18.2.2 矩形
【知识点】
1 菱形的定义：一组____________相等的________________叫做菱
形.
2 菱形的性质：（1）菱形的四条边____________________.
（2）菱形的对角线互相___________________，并且每条对角线平分
一组____________________.
3 菱形的判定：（1）一组邻边相等的________________是菱形;
（2）____________________的平行四边形是菱形;
（3）____________________的四边形是菱形.
【例题讲解】
例 1 如图，在菱形 ABCD 中，E,F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 AE＝CF.
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB 的度数.
例 2 如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若 BE= 3 ，∠C＝60°，求菱形 ABCD 的面积.
例 3 如图，BD 是△ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 AB，BC 上，且 ED∥BC，
EF∥AC.
（1）求证：BE＝DE；
（2）当 AB＝AC 时，试说明四边形 EFCD 为菱形.
【举一反三】
1 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝3，当四边形 BFEC 是菱形时，求 AF
的长.
2 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，周长是 8 cm. 求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积.
3 如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上
的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处.
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）当∠BAE 为多少度时，四边形 AECF 是菱形？请说明理由.
【知识操练】中位线定理
1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论：①AC⊥BD；
②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC 是等边三角形；其中一定成立的是
（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
2 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC,BD 的长分别为 8 cm，6 cm，则这个菱形
的周长为（ ）
A. 10 cm B. 14 cm C. 20 cm D. 28 cm
3 菱形 AOCB 在平面直角坐标系中的位置如图，若 OA=2，∠AOC=45°，则点
B 的坐标是（ ）
)2,22()2,22(
)2,22()2,22(
DC
BA
4 如图，在菱形 ABCD 中，E,F 分别是 AB,AC 的中点，如果 EF=2，那么菱形
ABCD 的周长是（ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
5 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 边 长 为 4 ， ∠ ABC=60 ° ， 则 对 角 线 AC 的 长 是
__________________.
6 如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点 A
和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C，D，则直线 CD
即为所求. 根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是
（ ）
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 平行四边形
7 如图，要使平行四边形 ABCD 变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A. AC＝BD B. AD＝BC
C. AB＝CD D. AB＝BC
8 已知四边形 ABCD 中，AC⊥BD，再补充一个条件使得四边形 ABCD 为菱形，
这个条件可以是（ ）
A. AC＝BD B. AB＝BC C. AC 与 BD 互相平分 D. ∠ABC＝90°
9 如图，将△ABC 沿射线 BC 方向平移得到△DCE，当△ABC 满足条件
____________（填一个条件）时，能够判定四边形 ACED 为菱形.
10 如图，将两条宽度都为 3 的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形
ABCD 的面积为________.
11 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点，
请你在△ABC 中添加一个条件：____________________，使得四边形 AEDF 是
菱形.
12 如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°. 两条对角线 AC,BD 相交于点 O. 若
DB＝4，求 AC 的长.
13 如图，菱形 ABCD 的周长为 24，一条对角线 AC 的长为 8，则菱形 ABCD 的
面积为__________________.
14 已 知 菱 形 的 两 条 对 角 线 长 分 别 为 2cm ， 3cm ， 则 它 的 面 积 是
__________________cm2.
15 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＝ 32 ，BD＝2，
菱形边上的高 DE 长为________________.
16 如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接 OE. 求
证：OE=BC.
17 如图 18-18-15，在矩形 ABCD 中，AB=4 cm，BC=8 cm,点 P 从点 D 出发向点
A 运动，同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，点 P,Q 的速度都是 1 cm/s．
（1）在运动过程中，存在某一时刻使得四边形 AQCP 是菱形，那么经过多少秒
后，四边形 AQCP 是菱形？
（2）在（1）的条件下，分别求出菱形 AQCP 的周长、面积．
18 如图，四边形 ABCD 是平行四边形,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点 E，F,且
BE＝DF. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
19 四边形的四条边的长顺次为 a,b,c,d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边
形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
20 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线， DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交
AC 于点 F. 求证：AD⊥EF.
21 如图，在平行四边形 ABCD 中，AF 是∠BAD 的平分线，交 BC 于点 F，与
DC 的延长线交于点 N. CE 是∠BCD 的平分线，交 AD 于点 E，与 BA 的延长线
交于点 M.
（1）试判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由；
（2）若 BE⊥ME，证明四边形 ABFE 是菱形.
22 如图,在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过
点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）求证：四边形 ADCF 是菱形；
（3）若 AC=4，AB=5，求菱形 ADCF 的面积.
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