九年级数学人教版下册第二十七章相似综合知识点配套练习

第二十七章 相似 知识点 1：图形的相似 一、四条线段成比例相关性质： （1）基本性质：若 ， d c b a  则 bcad  ； 若 ）（ 0 bdbcad ，则 ， d c b a  . （2）其他有关性质： ①合比性质：若 ， d c b a  则 d dc b ba  或  .0, 均不为dcbadc c ba a  ②分比性质：若 ， d c b a  则  .0均不为，或 dcbadc c ba a d dc b ba   ③更比性质：若 ， d c b a  则  .0,,, 均不为或 dcbab d a c d b c a  ④等比性质：若 ， h g f e d c b a  则  0  hfdbb a hfgb geca 例 1：已知 8 3 b ba ，求 b a 的值. 例 2： .________,4 3   fdb eca f e d c b a 则 例 3： ， 432 zyx  则 ._______2  x zyx 随堂练习： 1.如果 x∶y＝2∶3，则下列各式不成立的是( ) A.x＋y y ＝5 3 B.y－x y ＝1 3 C. x 2y ＝1 3 D.x＋1 y＋1 ＝3 4 2.若a 4 ＝b 5 ＝c 6 ，且 a－b＋c＝10，则 a＋b－c 的值为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 3.若a＋2 3 ＝b 4 ＝c＋5 6 ，且 2a－b＋3c＝21.试求 a∶b∶c. 课后练习： 1.若a b ＝c d ≠0，那么下列等式成立的是( ) A.a＋b b ＝c＋b c B.a－c c ＝b－d b C.a＋c c ＝b＋d d D.a－c a ＝b－d d 2.已知y＋z x ＝x＋z y ＝x＋y z ＝k，则 y＝kx＋k 的图象一定经过的象限是( ) A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．一、三 3. 如图，已知AD BD ＝1 2 ，则AD AB 的值为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 4. 若 k＝a－2b c ＝b－2c a ＝c－2a b ，且 a＋b＋c≠0，则 k＝ . 5.已知a 5 ＝b 3 ＝c 4 ，则 a＋2b＋c 2a＋b＋2c ＝____. 6．已知 x∶y∶z＝3∶4∶5，且 x＋y－z＝6，则 2x－3y＋2z＝ . 二、相似多边形： 1.定义：①对应边成比例，②角分别相等 2.相似比：相似多边形对应边的比 例 1： 如图，已知在梯形 ABCD 中，EF∥AB∥CD，AB=9，CD=4，若 EF 把梯形分成的两个小梯形相似，求 EF 的长. 例 2：从一个矩形中剪去一个正方形，如图，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与 宽的比. 例 3：如图，小明有一个矩形相框，外框 ABCD 的长、宽分别是 20cm,14cm，边框的宽度为 2cm.矩形 ABCD 与矩形 EFGH 相似吗？若不相似，上、下边框的宽度与左、右边框的宽度满足 什么条件时，这两个矩形相似？ 例 4：阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似的感念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把 它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相 似比（a：b）． 设 S 甲、S 乙分别表示这两个正方体的表面积， 又设 V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积， （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A） A．两个球体 B．两个锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于______； ②相似体表面积的比等于______； ③相似体体积比等于______． 随堂练习： 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割比，则这个人好看， 如图，是一个参加空姐选拨的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（结果精 确到 1cm,参考数据：黄金分割比为 2 15  ， 236.25  ）. 课后练习： 一、选择题： 1、“相似的图形”是 ( ) A.形状相同的图形 B.大小不相同的图形 C.能够重合的图形 D.大小相同的图形 2、已知 a,b,c,d 四条线段依次成比例,其中 a=3 cm,b=(x-1) cm,c=5 cm,d=(x+1) cm,则 x 为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 3、下列说法中，错误的是( ) A．正六边形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似 4、从放大镜里看一个等腰三角形,以下说法错误的是 ( ) A.看到的三角形还是一个等腰三角形 B.看到的三角形各个角的度数都增大了 C.看到的三角形各个角的度数保持不变 D.看到的三角形各边长都增大了 5、与左图相似的图形是（ ） 6、在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （ ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的一样长 D．谁的影子长不确定 7、下列各组线段的长度成比例的是 ( ) A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm C.0.3 m,0.6 m,0.5 m,0.9 m D.20 cm,15 cm,36 cm,27 cm 8、若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（ ） A.94 ° B.55° C.66° D.87° 9、如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部 分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )． A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 10、如图，直线 a、b 被三条互相平行的直线 l1，l2，l3 所截，AB=3，BC=2，则 DE：DF=（ ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5 二、填空题： 11、某机器零件在图纸上的长度是 21mm，它的实际长度是 630mm，则图纸的比例尺是 。 