内、6 时内该汽车的平均速度，得_________、 160
__________、___________。 120
100
80
40
1 2 3 4 5 6
3、我国是一个严重缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水，据测算，拧不紧的水
龙头每秒钟滴下 2 滴水，每滴水约 0.05 毫升，小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，
当小明离开 x 小时后水龙头滴下了 y 毫升水，试写出 y 关于 x 的关系式__________.
4、已知动点 p 以每秒钟 2 ㎝的速度沿图甲的边框从 B C D E F A 的途径移动，
相应的△ABP 的面积 S 与时间 t 之间的关系如图乙中的图像表示，若 AB=6 ㎝，试回答
下列问题：⑴图甲中的 BC 长是多少？
⑵图乙中的 a 是多少？ ⑶图甲中的图形面积是多少？
⑷图乙中的 b 是多少？ S（㎝ 2）
A F
a
D E
B C
甲 O 4 6 9 b t (秒)
图乙
5、生态公园计划在院内的坡地上造一片有 A、B 两种树的混合林，需要购买这两种树苗 2000
棵，种植 A、B 两种树苗的相关信息如下表： 项目 单价 成活率 劳务费
设购买 A 种树苗 x 棵，造这片树林的总费用 品种 （元/棵） （元/棵）
为 y 元，解答下列问题： A 15 95% 3
⑴写出 y(元)与 x（棵）之间的函数关系式； B 20 99% 4
⑵假设这批树苗种植后成活 1960 棵，则造这片林的总费用需多少元？
6、烧一壶水，假设冷水的水温为 20℃，烧水时每分钟可使水温提高 8℃，烧了 x 分钟后水
壶内的水温为 y℃，当水开时就不再烧了。Y 与 x 的关系式为_________，其中自变量是
________,它应在________变化。 （0——10℃）
7、2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生 8.0 级大地震，我解放军某部队火速赶往灾区，最初
坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为
了尽快赶到灾区救援，官兵们下车匀速步行前进，则这一过程中官兵们行进的路程 s（千
米）与行进时间 t（小时）的图像大致是（ ）
A B C D
8、小李驾驶汽车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回 b 千米（b
＜a），再前进 c 千米，则他离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是（ ）
s s s s
O t O t O t O t
A B C D
9、某校办工厂现在年产量是 15 万元，计划以后每年增加 2 万元。
⑴写出年产值 y（万元）与年数 x 之间的关系式。
⑵用表格表示当 x 从 0 变化到 6（每次增加 1）时 y 的对应值。
⑶求 5 年后的年产值。
10、某移动通讯公司提供了 A、B 两种方案的通讯费用 y/元 A B
y（元）与通话时间 x（分）之间的关系，如图所示， 70
则下列说法错误的是（ ） 50
A、若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元 30
B、若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜
C、若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多 120 170 200 250
D、若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分
11、下面说法正确的是（ ） （B）
A、两个变量间的关系只能用关系式表示；
B、图像不能直观的表示两个变量间的数量关系；
C、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况；
D、以上说的都不对
12、汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路线，在自身动力不变的情况下，
上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，下面的图像（如图）
表示了一辆汽车在山区行驶过程中的速度随时间变化的情况。
⑴汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上花费时间最长？
⑵用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况，包括遇到的山路，在山路上的速度变化
情况等。
速度（千米/小时）
80 E F
70 B C H I
60
50
40 D G
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 时间/小时
