六年级数学下册知识试题-“鸽巢原理”（一）

小学数学 “鸽巢原理”（一） 知识梳理 把 4 本书放进 3 个抽屉中，为什么不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 2 本书？ 方法一：枚举法 把 4 本书放进 3 个抽屉中，一共有上面 4 种情况，每种情况总有一个抽屉里至少放进 2 本书。 方法二：数的分解法 把 4 分解成 3 个数，如下图所示： 把 4 分解成 3 个数，共 4 种情况，每种情况分得的 3 个数中，至少有一个数是大于或等 于 2 的。 方法三：假设法 把 4 本书放进 3 个抽屉中，假设先在每个抽屉中放 1 本书，那么 3 个抽屉就放了 3 本书， 把剩下的 1 本书放入任何一个抽屉中，这个抽屉就有 2 本书了。 由此说明，把 4 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 2 本书。 1. 关键词解析 “总有”是一定要有的意思；“至少”是指最小的限度，可能比已知情况多，也可能与 已知情况相等。 2. “鸽巢原理”（一） （1）把 4 本书放进 3 个抽屉中，总有一个抽屉中至少有 2 本书。同理，把 5 本书放进 4 个抽屉中，总有一个抽屉中至少有 2 本书。…… 得出：只要放的书本数比抽屉的数量多 1，就总有一个抽屉中至少放进 2 本书。 （2）如果放的书本数比抽屉的数量多 2，也是总有一个抽屉中至少放进 2 本书。如果 放的书本数比抽屉的数量多 3，也是总有一个抽屉中至少放进 2 本书。…… 得出：把书放进抽屉中，只要放的书本数比抽屉的数量多，就总有一个抽屉中至少放进 2 本书。 总结：把个物体任意分放进 n 个“鸽巢”中（>，和是非 0 自然数），那么一定有一个 “鸽巢”中至少放进了 2 个物体。 例题 1 某小学有 367 名 2008 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？ 解答过程：2008 年是闰年，这年应有 366 天。把 366 天看作 366 个“鸽巢”，将 367 名小朋友看作 367 个物体。这样，把 367 个物体任意分放进 366 个“鸽巢”里，总有一个“鸽 巢”里至少放进 2 个物体。因此至少有 2 名小朋友的生日相同。 答：至少有 2 名小朋友的生日相同。 技巧点拨：制造“鸽巢”是正确运用原理解题的关键。 例题 2 11 名学生到老师家借书，老师的书房中有 A、B、C、D 四类书，每名学生最 多可借两本不同类型的书，最少借一本。至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 解答过程：列表找出借一本书和借两本不同类型的书的所有可能情况。 借一本书 A、B、C、D 4 种 借两本不同类型的书 AB、AC、AD、BC、BD、CD 6 种 合计 10 种 把这 10 种类型看作 10 个“鸽巢”，把 11 名学生看作 11 个物体，所以至少有两名学生 所借的书的类型完全相同。 答：至少有两名学生所借的书的类型完全相同。 技巧点拨：解答此题的关键是通过列表找到给定要求可能出现的情况总数。 例题 3 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？ 解答过程：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余数的这 三种情形看成是 3 个“鸽巢”。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个 “鸽巢”里。将四个自然数放入 3 个“鸽巢”，至少有一个“鸽巢”里放了不止一个数，也 就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。 技巧点拨：解答此题的关键是明确任意自然数除以 3 的余数只有 3 种不同的情况，即余 数是 0,1 或 2，且余数相同的两个不同自然数的差必定是 3 的倍数。 同步练习 （答题时间：15 分钟） 关卡 解决问题 1. 少年宫开办了语文、数学、英语、绘画这四个学习班,小林、小云、明明、军军、小芳 5 个人去参加学习，试说明至少有 2 个人在同一个学习班学习。 2. 任意调查 13 个人，其中至少有 2 人的属相是相同的。为什么？ 3. 今天上午上了 4 节课，分别是：语文、数学、英语、美术，并且每科都留了作业。现 在教室里有 5 名同学在做作业，试说明：至少有 2 名同学在做同一科作业。 4. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？ 5. 用红、蓝两种颜色将一个 2×5 方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂 一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 答案 关卡 解决问题 1. 将四个学习班看作 4 个“鸽巢”，将 5 个人看作 5 个“物体”，根据“鸽巢原理”（一） 可知，必有一个“鸽巢”放入 2 个“物体”。 所以至少有 2 个人在同一个学习班学习。 2. 把 12 个生肖看作 12 个“鸽巢”，任意调查的 13 个人，看作 13 个物体，根据“鸽巢 原理”（一）可知，至少有 2 个人的属相相同。所以至少有 2 人的属相是相同的。 3. 把语文、数学、英语、美术这四种作业看作 4 个“鸽巢”，5 名同学看作 5 个物体，根 据“鸽巢原理”（一）可知，至少有 2 名同学在做同一科作业。 4. 任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据“鸽巢原 理”（一），至少有一个“鸽巢”里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以 讨论。 第一种情形：有三个数在同一个“鸽巢”里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因 为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除。 第二种情形：至多有两个数在同一个“鸽巢”里，那么每个“鸽巢”里都有数，在每个 “鸽巢”里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之和能被 3 整除。 综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。 5. 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： 将上面的四种情形看成四个“鸽巢”。根据“鸽巢原理”（一），将五列放入四个“鸽巢”， 至少有一个“鸽巢”中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。