12、一个 2 倍放大镜去看△ABC，则∠A 的大小___；面积大小为原来的___倍. 13、有一个多边形的边长分别是 4 cm,5 cm,6 cm,4 cm,5 cm,和它相似的一个多边形最长边 为 8 cm,那么这个多边形的周长是 . 14、小颖的妈妈为小颖缝制了一个长 50cm，宽 30cm 的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上一圈 宽 3cm 的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”，你 认为谁说得对？并说明你的理由（ ，___________________） 15、两个相似多边形的最长边分别为 10 cm 和 25 cm，它们的周长之差为 60 cm，则这两个 多边形的周长分别为 ． 三、解答题： 16、如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB＝4. (1)求 AD 的长； (2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比. 17、如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF 上取一点 M，分别以 EM、MF 为一边 作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似.令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的 面积 S 有最大值？最大值是多少？ 18、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点． (1)求证：AC2＝AB·AD； (2)求证：CE∥AD； (3)若 AD＝4，AB＝6，求AC AF 的值． 知识点 2：相似三角形 一、平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 例 1：如图，在ΔABC 中，EF//DC，DE//BC，求证： （1）AF︰FD＝AD︰DB； （2）AD2＝AF·AB。 例 2：小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立 1m 长的标杆测得 其影长为 1.2m，同时旗杆 的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得 其长度为 9.6m 和 2m，你能帮助小芳同学算出 学校旗杆的高度？ 例 3：如图，AB∥EF∥CD， （1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求 EF 的长。 （2）AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求 EF 的长。 练习： 1． 如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF＝1 2 FD，EF 交 AC 于 G，则 AG︰AC＝________。 A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 D.1 8 （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 2．如图，在△ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE＝1 4 AB，连结 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BC︰CD 为（ ） A．2︰1 B．3︰2 C．3︰1 D．5︰2 3．如图，直线 a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则 AE︰EC 为（ ） A．5︰12 B．9︰5 C．12︰5 D．3︰2 4．如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 a、b、c 的三个正方形，则 a、b、c 满足的关系式是 （ ） A. b=a+c B.b=ac C. b²=a²+ c² D．b=2a=2c 5．如图，路灯距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米的点 A 处，沿 OA 所在的直线行走 14 米到点 B 时，人影长度（ ） A．变短 3.5 米 B．变长 1.5 米 C．变长 3.5 米 D．变短 1.5 米 （第 4 题图） （第 5 题图） （第 6 题图） 6．已知：如图，平行四边形 ABCD，E 为 BC 的中点，BF︰FA＝1︰2，EF 与对角线 BD 相交于 G，求 BG︰BD。 7．已知：如图，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，EF∥BC，FG∥AD。 8. 一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为 0.5m 的小木棒的影长为 0.3m，但当他马上测 量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有 一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的 影子 CD＝1.0m，又测地面部分的影长 BC＝3.0m， 你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？ 9．如图所示，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前 走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高 度 AB 是多少？ 二、相似三角形的判定方法 判定定理 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定定理 2：三边成比例的两个三角形相似 判定定理 3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理 4：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理 5（直角三角形）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 例 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 与点 E，交 BC 的延 长线于点 F.求证：△ABF∽△CAF. 例 2：如图，已知在 ABCD 中,E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与 BC 相交于点 F，请 找出图中各对相似三角形，并求出相似的相似比. 例 3：如图，已知在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的一点，且 BO=3PC，Q 是 CD 的中点.