小学数学北师大版五年级下册平均数的再认识教案

1 《平均数》教学再认识 渝中区大坪小学 袁懿 【聆听平均数】 公元前 4 世纪，关于古印度国王潘纳“估计树上树叶和果实数目”的故事是 平均数最早的典型例子。最初的平均数是用来估计大数的，直到 19 世纪，平均 数才作为一种数据处理的方法而出现。平均数是统计学中最基本、最常用的统计 量。小学数学里的平均数一般指算术平均数，它是一组数据的和除以这组数据的 个数所得的商，表示了统计对象的一般水平。在生活中，常见的有平均速度、平 均身高、平均成绩等。 一、初识平均数 2013 年，初出茅庐的我第一次执教了人教版小学数学实验版三年级下册《平 均数》一课。静静地在脑海里翻阅当时的教学场景，通过例 1“收集矿泉水瓶” 的情境引导学生采用“移多补少”和“计算”的方法求平均数成为了课堂教学的 重点，借助“小河平均水深 13 分米，小马身高 14 分米，小马能安全过河吗？” 的练习题向学生渗透平均数表示一般水平成为了课堂教学的难点和延伸点。从记 录的教学后记可看出，课堂更倾向于用“计算”的方法求平均数的教学，导致学 生对“移多补少”的方法掌握情况较差，不利于培养学生的几何直观能力；课堂 忽略了理解平均数的意义的教学，导致大部分学生对“小马不能安全过河”的原 因仍然含糊不清、模棱两可，不利于推进学生对数学本质的探索。 二、再识平均数 2018 年 5 月，带着自己和团队对数学教学的思考，我参加了渝中区基于“学 科核心素养”的小学数学教师优质课竞赛（片区复赛）活动。本次赛课，我执教 了人教版小学数学修订版四年级下册《平均数》一课。再次教学《平均数》，在 教材变化、教学前测、教学设计、教学实践、教学感悟上让我多了一些思考，多 了一些成长。 （一）《平均数》教材变化 对比人教版小学数学实验版和修订版教材（见图一），《平均数》的呈现有 3 个方面的变化：一是年段的变化。在实验版教材中，《平均数》安排在了三年 2 级下册，改版后的教材则在四年级下册进行学习。平均数具有一定的抽象性，从 第一学段到第二学段，这样的调整符合学生的认知基础、思维水平和数学能力， 有利于学生深入理解平均数的意义。二是内容的变化。实验版和修订版教材对于 例 1 的表达大抵相同，均采用象形统计图的方式呈现“小组四个学生收集矿泉水 瓶的平均数量” 的问题情景，引导学生求平均数、理解平均数。但修订版教材 通过“小精灵的话”明确提出了“平均数”这一概念，真正实现了从算法向意义 的转变。三是目标的变化。实验版教材教师用书对“平均数”的教学目标要求为 “使学生理解平均数的含义，初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统 计学上的意义”。修订版教材依据《数学课程标准（2011 版）》将目标确定为 “体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”。可看 出，修订版教材趋向于对数据的分析，更注重学生对平均数意义的理解及其在统 计学上的运用。 图一： 教材的变化即教学的变化。如何通过有效地教学活动顺应教材的变化，如何 通过把握学生的学习起点设计教学活动，如何抓住平均数的数学本质达到良好的 教学效果成为了关键。 （二）《平均数》教学前测 教学设计前，对我校四年级各层次学生共计 42 名进行了“平均数”前测练 习。（见图二） 3 图二： 题目的设计主要是为了了解学生在“平均数的意义、平均数的求法、平均数 的作用和在生活中的应用”三个方面的已有经验。 关于平均数的意义，学生认知情况见表一（第①空）和表二（第②—④空）。 表一： 回答情况 人数 备注 总人数÷人数 7 人 其中 1 人表示为 ？÷？=91 分。 100 91 2 人 评价班级水平 15 人 学生用“成绩中等、有点差、考得不错、班级排在第 3 名” 等 词语来描述。 关注学生个体 6 人 学生用“有些人是 91 分以下；大多数人在 91 分以下；每个 人都考上了 91 分；上 91 分的人最多；有几个人把平均分拉 低了”等语句来描述。 