九年级中考复习数学考点专项训练——几何专题：黄金分割比例（三）

2021 年九年级中考复习 数学考点专项训练——几何专题： 黄金分割比例（三） 1．如图 1，在线段 AB 上找一点 C，C 把 AB 分为 AC 和 CB 两段，其中 BC 是较小的一段， 如果 BC•AB＝AC2，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被 应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图 2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太 和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分 割．已知太和殿到内金水桥的距离约为 100 丈，求太和门到太和殿之间的距离（ 的近 似值取 2.2）． 2．已知线段 AB＝a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点 C． 3．如图，乐器上的一根弦 AB＝80cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近 点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，求 C、D 之间的距离． 4．如图，在线段 AB 上有一点 C，若 AC：CB＝CB：AB，则称点 C 为 AB 的黄金分割点， 现已知 AB＝1，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＜BC），求 BC 的长． 5．（1）已知线段 AB 的长为 2，P 是 AB 的黄金分割点，求 AP 的长； （2）求作线段 AB 的黄金分割点 P，要求尺规作图，且使 AP＞PB． 6．如图，点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC，若 AC＝2，求 AB、BC 的长． 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请 完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC） （1）在图 1 中画 1 中画了 1 条线段，使图中有了 2 个等腰三角形，请直接写出这 2 个等 腰三角形的顶角度数分别是 度和 度； （2）若在图 2 中画 2 条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？ （3）继续按以上操作发现：在△ABC 中画 n 条线段，则图中有 个等腰三角形， 其中有 个黄金等腰三角形． 8．我们把顶角为 36°的等腰三角形称之为黄金三角形．如图 1，△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝36°，则△ABC 是黄金三角形，请你观察图 2、图 3 中的圆内接正五边形 ABCDE． （1）直接回答：图 2 中共有 个黄金三角形； （2）图 3 中，若点 M 在弧 CD 上，且 DM 是圆 O 的内接正六边形的一边，问 CM 是否 是圆 O 的内接正 n 边形的一边？如果是，求出 n 的值；如果不是，请说明理由． 9．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图 1，我们 已经学过，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 AC：AB＝BC：AC，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点．如图 2，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 点 D． （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长． 10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下： “如图 ，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ＝ ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， ＝ 叫做黄 金比．”根据定义不难发现，在线段 AB 另有一点 D 把线段 AB 分成两条线段 AD 和 BD， 满足 ＝ ，所以点 D 也是线段 AB 的黄金分割点． 材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣ a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称 a3 为 a1，a4 的黄金数，a2 为 a1，a4 的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题 （1）如图 ，若 AB＝4，点 C 和点 D 是线段 AB 的黄金分割点， 则 AC＝ ，CD＝ ． （2）实数 0＜a＜b＜1，且 b 为 0，1 的黄金数，a 为 0，1 的白银数，求 b﹣a 的值． （3）实数 k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n 分别为 k，t 的黄金数和白银数，求 的值． 参考答案 1．解：设太和门到太和殿的距离为 x 丈， 由题意可得，x2＝100（100﹣x） 解得， ， （舍去） 则 x≈﹣50+50×2.2＝60， 答：太和门到太和殿的距离为 60 丈． 2．解：作法： （1）延长线段 AB 至 F，使 AB＝BF，分别以 A、F 为圆心，以大于等于线段 AB 的长为 半径作弧，两弧相交于点 G，连接 BG，则 BG⊥AB，在 BG 上取点 D，使 BD＝ ； （2）连接 AD，在 AD 上截取 DE＝DB． （3）在 AB 上截取 AC＝AE． 如图，点 C 就是线段 a 的黄金分割点． 3．解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， ∴AC＝BD＝80× ＝40 ﹣40， ∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80 ﹣160． 