求证： △ADQ∽△QCP. 练习： 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中相似三角形共 有( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 2. 如图，点 P 是▱ ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角 形有( ) A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对 3．如图，在△ABC 中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( ) A.DE BC ＝AD DB B．AE BC ＝AD BD C.DE CB ＝AE AB D．AD AB ＝AE AC 4. 下列各组图形中有可能不相似的是( ) A．各有一个角是 45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是 60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是 105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 5. 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中共有相似三角形( ) A．1 对 B．2 对 C.3 对 D．4 对 6. 如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E，若 AB＝12， BM＝5，则 DE 的长为( ) A．18 B．109 5 C.96 5 D．25 3 7. 如图，有三个三角形，其中相似的是 . 8. 如图，∠1＝∠2，∠B＝∠E，△ABC 与△AED 相似吗？为什么？ 9. 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上，且∠EFG＝90°.求证：△EFB ∽△FCG. 10. 如图已知，在△ABC 中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE 交 CD 于点 O.求证：△ABE∽△OCE. 11. 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，E 为边 AD 上一点．若∠1＝∠B，CD＝CE，试说明△ ACE∽△BAD. 14. 如图，四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，AC 平分∠BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD ⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若 AC 与 BD 相交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长． 三、相似三角形的性质 1.相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 例 1：如图，正方形 DEMF 内接于△ABC，AQ⊥BC 于 Q，交 DE 于 P，若 1ADES△ ， 4DEFMS正方形 ， 求 ABCS△ ． 例 2：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，直线 EF∥BC，交 AB 于点 E，交 AD 于点 G，交 AC 于点 F，若 EBDGAEG SS 四边形△ 3 1 ，求 AC DF 的值. 例 3：如图，在矩形中 ABCD 中，E 为 CD 的中点，H 为 BE 上的一点， 3 BH EH ，连接 CH 并 延长交 AB 于点 G，连接 GE 并延长交 AD 的延长线于点 F. （1）求证： BH EH BG EC  ； （2）若∠CGF=90°，求 BC AB 的值. 随堂练习： 1.如图，在△ABC 和△BED 中，已知 .3 5 DE AC BE BC BD AB （1）若△ABC 与△BED 的周长差为 10cm，求△ABC 的周长； （2）若△ABC 与△BED 的面积之和为 170 2cm ，求△BED 的面积. 2.如图，在△ABC 中，D,E 分别是 BC，AC 边的中点，AD， BE 相交于点 G，若 1DEGs△ ，求 .ABCS△ 课后练习： 一、选择题 1．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC， 若 S△BDE：S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（ ） A． 3 1 B． 4 1 C． 9 1 D． 16 1 2. 如图, 在△ABC 中, D、E 两点分别在 AB、AC 边上, DE∥BC. 若 AD:DB = 2:1, 则 S△ADE : S△ABC 为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为 9∶4，其中一块草坪的周长是 36 米，则 另一块草坪的周长是（ ）． A．24 米 B．54 米 C．24 米或 54 米 D．36 米或 54 米 4. 图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点，且 AB// DE.若△ ABC 与△DEC 的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=( ) A．3 B．7 C．12 D．15 5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光 线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD， 且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么该古城墙的高度是（ ） A．6 米 B．8 米 C．18 米 D．24 米 6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的 8 倍，而它的形状不变，那么它的边长要增 大到原来的（ ）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题 7. 已知两个相似三角形的相似比为 ，面积之差为 25 ，则较大三角形的面积为 ______ . 8．如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=2m，BC=14cm，则楼高 CD 为 m． 9. 梯形 ABCD 中，AD∥BC,AC，BD 交于点 O ,若 AODS△ =4， OCS△B =9， S梯形ABCD =________. 10.