91 分是及格分 5 人 91 分是平均分 7 人 4 表二： 题号 回答情况 人数 备注 ② 多 39 人 第②题填“相等”的 3 人在第①题分别填 了“91 分以下就没上平均分；成绩不是很 好；成绩还行”。 第②题填“相等”中的 1 人在第③题仍然填“相等”。 相等 3 人 ③ 少 41 人 相等 1 人 ④ 1 班 1 人 理由：因为我喜欢 4（1）班。 2 班 1 人 理由：因为 4（2）班平均分高。 4 班 1 人 理由：因为 4（4）班 91 分以上的人最多。 3 班 39 人 理由：因为 4（3）班平均分高。 关于平均数的求法，学生完成情况见表三（第⑤空）。 表三： 回答情况 人数 备注 正确 33 人 其中 32 人采用“（12+8）÷2=10（本）”的方法，采用分步 计算的学生较多； 1 人采用“4÷2=2（本）8+2=10（本）” 的方法，此方法可理解为“移多补少”的过程，询问学生解 题思路不能表达；无人在统计图上进行“移多补少”。 错误 9 人 其中 2 人数据收集错误，写成“（12+10）÷2=11（本）”； 7 人不会做，错误情况五花八门。 关于平均数的作用和在生活中的应用，学生回答情况见表四（第⑥空）。 表四： 回答情况 人数 备注 考试平均分 14 人 对升学有帮助 公平 4 人 踢毽人数不同时用平均数很公平 平均分东西 6 人 分蛋糕；二年级的“平均分”知识 其他 18 人 学生乱回答：家人脾气、开心和生气、笔、平时努力程度等 5 对《平均数》前测结果的统计有效地反映出学生在这 3 个方面的真实情况： 一是平均数的意义。针对“平均分 91 分表示什么意思？”这样的问题，大部分 学生不能用数学语言进行表达，可看出学生在认知上缺乏对“平均数是什么”的 建构。二是平均数的求法。在二年级“平均分”知识的基础上，大部分学生具备 了用计算的方法（即总数÷份数）求平均数的经验，仅 1 人拥有进行“移多补少” 求平均数的能力，前测学生不具备结合统计图不计算求平均数的能力。三是平均 数的作用和在生活中的应用。学生熟知的生活中的平均数仅有“考试平均分”和 “平均分东西”两种情景，“公平”的作用仅有少数学生提及。可见，对于平均 身高、平均寿命、平均气温等生活中的平均数，学生听过但却很少接触，更无从 知晓其对生活的作用。 （三）《平均数》教学设计 基于教学前测情况，我在顺应 “掌握求平均数的方法，理解平均数的意义” 这一教学重点的基础上进行了教学设计，力求结合具体情境从数学本质出发突破 “平均数代表一组数据的整体水平，感受平均数的代表性、敏感性、随机性等特 点”的难点。通过反复试讲、磨课和修改，形成了《平均数》一课的教学设计， 其设计意图主要从 5 个维度来思考：一是通过“生活中的平均数”谈话引入，在 阅读大量数学信息的过程中筛选平均数，培养学生的数学阅读能力，使学生感受 到平均数在生活中的广泛应用，从而思考出想要研究的有关平均数的知识。二是 结合学校环保 1 小队收集的矿泉水瓶情况，掌握求平均数（计算和移多补少）的 两种方法，初步感知平均数不代表任何一个人收集的个数，代表了一组同学的整 体水平。三是在学校环保 2 小队收集的矿泉水瓶情境中发现平均数的取值范围， 感受平均数的敏感性，进一步理解平均数的代表性。四是对比 1、2、3 小队的整 体水平，在探索小雷收集的矿泉水瓶个数的过程中让学生深入理解平均数的意 义。五是通过回顾课前信息渗透平均数随机性的特点，感受与平均数有关的数学 文化。 （四）《平均数》教学实践 教学要真正走进课堂，课堂要真正走进学生。现选取师生互动的片段对课堂 教学进行深入剖析，以求推动课堂的完善，教师的成长。 片段一：收集数学信息 6 师：看，今天老师也给大家带来了一些关于平均数的信息。 PPT 出示信息： ①6 月 5 日是世界环保日，学校环保 1 小队的小红、小兰、小亮、小明 4 位同学 平均每人收集了 13 个矿泉水瓶 。 ②重庆市 2018 年 3 月平均最高气温约 21 ℃，4 月平均最高气温约 26 ℃ 。 ③“网红脸”重庆在抖音上火了。穿楼而过的轻轨、洪崖洞等热门地标，让这座 “8D 城市”吸引着众多外地游客的到来。作为“网红中的战斗机”—洪崖洞， 五一小长假平均每天人流量约 4.7 万 。 师：请同学们静静地读一读！ 