4．解：∵C 为线段 AB＝1 的黄金分割点，且 AC＜BC，BC 为较长线段， ∴BC＝ AB＝1× ＝ ． 5．解：（1）由于 P 为线段 AB＝2 的黄金分割点， 则 AP＝2× ＝ ﹣1， 或 AP＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ； （2）如图，点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点． 6．解：∵点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC， ∴AB＝ ×AC＝ ﹣1， ∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ． 7．解：（1）如图 1 所示： ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴当 AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36° ∴这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 36 度． 故答案为：108，36 （2）如图所示： （3）根据（2）可知： 如图所示： 当 1 条直线可得到 2 个等腰三角形； 当 2 条直线可得到 4 个等腰三角形； 当 3 条直线可得到 6 个等腰三角形； … 在△ABC 中画 n 条线段，则图中有 2n 个等腰三角形，其中 n 个黄金等腰三角形． 故答案为 2n，n 8．解：（1）∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴这个正五边形的每个内角的度数为： ＝108°， ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴每条弧所对的圆周角都是： × ＝36°， 对△ACD 来说，∠CAD＝36°，AC＝AD， ∴△ACD 是黄金三角形， ∵ ＝ ， ∴BE∥CD， ∴△AFJ∽△ACD， ∴△AFJ 是黄金三角形， 同理可得：△BGF、△BDE、△CHG、△CEA、△DIH、△DAB、△EJI、△EBC 都是黄 金三角形， 对△ABG 来说，∠BAG＝36°，∠ABG＝∠ABE+∠EBD＝36°+36°＝72°，∠AGB＝ ∠ACB+∠CBD＝36°+36°＝72°， ∴∠ABG＝∠AGB， ∴AB＝AG， ∴△ABG 是黄金三角形， 同理可得：△AIE、△BCH、△BAJ、△CBF、△CDI、△DCG、△DEJ、△EHD、△EAF 都是黄金三角形， 综上所述，图 2 中共有 20 个黄金三角形， 故答案为：20； （2）CM 是圆 O 的内接正 30 边形的一边，n＝30；理由如下： 连 OC、OM、OD，如图 3 所示： ∵CD 是圆 O 的内接正五边形的一边， ∴∠COD＝ ＝72°， ∵DM 是圆 O 的内接正六边形的一边， ∴∠MOD＝ ＝60°， ∴∠COM＝∠COD﹣∠MOD＝72°﹣60°＝12°， ∴n＝360°÷12°＝30， ∴CM 是圆 O 的内接正 30 边形的一边，n＝30． 9．（1）证明：∵AB＝AC＝1， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°， ∵BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， ∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴DA＝DB，BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC， 易得△BDC∽△ABC， ∴BC：AC＝CD：BC，即 BC2＝CD•AC， ∴AD2＝CD•AC， ∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）解：设 AD＝x，则 CD＝AC﹣AD＝1﹣x， ∵AD2＝CD•AC， ∴x2＝1﹣x，解得 x1＝ ，x2＝ ， 即 AD 的长为 ． 10．解：（1）∵AB＝4，点 C 和点 D 是线段 AB 的黄金分割点， ∴AC＝BD＝ AB＝ ×4＝2 ﹣2， ∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2 ﹣2）﹣4＝4 ﹣8； 故答案为：2 ﹣2，4 ﹣8； （2）∵b 为 0，1 的黄金数，且实数 0＜b＜1， ∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0）， b2+b﹣1＝0， b1＝ ＜0（舍），b2＝ ＞0， ∵a 为 0，1 的白银数，且实数 0＜a＜1， ∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0）， a2﹣3a+1＝0， a1＝ ＞1（舍），a2＝ ＜1， ∴b﹣a＝ ﹣ ＝ ﹣2； （3）∵m，n 分别为 k，t 的黄金数和白银数，实数 k＜n＜m＜t， ∴ 分两种情况： i）当 k≥0 时，t＝2k， 由 ① 得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k）， m2﹣km﹣k2＝0， m＝ k； 由 ② 得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k）， n2﹣5kn+5k2＝0， n＝ k， ∵k＜n＜m＜t， ∴m＝ k，n＝ k ∴ ＝ ＝ ＝ ； ii）当 k＜0 时，t＝﹣2k， 由 ① 得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k）， m2﹣5km﹣5k2＝0， m＝ k； 由 ② 得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k）， n2+7kn+k2＝0， n＝ k＞0， ∵k＜n＜m＜t， ∴m＞0， ∴m＝ k，n＝ k， ∴ ＝ ＝ ＝ ； 综上， 的值是 或 ．