2021 沪科版九年级数学中考复习:勾股定理
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.3 ,2, 7
C.6 ,2 2 , 10 D.3,5,8
2.已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则 BC 边上的高是( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
3.如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(-2,3),以点 O 为圆心,以 OP 的长
为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则 A 点的横坐标介于( )
A.-4 和-3 之间 B.3 和 4 之间
C.-5 和-4 之间 D.4 和 5 之间
第 3 题图 第 4 题图
4.如图,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则 AE=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
5.如图,两个较大正方形的面积分别为 144,169,则字母 A 代表的正方形的面积为( )
A.5 B.6 C.20 D.25
第 5 题图 第 6 题图
6.(2020·陕西)如图,在 3×3 的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都
在格点上,若 BD 是△ABC 的高,则 BD 的长为( )
A.10
13 13 B. 9
13 13 C. 8
13 13 D. 7
13 13
7.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿直插到离岸边 6 米远的水底,竹竿高
出水面 2 米,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )
A.7 米 B.8 米 C.9 米 D.10 米
8.在△ABC 中,若三条边长 a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
9.如图,一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一轮船以 12
海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( )
A.25 海里 B.30 海里 C.35 海里 D.40 海里
第 9 题图 第 10 题图
10.(2020·金华)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD
与正方形 EFGH.连接 EG,BD 相交于点 O,BD 与 HC 相交于点 P.若 GO=GP,则S 正方形 ABCD
S 正方形 EFGH
的值是( )
A.1+ 2 B.2+ 2
C.5- 2 D.15
4
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
11.若一个三角形的三边之比为 3∶4∶5,且周长为 24 cm,则它的面积为____cm2.
12.定理:“全等三角形的对应边相等”的逆命题是____,它是____命题.(填“真”或
“假”)
13.如图,在△ABC 中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则 AE=____.
第 13 题图 第 15 题图
14.(2020·绥化)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 AB-AC=2,BC=8,则 AB 的长是
____.
15.如图,已知在△ABC 中 ,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的
三条直线 l1,l2,l3 上,且 l1,l2 之间的距离为 2,l2,l3 之间的距离为 3,则 AC2 是____.
16.如图,长方体的长、宽、高分别为 8 cm,4 cm,5 cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面
从点 A 爬到点 B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是____cm.
第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图
17.如图所示,四边形 ABCD 是长方形,把△ACD 沿 AC 折叠到△ACD′,AD′与
BC 交于点 E,若 AD=4,DC=3,则 BE 的长为____.
18.(2020·贵阳)如图,△ABC 中,点 E 在边 AC 上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD
垂直于 BE 的延长线于点 D,BD=8,AC=11,则边 BC 的长为____.
三、解答题(共 66 分)
19.(7 分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种验证方
法.如图,火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 AB′C′D′的位置,连接 CC′,设 AB=a,
BC=b,AC=c,请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.
20.(7 分)如图,在 4×4 正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1.
(1)求△ABC 的周长;
(2)求证:∠ABC=90°.
21.(8 分)有人说:如果 Rt△ABC 的三边是 a,b,c(c>a,c>b),那么以 an,bn,cn(n
是大于 1 的正整数)为三边的三角形也是直角三角形.
(1)这个说法是否正确?请说明理由;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断命题是真命题还是假命题.
22.(8 分)如图,已知 CD=6,AB=4,∠ABC=∠D=90°,BD=DC,求 AC 的长.
23.(8 分)如图,已知在△ABC 中,∠A=90°,D 是 BC 中点,且 DE⊥BC 于 D,交
AB 于 E.求证:BE2-EA2=AC2.
24.(8 分)(大庆中考)如图,一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10 km 至 B 港,然后
再沿北偏西 30°方向航行 10 km 至 C 港.
(1)求 A,C 两港之间的距离(结果保留到 0.1 km,参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732);
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向.
25.(8 分)如图,一根长 6 3 米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与
地面的倾斜角(∠ABO)为 60°.当木棒 A 端沿墙下滑至点 A′时,B 端沿地面向右滑行至点
B′.
(1)求 OB 的长;
(2)当 AA′=1 米时,求 BB′的长.
26.(12 分)(2020·山西)阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他
已经在木板上画出一条裁割线 AB,现根据木板的情况,要过 AB 上的一点 C,作出 AB 的
垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?
办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出 CD=30 cm,然后分别以 D,
C 为圆心,以 50 cm 与 40 cm 为半径画圆弧,两弧相交于点 E,作直线 CE,则∠DCE 必为
90°.
