2021 届培正中学高三数学三模试题问卷 20210528 共 2 页 第 1页
2021 届培正中学高三三模数学试题 20210528
姓名:_________________班级:____________________考号:____________________
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 {1,2,3,4}U A B , {1,2}UA B ð ,则集合 B ( )
A. 1,2 B. 3,4 C. 1,3 D. 2,4
2.哥隆尺是一种特殊的尺子,图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为 1,2,3,4,5,6.
图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为( )
A.11 B.13 C.15 D.17
3.已知 2
1loga , 0.20.2b , 2log 5c ,则下列关系正确的是( )
A. b c a B. a b c C. a c b D. c a b
4.若非零向量 ,a b
满足 3b a ,且 a b a ,则 a
与 b 夹角的余弦值是( )
A. 1
3
B. 1
3 C. 1
9
D. 1
9
5.已知函数 sinf x x ax ,对于任意实数 1 2,x x ,且 1 2x x ,都有 1 2
1 2
0f x f x
x x
,则 a 的取值范
围为( ) A. 1a B. 1a C. 1a D. 1a
6.十六进制是一种逢16 进1的计数制.我国曾在重量单位上使用过十六进制,比如成语“半斤八两”,即十
六两为一斤.在现代,计算机中也常用到十六进制,其采用数字 0 9 和字母 A F 共16个计数符号.这
些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如,用十六进制表示: E D 1B ,则 A B
A. 6E B.72 C. 5F D. BD
7.设 sin 3 4f x x
, 30, 4x
,若函数 y f x a 恰好有三个不同的零点 1x 、 2x 、 3x ,且
1 2 3 x x x ,则 1 2 32x x x 的值为( ) A. B. 2 3
C. 4
3
D. 5
4
8.点 P 为边长为 1 的正四面体 ABCD底面 BCD 内一点,且直线 AP 与底面 BCD 所成角的正切值为 6 ,
则动点 P 所在曲线长度为( ) A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。
9.已知三个正态分布密度函数
2
221 , 1,2,3
2
i
i
x
i
i
f x e x R i
的图象如图所示,则下列结论正确
的是( )
A. 1 2 3 B. 1 2 3
C. 1 2 3 D. 1 2 3
10.已知复数 3z i ( i 为虚数单位), z 为 z 的共辄复数,
若复数 0
zz z
,则下列结论正确的是( )
A. 0z 在复平面内对应的点位于第四象限 B. 0 1z
C. 0z 的实部为 1
2 D. 0z 的虚部为 3
2
11.已知椭圆
2 2
: 116 9
x yC 的左、右焦点分别是 1 2, F F ,左、右顶点分别是 1 2 , A A ,点 P 是椭圆 C 上异于
1 2 , A A 的任意一点,则下列说法正确的是( )
A. 1 2 4PF PF B.存在点 P 满足 1 2 90F PF
C.直线 1 PA 与直线 2PA 的斜率之积为 9 16
D.若△ 1 2F PF 的面积为 2 7 ,则点 P 的横坐标为 4 53
12.已知函数 212 3f x x x ,则下列命题正确的是( )
A. f x 在 2,1 上是增函数 B. f x 的值域是 2,4
C.方程 2f f x 有两个实数解 D.对于 1 2 1 2,x x x x 满足 1 2f x f x ,则 1 2 2x x
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知 tan 2 ,则 cos2 .
14.写出一个离心率为 2 的双曲线的标准方程_______________________.
15.若 7 2 7
0 1 2 71 2 2 2x a a x a x a x ,则 4a _______________________.
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16.国际象棋中骑士(Knight)的移动规则是沿着 3 2 格或 2 3 格的对角移
动.若骑士限制在图中的3 4 12 格内按规则移动,存在唯一一种给方格
标数字的方式,使得骑士从左上角标1的方格内出发,依次不重复经过 2 ,
3 , 4 ,…,到达右下角标12 的方格内,那么图中 X 处所标的数应为
__________.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 1 0 分)如图,已知平面四边形 ABCD , 45A ,
75ABC , 30BDC , 2BD , 3CD .
(1)求 CBD ; (2)求 AB 的值.
18.(本小题满分 12 分)广东省高考综合改革实施方案,试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模式
下,某校学生选择物理或历史与性别是否有关,统计了该校高三年级 800 名学生的选科情况,部分数据如下
表:
(1)根据所给数据完成上述表格,并判断是否有 99.9%
的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关;
(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣,
用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人,组成数学学习
小组.一段时间后,从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得.记 3 人中男生人数为 X,求 X 的分布列和数学
期望 E(X).
附:
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
19.(本小题满分 1 2 分)如图,斜三棱柱 1 1 1ABC A B C
体积为 24 ,侧面 1 1ACC A 与侧面 1 1CBB C 都是菱形,
1 1 1 60ACC CC B , 4AC .
(1)证明: 1 1AB CC ;
(2)求二面角 1 1B AC C 的余弦值.
20.(本小题满分 1 2 分)设{ }na 是集合{2 2 | 0 }t s s t s t Z ≤ < 且, , 中所有的数从小到大排列成的数列,即
1 3a , 2 5a , 3 6a , 4 9a , 5 10a , 6 12a ,….将{ }na 各项按照上小下大、左小右大的原则写成如
下的三角形数表.
3
5 6
9 10 12
… … … …
… … … … …
…………
(1)写出该三角形数表的第四行、第五行各数(不必说明理由);
(2)设{ }nb 是该三角形数表第 n 行的 n 个数之和所构成的数列,写出{ }nb 的通项公式;
(3)求 100a 的值。
21.(本小题满分 1 2 分)已知动点 P 到直线 : 2 0l y 的距离比到点 0,1F 的距离大1.
(1)求动点 P 的轨迹C 的方程;
(2)点 N 是直线 : 2 0l y 上任意一点,过点 N 作曲线C 的切线 NM ,其中 M 为切点,请判断 MFN
是锐角、直角还是钝角?并写出你的理由.
22.(本小题满分 1 2 分)已知函数 1 lnf x ax x ,其中 a R .
(1)求证:若 1a 时, 0f x 成立;
(2)若函数 2 2 1g x ax ax ,且关于 x 的方程 2 0f x g x 有且只有两个不相等的实数根,求实
数 a 的取值范围.
仔细审题、学会考试、规范答题
1
X
3 12
P 2K k 0.05 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828