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人教版数学九年级第二十七章 相似
27.1 相似的判定与性质
相似的判定
与性质
相似的判定
相似的性质
存在性
课程导入
你能找出上图中上下两行形状相同的国旗么？（通过相同国旗的寻找让学生对相
似形的概念有形象的理解）
漫漫学
27.1.1 相似的判定
相似多边形的判定
相似多边形的判定：如果两个多边形的 ， ，那么这两
个多边形相似.
巩固：如果两个三角形的 ， ，那么这两
个三角形相似.
2
【例 1】 下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A.正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
想一想：刚才你在做题中你是怎么样理解相似多边形的判定的？
【练习 1.1】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的
对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应
边间距均为 1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【即时检测】
1．如图，过 P 点的两直线将矩形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中 P
在 AC 上，且 AP：PC=AD：AB=4：3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的
是（ ）
A．丙、丁相似 B．甲、丁不相似
C．丙、乙相似 D．甲、乙不相似
3
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的 的比相
等．
推论 1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
推论 2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
强调“ ”的含义，并结合图形形象记忆的方法．
如： 右全
左全
右上
左上
右上
左上，右全
右下
左全
左下，右全
右上
左全
左上，右下
右上
左下
左上 ．
【例 2】如图，在
△
ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果 AD=1，DB=3，那么 DG：BC=_____．
想一想：题目中给了平行，能得把所有的平行写出来吗？你能把平行于相似联系
起来吗？结合已知此题用哪个相似得到线段的比？
【练习 2.1】在
△
APM 的边 AP 上任取两点 B，C，过 B 作 AM 的平行线交 PM 于
N，过 N 作 MC 的平行线交 AP 于 D．求证：PA∶PB＝PC∶PD．
4
相似三角形的判定一
如果两个三角形的三组 ，那么这两个三角形相似．
【例 3】如图，四边形 ABGH，四边形 BCFG，四边形 CDEF 都是正方形，图中
与
△
HBC 相似的三角形为（ ）
A．
△
HDB B．
△
HCD C．
△
HAC D．
△
HAD
想一想：学了哪个判定定理？怎么证明相似呢？令正方形边长为 1，你能求出哪
些边的长度?通过计算你得到了什么？
【练习 3.1】如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，
△
ABC 和
△
DEF 的顶
点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5 是
△
DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下
列各题：
（1）试证明三角形
△
ABC 为直角三角形；
（2）判断
△
ABC 和
△
DEF 是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5 中的 3 个格点并且
与
△
ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
5
相似三角形的判定二
如果两个三角形的两组 ，并且相应的 相等，那么这
两个三角形相似．
【例 4】如图，已知
△
ABD∽△ACE，求证：
△
ABC∽△ADE．
想一想：结论求什么？相似三角形的性质是什么？证明相似缺少什么条件，怎么
办呢？
【练习 4.1】如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），
（6，1），以 C，D，E 为顶点的三角形与
△
ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是
（ ）
A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）
6
相似三角形的判定三
如果一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形
相似．
【例 5】如图所示，已知 AB∥CD，AD，BC 交于点 E，F 为 BC 上一点，且∠EAF
＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．
想一想：刚才你在做题中所求为乘积的形式你怎么与相似联系起来，你准备怎么
去做？怎样运用判定定理？
【练习 5.1】如图，在 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E，连结 AE，F
为 AE 上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：
△
ABF∽△EAD；
（2）若 AB=4，∠BAE=30°，求 AE 的长；
（3）在（1）（2）的条件下，若 AD=3，求 BF 的长．
7
【即时检测】
2. 如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E，∠CPD=∠A=∠B，BC 交 PD
于 F，AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有（ ）
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
27.1.2 相似的性质
相似的性质一
相似多边形的性质：相似多边形的 ， 。