师：通过阅读，谁来说一说这里哪些数是平均数？ 生 1：平均每人收集了 13 个矿泉水瓶中的 13 个。 生 2：3 月的平均最高气温约 21℃，4 月的平均最高气温约 26℃。 生 3：五一小长假平均每天的人流量约 4.7 万。 【思考：《数学课程标准（2011 版）》的前言中有这样一句话：数学作为对于客 观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基 础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。可见，数学也是一种 语言。数学学习就要求学生要具备一定的数学阅读能力。上课伊始，借助“重庆 天气”、“抖音”等喜闻乐见的生活素材为学生提供大量的文字和数字信息，学生 通过静静地阅读筛选出其中的平均数即是对学生数学阅读能力的培养。通过阅 读，学生发现居然平均数就在我们的身边，这样的过程激发了学生学习平均数的 兴趣。】 片段二：初步感知平均数的代表性（代表一组数据的整体水平） 小红 小兰 小亮 小明 姓名 数量 / 个0 21 63 4 5 7 8 11109 12 1314 15 14 12 11 15 7 师：数学上，我们就把得到的这个同样多的数，叫做一组数据的平均数。这里的 哪个数是哪一组数据的平均数？ 生：13 是 14、12、11、15 的平均数。 师：13 是小红收集的吗？小红收集了多少个？是小兰收集的吗？她收集了多少 个？是小亮、小明收集的吗？（生齐答） 师：13 就在这里，那 13 到底表示什么呢？ 生：表示平均每人收集了 13 个。 师：看来，在这里 13 并不能代表任何一个人收集的矿泉水瓶数量。 师：那它能代表这组同学的最高水平吗？能代表最低水平吗？ 师：13 代表了这组同学的什么水平？你说？你说？ 生 1：平均水平。 生 2：平均水平。 师：平均水平就是整体水平。平均数不代表任何一个人的水平，它代表了这组同 学的整体水平。（板书） 【思考：多次试讲发现，学生无法自我感知平均数代表一组数据的整体水平这一 意义。基于此，在学生掌握用“移多补少”和“计算”求平均数的方法后，教师 乘胜追击，用急促的语调连续追问：这里的哪个数是哪一组数据的平均数？13 是小红收集的吗？小红收集了多少个？是小兰收集的吗？她收集了多少个？是 小亮、小明收集的吗？13 就在这里，那 13 到底表示什么呢？它能代表这组同学 的最高水平吗？能代表最低水平吗？13 代表了这组同学的什么水平？学生在一 问一答中初步感受到平均数不代表任何一个人收集的矿泉水瓶，它代表了一组同 学的整体水平。《数学课程标准（2011 版）》强调，有效的教学活动是学生学与 教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。在 学生不能自主学习的时，教师果断站出来发挥其主导作用，引导学生一步一步逼 近问题本源，有利于学生进一步理解和掌握数学知识。】 片段三：感知平均数的敏感性 师：2 小队平均每人收集的个数可能是 8 吗？15 呢？为什么？ 师：对比 1 小队和 2 小队的数据，不进行移多补少，你认为 2 小队的整体水平比 1 小队高还是低？为什么？ 8 生：我发现，前三个数据是一样的，最后一个变少了，平均数就变少了，整体水 平就低了。 师：你有什么发现？ 小结：看来，一组数据中的一个数据变了平均数就（变了），整体水平也就（变 了）。其实，平均数非常地敏感，任何一个数据的“风吹草动”，都会使它发生变 化。 师：再看，这两个 12 表示的意义相同吗？ 生：一个 12 表示小莉实际收集了 12 个矿泉水瓶，平均数 12 代表了 2 小队收集 矿泉水瓶的整体水平。 师：结合这 2 个数据，对平均数你又有什么发现？ 小结：平均数可能与一组数据中的某些数据相等，但是它们表示的意思（不相同）。 1 小队： 2 小队： 【思考：结合 1 小队每位同学收集的矿泉水瓶数量，教师巧妙创设 2 小队同学的 收集情况，在问题情境中大胆放手，连续抛出 2 个“你发现了什么？”，调动了 学生的积极性，引发了学生独立的数学思考。