办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出 M,N 两点,然后把
木棒斜放在木板上,使点 M 与点 C 重合,用铅笔在木板上将点 N 对应的位置标记为点 Q,
保持点 N 不动,将木棒绕点 N 旋转,使点 M 落在 AB 上,在木板上将点 M 对应的位置标
记为点 R.然后将 RQ 延长,在延长线上截取线段 QS=MN,得到点 S,作直线 SC,则∠RCS
=90°.
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也
能作出垂线呢?……
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是__勾股定理的逆定理__;
(2)根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;
(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点 C 作出 AB 的垂线(在木板上保留作图痕迹,
不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
答案
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( B )
A.2,3,4 B.3 ,2, 7
C.6 ,2 2 , 10 D.3,5,8
2.已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则 BC 边上的高是( B )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
3.如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(-2,3),以点 O 为圆心,以 OP 的长
为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则 A 点的横坐标介于( A )
A.-4 和-3 之间 B.3 和 4 之间
C.-5 和-4 之间 D.4 和 5 之间
第 3 题图 第 4 题图
4.如图,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则 AE=( D )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
5.如图,两个较大正方形的面积分别为 144,169,则字母 A 代表的正方形的面积为( D )
A.5 B.6 C.20 D.25
第 5 题图 第 6 题图
6.(2020·陕西)如图,在 3×3 的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都
在格点上,若 BD 是△ABC 的高,则 BD 的长为( D )
A.10
13 13 B. 9
13 13 C. 8
13 13 D. 7
13 13
7.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿直插到离岸边 6 米远的水底,竹竿高
出水面 2 米,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( B )
A.7 米 B.8 米 C.9 米 D.10 米
8.在△ABC 中,若三条边长 a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),则△ABC 是( D )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
9.如图,一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一轮船以 12
海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( D )
A.25 海里 B.30 海里 C.35 海里 D.40 海里
第 9 题图 第 10 题图
10.(2020·金华)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD
与正方形 EFGH.连接 EG,BD 相交于点 O,BD 与 HC 相交于点 P.若 GO=GP,则S 正方形 ABCD
S 正方形 EFGH
的值是( B )
A.1+ 2 B.2+ 2
C.5- 2 D.15
4
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
11.若一个三角形的三边之比为 3∶4∶5,且周长为 24 cm,则它的面积为__24__cm2.
12.定理:“全等三角形的对应边相等”的逆命题是__对应边相等的三角形全等__,它
是__真__命题.(填“真”或“假”)
13.如图,在△ABC 中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则 AE=__3__.
第 13 题图 第 15 题图
14.(2020·绥化)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 AB-AC=2,BC=8,则 AB 的长是
__17__.
15.如图,已知在△ABC 中 ,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的
三条直线 l1,l2,l3 上,且 l1,l2 之间的距离为 2,l2,l3 之间的距离为 3,则 AC2 是__68__.
16.如图,长方体的长、宽、高分别为 8 cm,4 cm,5 cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面
从点 A 爬到点 B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是__ 145 __cm.
第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图
17.如图所示,四边形 ABCD 是长方形,把△ACD 沿 AC 折叠到△ACD′,AD′与
BC 交于点 E,若 AD=4,DC=3,则 BE 的长为__7
8 __.
18.(2020·贵阳)如图,△ABC 中,点 E 在边 AC 上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD
垂直于 BE 的延长线于点 D,BD=8,AC=11,则边 BC 的长为__4 5 __.
三、解答题(共 66 分)
19.(7 分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种验证方
法.如图,火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 AB′C′D′的位置,连接 CC′,设 AB=a,
BC=b,AC=c,请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.
解:∵四边形 BCC′D′是直角梯形,∴S 梯形 BCC′D′=1
2 (a+b)(a+b)=1
2 (a+b)2,由旋
转知 AC=AC′,∠CAC′=90°,∴△ACC′是等腰三角形,∴S 梯形 BCC′D′=1
2 c2+1
2 ab
×2=1
2 c2+ab,∴1
2 (a+b)2=1
2 c2+ab,化简整理得 a2+b2=c2
20.(7 分)如图,在 4×4 正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1.
(1)求△ABC 的周长;
(2)求证:∠ABC=90°.
解:(1)AB=2 5 ,AC=5,BC= 5 ,∴△ABC 的周长为 3 5 +5 (2)∵AB2+BC2
=20+5=25=AC2,∴△ABC 是直角三角形且∠ABC=90°
21.(8 分)有人说:如果 Rt△ABC 的三边是 a,b,c(c>a,c>b),那么以 an,bn,cn(n
是大于 1 的正整数)为三边的三角形也是直角三角形.