13、设路程是 s（㎞），速度是 v（㎞/h），时间是 t(h),当 s=50 时，t = 50
v
，在这关系式中（ ）
A、路程是不变量，t 是 s=50 的关系式 B、速度是不变量，t 是自变量
C、时间和速度是变量，t 是自变量，v 是因变量
D、时间和速度是变量，v 是自变量，t 是因变量
14、行驶中汽车油箱中的存油量随汽车行驶路程的增加而减少，其中______是自变量，_____
是因变量。
15、小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会和，已
知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的 2 倍，小颖在小亮出发后 50 分
才乘上缆车，缆车的平均速度为 180 米/分，设小亮出发 x 分后行走的路程为 y 米。图
中的折线表示小亮在整个行走过程中 y 随 x 的变化关系
⑴小亮行走的总路程是______米， y/米
他在途中休息了_____分 3600
⑵当小颖到达缆车终点时，
小亮离缆车终点的路程是多少？ 1950
O 30 50 80 x/分
答案：1、30；y=1
5
（x-30） 2、50；100
3
；80
3 3、y=360x 4、⑴8；⑵24；⑶60；
⑷17 5、⑴y=48000-6x；⑵45000 6、y=20+8x；0 到 10 分钟 7、C 8、C
9、略 10、D 11、C 12、⑴2；3；AB 段；⑵略 13、D 14、行驶路程；
存油量 15、⑴3600；20；⑵1090
生活中的轴对称
1、如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 往下对折，接着将对折后的纸片沿虚线 CD 向下对
折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开以后的展开图是（ ）
A A
C D C D
B B B(A)
A B C D
2、如图，在 3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，
再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个
轴对称图形的方法有________种。
3、有英文大写字母：K，W，S，X，Y，Z，U，E，左右对称为轴对称图形的字母有_____.
(W、X、Y、U)
4、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A、线段 MN B、等边三角形 ABC C、钝角∠ADB D、直角三角形
5、下列说法中正确的有（ ）
①角的两边关于角平分线对称； ②两点关于连接它的线段的中垂线对称；
③成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称；
④到直线 L 距离相等的点关于 L 对称
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
6、小明于星期天上午在家复习功课，不知不觉半天过去了，猛抬头看到镜子中后墙上挂钟
已是 1 点 20 分了，急忙放下手中的笔，准备去吃午饭，请问这是实际时间为_______.
7、纸条上写有 A，B，C，D 四个大写字母，手拿纸条正对镜子，镜子中的几个字母与原来
完全一样的有（ ）
A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个
∧
8、将写有“∧∧”字的纸片倒置且与镜面垂直放置，且把“∧∧”放在靠近镜面的部位，
∧
则“∧∧”在镜子中的像是（ ）
∨ ∨∨ ∧ ∧∧
A、∨∨ B、∨ C、∧∧ D、∧
9、如图，四边形 EFGH 是一长方形的弹子球台面，有黑、白两球 H G
分别位于 A、B 两点。 ⑴试问：怎样撞击黑球 A，使黑球 A ·A
先碰撞台边 EF 反弹后再击中白球 B？⑵怎样撞击黑球 A，使 ·B
黑球先碰撞台边 GH 反弹后再碰撞台边 EF，最后击中白球 B？ E F
10、如图，在铁路 L 同侧有两个工厂 A 和 B，要在铁路上修建一个 ·B
货物周转站 C，使周转站 C 到 A、B 两工厂的距离相等，试用 ·A
作图的方法确定 C 的位置，并说明理由。 L
11、如图，在△ABC 中，∠A 的平分线 AE 与 BC 的垂直平分线 A
DE 交于点 E，过点 E 作 EN⊥AB,EM⊥AC，垂足分别为点 N、M.
⑴BN 与 CM 是否相等？请说明理由。
⑵若 AB=a,AC=b,求 AN、BN 的长 N D C
B M
E
N
12、如图，AB 是线段,M，N 是 AB 异侧的两点，且有 MA=MB， A B
NA=NB，则线段 AB 与 MN 的位置关系是_______.
M
13、等腰三角形的周长为 17 厘米，一条边长为 7 厘米，则这个等腰三角形的底边为___厘米。
14、等边三角形 ABC 的周长为 6，BD 是中线，E 在 BC 的延长线上，且∠DEC=30°，则 BE 的
长是________.