学生主动地发现了平均数的取值范 围介于最大数和最小数之间，感受了平均数容易受数据变化的影响的敏感性特 点，理解了平均数可能与一组数据中的某些数据相等，也可能不相等，且它们表 示的意思不相同。】 片段四：深化平均数的代表性 师：如果想要 3 小队的整体水平仍然最高，你认为小雷可能收集了多少个？把你 认为的个数记录在题单上，再想一想你为什么这样填。 （请填写“14 个及以上”的学生汇报） 11小王 11小方 12小莉 14小杨 个数姓名 15小明 11小亮 12小兰 14小红 个数姓名 9 师：说说你的想法？ 生：现在 3 小队的平均数是 14，只要小雷收集了 14 个，3 小队的平均数还是 14， 整体水平最高。如果小雷收集的比 14 个多，整体水平会更高。 师：条理很清晰，你们听明白了吗？谁再来说？ 师：除了填 14 个及以上，还有没有其他填法？ （请填“11”的学生汇报） 师：你填的多少？上来给大家说一说！ 生：1 小队总共收集了 52 个，现在 3 小队 3 个人收集了 42 个，只要小雷收集 11 个，3 小队的总数就是 53 个，53 个比 52 个多，整体水平就最高。 师：你反过来比较两个小队的总数，从而得出 3 小队的整体水平最高，思维很灵 敏。 师：对于填 11，你还有什么疑问？ 生生质疑并解疑： 生 1：填 11,3 小队的平均数不是整数。瓶子是一个一个的，怎么可能出现小数 呢？ 生:：平均数代表了一组同学的整体水平，不代表每个人收集的个数，所以平均 数可能是小数。 生 3：平均数 13 点几是怎么算出来的呢？ 生：53÷4=13……1，余下的 1÷4=0.25，所以平均数是 13.25。 …… 师：你们觉得平均数可不可以是小数？（全班均认为可以）那这里就可以填（11 及以上的数）。修改题单。 师：按照你们的思路，那小雷收集的个数可以填 12.5 吗？为什么？ 生 1：每个人收集的矿泉水瓶的数量必须是整数。 生 2：某一个人收集的个数是实实在在的瓶子数量，瓶子数量只能是整数。 师：你有什么发现？ 小结：平均数代表了一组同学的整体水平，不代表每个人收集的个数，它是“移 多补少”匀出来的数，所以平均数可能是整数也可能是小数。每个人收集的矿泉 水瓶是实实在在一个一个的，所以只能是整数。 10 师：那这里就应该填（11 及以上的整数）。再次修改。 1 小队： 3 小队： 【思考：本环节充分发挥学生的自主性，学生在主动汇报、相互质疑、交流解疑 中对数据进行分析，对问题进行推理，成就了本节课的课堂亮点，发展了学生的 数据分析观念和推理能力。对于“小雷收集多少个才能保证 3 小队的整体水平仍 然最高”这个问题，95%的学生都填写的是 14 个，仅少数学生填写 11、12 或 14 及以上。教学时，抓住少数同学的想法和思维，以点带面，让学生从平均数的代 表性出发理解可以填 11 及以上的数。在多次试讲时，学生对“平均数可不可以 是小数”这个问题总会展开激烈的辩论，甚至在大讨论后仍有学生无法理解。而 在此次课堂上，学生一下就明白了“平均数可以是小数”的道理，课堂如何继续 和深化呢？我灵机一动，马上追问：那小雷收集的个数可以填 12.5 吗？为什么？ 学生从整体又回到个体，对平均数的代表性有了更深入的认识和理解。课堂教学 需要预设，但课堂上的精彩往往来源于自然生成。只有教师真正把握了数学本质， 才会与学生一起共创精彩。】 （五）《平均数》教学感悟 反复试讲和磨课的过程就是一次次创新和反思的过程。综合同仁们的建议， 结合自我反思，发现：一方面，我在课堂评价语言能力、课堂临场应变能力两个 方面进步明显，丰富了我的教学实践经验，推进了我的教育教学智慧和内涵。另 一方面，我在教师基本功、自身修养、教学理念、教学风格等方面还比较欠缺， 需要不断加强和改进。 教育的本质是促进人的发展，应以学生为中心；教学的本质是促进学生的自 主学习，应以学生为主体。回顾《平均数》的执教过程，在教学理念上还未做到 小雷 14小飞 13小林 15小东 个数姓名 15小明 11小亮 12小兰 14小红 个数姓名 11 充分放手，没能让学生大胆地学习、主动地学习。因此，我需要转变一些陈旧的 教学理念，让学生主动学习。 1.