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 上一点，DE:CE=2:3， 连 接 AE,BE,BD, 且 AE,BD 交 于 点 F ， 则 : :DEF EF BAFS S S △ △B △ ________________. 12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 2 1 倍，那么边长应缩小 到原来的________倍. 三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他 马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如 图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得树高是多少？ 14.小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度：如图，在水平地面点 E 处放一面平面 镜，镜子与教学大楼的距离 AE=20 米．当她与镜子的距离 CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中 看到教学大楼的顶端 B．已知她的眼睛距地面高度 DC=1.6 米，请你帮助小红测量出大楼 AB 的高度（注：入射角=反射角）． 15. 在正方形 中， 是 上一动点，(与 不重合)，使 为直角， 交正方形一边所在直线于点 . (1)找出与 相似的三角形. (2)当 位于 的中点时，与 相似的三角形周长为 ，则 的周长为多少？ 知识点 4：位似 一、位似图形的性质： 1.位似图形的对应角相等，对应边成比例； 2.位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心； 3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； 4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 例 1：如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体 AB 的高度为 36cm， 那么它在暗盒中所成的像 CD 的高度应为_________cm. 例 2：一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格是 3.5cm×3.5cm，放映的屏幕的规格 是 2m×2m，若放映机的光源距胶片 20cm，问：屏幕拉在距离光源多远的地方时，放映的图 象刚好布满整个屏幕？ 例 3：如图，为测量有障碍物相隔的 A,B 两点间的距离，在适当处放置一个水平桌面，铺上 白纸，在点 A,B 处立上标杆，在纸上立大头针于点 O，在纸上确定点 C，使点 O,C,A 在一条 直线上，并且 OA 的长为 OC 的 100 倍，问接下来再怎么做，就能得出 A,B 两点间的距离？ 二、平面直角坐标系中的位似变化 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于相 似比 例 1：如图，△ABC 的是哪个顶点的坐标分别是 A（2,2）,B（3，1），C（1,0），试以原点 O 为位似中心，构造△ABC 的位似图形，使之与△ABC 的相似比为 2. 例 2：如图，已知 O 试坐标原点，B,C 两点的坐标分别为（3，-1），（2,1），以 O 点为位似中 心，在 y 轴的左侧将△OBC 放大到原来的 2 倍（即新图与原图的相似比为 2）. （1）画出放大后的 ''COB△ ； （2）写出点 ',' CB 的坐标； （3）如果将△OBC 上一点 M 的坐标记为（x,y），写出 M 的对应点 'M 的坐标. 课后练习： 1. 位似图形的位似中心可以在( ) A．原图形外 B．原图形内 C．原图形上 D．以上三种可能都有 2. 如图所示 3 个图形中是位似图形的有( ) A．1 个 B．2 个 C.3 个 D．0 个 3. 已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 与△A′B′C′不存在位似关系的是 ( ) 4. 已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，以点 A 为位似中心把△ABC 的各边放大 2 倍后得到 △AB′C′，则∠B 的对应角∠B′的度数为( ) A．36° B．54° C.72° D．144° 5. 下列图形中不是位似图形的是( ) 6．如图，四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D 是以 O 为位似中心的位似图形，若 OA∶OA′＝ 2∶3，则四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D 的面积比是( ) A．4∶9 B．2∶5 C.2∶3 D． 2∶ 3 7. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O， OE OA ＝3 5 ，则FG BC ＝ . 8. 如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值是 ______． 9.如图，原点 O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点 A(1，0)与 A′(－2，0)是对应点， △ABC 的面积是3 2 ，则△A′B′C′的面积是________． 10．如图，以 O 为位似中心，将边长为 256 的正方形 OABC 依次作位似变化，经第一次变化 后得正方形 OA1B1C1，其边长 OA1 缩小为 OA 的1 2 ，经第二次变化后得正方形 OA2B2C2，其边长 OA2 缩小为 OA1 的1 2 ，经第三次变化后得正方形 OA3B3C3，其边长 OA3 缩小为 OA2 的1 2 ，…，依此规律， 经第 n 次变化后，所得正方形 OAnBnCn 的边长为正方形 OABC 边长的倒数，则 n＝________. 11. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上 的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是_____________________． 12. 如图，△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC 是位似图形，试说明：OD·OC＝OF·OA. 13. 如图，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和△ABC 的顶点均在小正方形 的顶点． (1)以 O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为 1∶2； (2)连接(1)中的 AA′，求四边形 AA′C′C 的周长．(结果保留根号)