15、如果一个三角形的一个外角的角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形一定是（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 (C)
16、如图所示，在△ABC 中，AB=AC，BF=CD，BD=CE， Ａ
则∠FDE=a，则下列结论正确的是（ ）
Ａ、２ａ＋∠Ａ=１８０° Ｂ、ａ＋∠Ａ=９０° Ｆ
Ｃ、２ａ＋∠Ａ=９０° Ｄ、ａ＋∠Ａ=１８０° Ｅ
Ｂ Ｄ Ｃ
17、如图是等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上爬行 A
（A，C 端点除外），设甲虫 P 到另外两边的距离
之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h，则 d 与 h 的 ·P
大小关系是（ ）
A、d＞h B、d＜h C、d=h D、无法确定 B C
18、如图，已知线段 a，h 作等腰△ABC，使 AB=AC， a
且 BC=a，BC 边上的高 AD=h，张红的作法是： h
⑴作线段 BC=a；⑵作线段 BC 的垂直平分线 MN，
MN 与 BC 相交于点 D；⑶在直线 MN 上截取线段 h； N
⑷连接 AB，AC，△ABC 为所求的等腰三角形。上述 A
作法的四个步骤中，有错误的一步是（ ）
A、⑴ B、⑵ C、⑶ D、⑷ B D C
N
19、如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC， A
CE 平分∠ACB，连接 ED，则图中的等腰三角形有（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12 E D
B C
20、如图所示，的五角星中有等腰三角形
的个数是（ ） B G F E
A、5 B、8 C、10 D、15 H N
C D
21、在剪纸中，如果所用的纸张对折了 n 次，（n≥1 且 n 为整数），则剪出来的图案至少有
_______条对称轴，
22、如图，在三条道路交叉的三角地 M 处建造一个加油站，
要使加油站中心到三边的距离（若是到三个交叉路口
的距离）相等，请你作出这个中心位置。
23、△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 中垂线交 BC 于 E，则 BE:BC=_______.
24、△ABC 的边 AC、BC 的中垂线交于 AB 上一点 O，且 OC=BC，则∠A=_______.
25、在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50°，则底角 B
的大小为 _________(70°或 20°)
A
26、如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点
落在小正方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形
的顶点上，且与△ABC 成轴对称的三角形共有（ ）
A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个 B C
27、如图，已知甲、乙、丙三人正在做接力游戏，开始时，
甲站在∠AOB 内的 P 点处，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上， A
游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙， M P
最后丙跑至终点 P 处，如果甲、乙、丙三人的速度相同， O
试作图找出乙、丙站在何处时，他们比赛所用的时间最短。 N B
(点 M 和 N)
28、有特大城市 A 及两个小城市 B、C，现三个城市要共建一个飞机场， ·B
使得飞机场到 B、C 两城市的距离相等，且使 A 市到飞机场 ·A
的距离最近，试确定飞机场的位置。 ·C
29、如图，有三条道路相交于 A、B、C 三点，要在这三条公路旁边 C
建造一个加油站，使它到三条公路的距离相等，
则满足条件的加油站有______个。
A B
30、如图 a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则
图 c 中的∠CFE 的度数是_______.
D
A E D A E A E C
B F C B G F C B G F
图 a 图 b 图 c
D
答案：1、D 2、5 3、W X Y U 4、D 5、C 6、10：40 7、A 8、C
9、略 10、连接 AB，作 AB 的中垂线于 L 的交点就是 11、略 12、垂直 13、3
14、3 15、C 16、A 17、C（过 A 作 BC 的高 AD，过 P 分别作 AD、AB、BC 的垂线
交 AD 于 E，交 AB 于 F，交 BC 于 G，证明△AEP≌△AFP 18、C 19、D 20、C
21、2n-1 22、到三边距离相等：三个角的平分线的交点；到三个交叉路口的距离相等：
三条边的垂直平分线的交点。 23、1:3 24、30° 25、70° 26、A 27、
见题图 28、连接 BC，做 BC 的垂直平分线 m，过 A 作直线的垂线与直线 m 的交点就是
29、4 30、120
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