相似三角形的性质：相似三角形的 ， 。
相似比：相似多边形的 称为相似比。
【例 6】已知
△
ADE∽
△
ABC，DE=2， BC=4，
（1）请写出相似三角形的所有对应角；
（2）三角形的相似比是多少？
（3）点 D、E 分别是 AB、AC 的中点吗？
想一想：相似三角形的性质是什么？你能画出相对应的图吗？只有一种情况吗？
8
【练习 6.1】已知：如图，
△
ABC 中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．
△
ADE 与
△
ACB 相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求 AD，AE 的长．
【练习 6.2】已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将
△
ABE 向
上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则
AD= ．
【即时检测】
3．如图，已知
△
ABC 中，AB=12，BC=8，AC=6，点 D，E 分别在 AB，AC 上，
如果以 A，D，E 为顶点的三角形和以 A，B，C 为顶点的三角形相似，且相似比
为 1：3．
（1）根据题意确定 D，E 的位置，画出简图；
（2）求 AD，AE 和 DE 的长．
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相似的性质二
相似三角形周长的比等于 ．
相似多边形周长的比等于 ．
相似三角形面积的比等于 ．
相似多边形面积的比等于 ．
【例 7】如图，在
△
ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 1
2
AE AD
AB AC
，则
S
△
ADE：S 四边形 BCED 的值为（ ）
A．1： 3 B．1:2 C．1:3 D．1:4
想一想：结论求什么？求面积比可以用什么？你学了什么相似的性质？题中条件
够么？
【练习 7.1】两个相似多边形的面积之比为 1：3，则它们周长之比为 ，相
似比为 ，对应的高的比为 ，对应的角平分线的比为 ，对应的中
线的比为 ．
【练习 7.2】 如图，小明作出了边长为 1 的第 1 个正
△
A1B1C1，算出了正
△
A1B1C1
的面积．然后分别取
△
A1B1C1 三边的中点 A2、B2、C2，作出了第 2 个正
△
A2B2C2，
10
算出了正
△
A2B2C2 的面积．用同样的方法，作出了第 3 个正
△
A3B3C3，算出了正
△
A3B3C3 的面积…，由此可得，第 10 个正
△
A10B10C10 的面积是（ ）
A．
93 1
4 4
B．
103 1
4 4
C．
93 1
4 2
D．
103 1
4 2
相似的性质三
相似三角形 都等于相似比．
【例 8】如图，有一块
△
ABC 材料，BC=15，高 AD=12，把它加工成一个矩形零
件，使矩形的一边 GH 在 BC 上，其余两个顶点 E，F 分别在 AB，AC 上，若 EF=x，
矩形 EFGH 的周长为 y，
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求当矩形 EFGH 的周长为 28 时矩形的面积．
想一想：学了哪两个判定？由已知条件和所学判定能不能得出全等三角形？能否
11
进而得到角度关系？
【练习 8.1】一张等腰三角形纸片，底边长为 15cm，底边上的高长 22.5cm．现
沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸
条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 ．
【即时检测】
4. 如图，有一块
△
ABC 材料，BC=10，高 AD=6，把它加工成一个矩形零件，使
矩形的一边 GH 在 BC 上，其余两个顶点 E，F 分别在 AB，AC 上，那么矩形 EFHG
的周长 l 的取值范围是（ ）
A．0＜l＜20 B．6＜l＜10 C．12＜l＜20 D．2＜l＜26
27.1.3 探索三角形相似的存在性
12
【练习 9】已知如图，D 是
△
ABC（三边互不相等）的边 AC 上的一点，过 D 点
画线段 DE，使点 E 在
△
ABC 的边上，并且点 D、E 和
△
ABC 的一个顶点组成的
小三角形与
△
ABC 相似，则这样的画法有（ ）
【练习 10】如图，Rt
△
ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为 BC 的
中点，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 A→B→A 的方向运动，设 E
点的运动时间为 t 秒（0≤t＜6），连接 DE，当
△
BDE 是直角三角形时，求 t 的值．
【即时检测】
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5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点
E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），
连接EF，当
△
BEF是直角三角形时，t（s）的值为 ．
【练习 11】一次函数 y=－2x+4 与 x，y 轴分别交于 A，B 点，且 C 是 OA 的中点，
则在 y 轴上是否存在点 D，使得以 O，D，C 为顶点的三角形与以 O，A，B 为顶
点的三角形相似?存在，求出 D 点的坐标，不存在，说明理由．
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【练习 12】已知，如图 1：在正方形 ABCD 中，AB=2，点 P 是 DC 延长线上一
点，以 P 为圆心，PD 长为半径的圆的一段弧交 AB 边于点 E，
（1）若以 A 为圆心，AE 为半径的圆与以 BC 为直径的圆外切时，求 AE 的长；
（2）如图 2：连接 PE 交 BC 边于点 F，连接 DE，设 AE 长为 x，CF 长为 y，求
y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）将点 B 沿直线 EF 翻折，使点 B 落在平面上的 B′处，当 EF= 5
3
时，
△
AB′B
与
△