立足学情，尊重学生的认知需求 《平均数》谈话引入片段： 师:这节课我们要一起来研究平均数。听过平均数的举手，很好！谁来举一 个关于平均数的例子？ 生 1：把一些东西平均分成几份，每人分几个。 师：你所说的“几个”就是一个平均数。还有吗？ 生 2：考试以后会算平均分。 师：考试平均分大家都熟悉吧！看，袁老师也给大家带来了一些关于平均数 的信息。（PPT 出示） 开课时直接出示课题，当问道“听过平均数的举手”时，一双双小手齐刷刷 地举了起来，可当问道“谁来举一个关于平均数的例子？”时，却只有零星的几 个学生举手。为了避免此时的尴尬气氛，我快速的进入了下一个环节。这样的过 程无疑影响了学生后续的主动学习。 究其原因是教师报以侥幸心理，高估了授课班级学生的生活经验，没有真正 从学生的学情出发，没有从学生已有的认知出发进行教学设计。其实通过前测情 况和试讲过程，我已经感受到：虽然学生都听过平均数（仅对考试平均分比较熟 悉），但让他们举出生活中平均数的例子却很难。学生不能很好地举例，课堂教 学仍按照这样的步骤来进行就是不合理的。 既然这样，如果直接借助学生最熟悉的“考试平均分”引入会如何呢？ 《平均数》谈话引入修改： 师:这节课我们要一起来研究平均数。听过平均数的举手，很好！ 师：考试平均分大家都熟悉吧！袁老师课前了解到咱们班同学在第 4 单元的数学 检测中班级平均分是 92 分。92 分就是一个（平均数）。 师：这次考试是不是每个同学都得了 92 分呢？为什么？ 师：你得了多少分？比平均分高还是低？ 师：你认为平均分 92 分是怎么得到的？ 师：你们的想法合理吗？赶紧进入今天的学习吧！对于平均数，你想研究些什么？ 12 虽然这样的修改并未在课堂上进行实施和证明，但这样的逻辑既有利于了解 学生的学习起点，又可以让学生初步感知平均数的意义，激发学生的学习欲望。 因此，在以后的教学中，我要结合教学内容，摸准学生的学习起点，立足于学生 的最近发展区，以发展学生数学核心素养为目的，探寻适合学生主动学习的有效 途径。 2.大胆放手，尊重学生的发展需要 课堂上，引导学生对“用‘移多补少’求平均数的过程”和“小雷收集的个 数填 11 个”提出自己的疑问可谓是“放手”的体现。 用“移多补少”求平均数： 生 1：为什么在 13 那个地方画线？ 生 2：为什么要这样移？ 小雷收集的个数填 11 个： 生 1：平均数 13 点几是怎么算出来的？ 生 2：填 11,3 小队的平均数不是整数。瓶子是一个一个的，怎么可能出现小数 呢？ 在教学预设时，对于“用‘移多补少’求平均数的过程”只想要学生问出“为 什么要这样移？”，对于“小雷收集的个数填 11 个”只需要学生提出“填 11,3 小队的平均数不是整数。瓶子是一个一个的，怎么可能出现小数呢？”。而课堂 上，学生提出“目标问题”前还提出了其他的问题，为了有效完成教学预设，虽 然我让学生对非目标问题进行了解答但并未进行有效落实，显得敷衍了事；而当 “目标问题”一出现，我立马带领学生集中火力攻破问题，进入下一环节，显得 急功近利。 学生提出的问题就是学生心中的疑问，就是学生迫切需要发展的地方。《平 均数》的课堂上，我选择了放手但是却没有做到根据学生的需求大胆地放手。执 教班级学生具备了发现问题、提出问题、解决问题的能力，教师就应为学生创设 主动学习的环境，给足时间和空间让学生大胆地在相互的思维碰撞中水到渠成地 学习，收获到自己需要的知识。因此，在以后的教学中要根据知识的难易程度、 学生的知识与技能水平等因素合理地“放手”，大胆地“放手”，有效地操控学生 的学习活动，让学生在表达、倾听、质疑、反思中获得知识的形成过程，获得思 13 维的提升，真正实现学生的主动学习。 转变教学理念可促进教师学科素养的养成，可推进学生核心素养的发展。让 学生主动学习，我们就要在教学理念上从教师的教转向学生的学；在教学设计上 由教案转为学案；在教学方法上将启发式转变为谈话式；在教学组织上让师生对 话演变成生生对话。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。从第一次教学《平均数》到第二次，再 到以后的第 n 次……一次磨砺就是一次进步。我将带着每一次的感悟和进步砥砺 前行。