(1)这个说法是否正确?请说明理由;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断命题是真命题还是假命题.
解:(1)正确.∵c2=a2+b2,∴(an)2+(bn)2=a2n2+b2n2=n2(a2+b2)=n2c2.∴以 an,bn,
cn 为边的三角形也是直角三角形 (2)逆命题:如果以 an,bn,cn(n 是大于 1 的正整数)为三
边的三角形是直角三角形,那么以 a,b,c 为三边的三角形也是直角三角形,真命题
22.(8 分)如图,已知 CD=6,AB=4,∠ABC=∠D=90°,BD=DC,求 AC 的长.
解:在 Rt△BDC 中,BC2=BD2+DC2,Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2,则 AC2=AB2
+BD2+DC2.又因为 BD=DC,则 AC2=AB2+2CD2=42+2×62=88,AC=2 22 ,即 AC
的长为 2 22
23.(8 分)如图,已知在△ABC 中,∠A=90°,D 是 BC 中点,且 DE⊥BC 于 D,交
AB 于 E.求证:BE2-EA2=AC2.
解:连接 CE,∵ED 垂直平分 BC,∴EB=EC,又∵∠A=90°,∴EA2+AC2=EC2,
∴BE2-EA2=AC2
24.(8 分)(大庆中考)如图,一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10 km 至 B 港,然后
再沿北偏西 30°方向航行 10 km 至 C 港.
(1)求 A,C 两港之间的距离(结果保留到 0.1 km,参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732);
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向.
解:(1)由题意可得∠PBC=30°,∠MAB=60°,∴∠CBQ=60°,∠BAN=30°,
∴∠ABQ=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10,∴AC= AB2+BC2 =10 2 ≈14.1(km).
答:A,C 两地之间的距离为 14.1 km (2)由(1)知,△ABC 为等腰直角三角形,∴∠BAC=
45°,∴∠CAM=60°-45°=15°,∴C 港在 A 港北偏东 15°的方向上
25.(8 分)如图,一根长 6 3 米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与
地面的倾斜角(∠ABO)为 60°.当木棒 A 端沿墙下滑至点 A′时,B 端沿地面向右滑行至点
B′.
(1)求 OB 的长;
(2)当 AA′=1 米时,求 BB′的长.
解:(1)∵OA⊥OB,∠ABO=60°,∴∠BAO=30°,∴OB=1
2 AB=1
2
×6 3 =
3 3 (米)
(2)在 Rt△ABO 中,AO= AB2-BO2 =9,A′O=AO-AA′=9-1=8.由题意可知
A′B′=AB=6 3 ,在 Rt△A′OB′中,B′O= A′B′2-A′O2 =2 11 ,∴BB′
=B′O-BO=(2 11 -3 3 )米
26.(12 分)(2020·山西)阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他
已经在木板上画出一条裁割线 AB,现根据木板的情况,要过 AB 上的一点 C,作出 AB 的
垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?
办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出 CD=30 cm,然后分别以 D,
C 为圆心,以 50 cm 与 40 cm 为半径画圆弧,两弧相交于点 E,作直线 CE,则∠DCE 必为
90°.
办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出 M,N 两点,然后把
木棒斜放在木板上,使点 M 与点 C 重合,用铅笔在木板上将点 N 对应的位置标记为点 Q,
保持点 N 不动,将木棒绕点 N 旋转,使点 M 落在 AB 上,在木板上将点 M 对应的位置标
记为点 R.然后将 RQ 延长,在延长线上截取线段 QS=MN,得到点 S,作直线 SC,则∠RCS
=90°.
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也
能作出垂线呢?……
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是__勾股定理的逆定理__;
(2)根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;
(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点 C 作出 AB 的垂线(在木板上保留作图痕迹,
不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
解:(1)∵CD=30,DE=50,CE=40,∴CD2+CE2=302+402=502=DE2,∴∠DCE
=90°,故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理,故答案为:勾股定理的逆
定理
(2)由作图方法可知,QR=QC,QS=QC,∴∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC,∵∠
SRC+∠RCS+∠QSC=180°,即∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°,∴2(∠QCR
+∠QCS)=180°,∴∠QCR+∠QCS=90°,即∠RCS=90°
(3)①如图③所示,直线 PC 即为所求;
②答案不唯一,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上