BEF 是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．
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延时检测：
1．如图，在直角三角形 ABC 中（∠C=90°），放置边长分别 3，4，x 的三个正
方形，则 x 的值为（ ）
A．12 B．5 C．6 D．7
2． 已知：如图，
△
PQR 是等边三角形，∠APB=120°，求证：
△
PAQ∽△BPR．
3．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为 C(1,-2)，直线 y kx m 的图象与该
二次函数的图象交于 、A B 两点，其中 A 点坐标为(3,0)， B 点在 y 轴上．点 P 为
线段 AB 上的一个动点（点 P 与点 、A B 不重合），过点 P 且垂直于 x轴的直线与
这个二次函数的图象交于点 E ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点 P 的横坐标为 x,求线段 PE 的长．(用含 x 的代数式表示)；
（3）点 D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点 、 、P E D 为顶
点的三角形与
△
AOB 相似，请求出 P 点的坐标．
16
前情回顾：
4.如图， FE、 分别在矩形 HGABEFABCDABCD 、上，、的边 , 分别是
EFBC、 的中点， HGEH＞ ，除矩形 EFBC 外，图中 4 个矩形都彼此相似，若
1BC ，则 AB 等于（ ）
A. 2 B. 21 2
C. 6
2
D. 31 2
5.在平面之间坐标系中，一次函数 22
1 xy 的图象与 轴轴、yx 分别相交于
BA， 两点，在第一象限内是否存在点 P ，使得以点 P，O，B 为顶点的三角形与
AOB 相似？若存在，请写出所以符合条件的点 P 的坐标．
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27.2 相似模型
相似模型
平行线型
三垂直→一线三等角
相交线型 旋转型
母子型→双垂直
圆与相似的综合
课程导入
相似三角形判定的基本模型
平行线型：
A 字型 X 字型 A、X 混合型
相交线型：
母子型 双垂直（射影定理） 旋转型
三垂直 一线三等角
你能找到每个图中的相似三角形吗？
18
漫漫学
27.2.1 平行线型（A 字型和 X 字型及变形）
添加平行线构造相似
添 构造相似三角形的基本图形。
【例 1】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF=1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，
BC：CD=2：1，连接 FD 与 AC 交于点 N，求 FN：ND 的值．
想一想：找出题目中所有的成比例的线段，要求出的结论是什么？怎样把题目中
已知与所求通过“桥梁”联系起来？如何添加的辅助线？
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【练习 1.1】在
△
ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交
AD 于点 O．
某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1） 当 1 1
2 1 1
AE
AC
时，有 2 2
3 2 1
AO
AD
（如图 1）
图 1 图 2 图 3 图 4
（2）当 1 1
3 1 2
AE
AC
时，有 2 2
4 2 2
AO
AD
（如图 2）
（3）当 1 1
4 1 3
AE
AC
时，有 2 2
5 2 3
AO
AD
（如图 3）
在图 4 中，当 1
1
AE
AC n
时，参照上述研究结论，
请你猜想用 n 表示 AO
AD
的一般结论，并给出证明（其中 n 是正整数）．
【即时检测】
1.若点 D 为 BC 中点，ED 交 AB 于点 F，且 EF:FD=2:3，试求 AF:FB 的值。
20
【练习 1.2】如图所示，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，OE⊥BC 于 E，
连接 DE 交 OC 于点 F，作 FG⊥BC 于 G．
（1）说明点 G 是线段 BC 的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出
BC 的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
21
【练习 1.3】数学课上，张老师出示了问题 1：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，
BC=1，对角线交点记作 O，点 E 是边 BC 延长线上一点．连接 OE 交 CD 边于 F，
设 CE=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式及其取值范围．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线－－过点 O 作 OM⊥BC，垂足为
M 求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题 1 的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC=1”改为“四边形 ABCD
是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图 2），请直接写出条件改变
后的函数解析式；
（3）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC=1”进一步改为：“四
边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中 a，b，c 为常量）”
其余条件不变（如图 3），请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及
相应的推导过程．
22
添加垂线线构造相似
添 构造相似三角形的基本图形。
结论为: 1 1 1
EF AB CD
【例 2】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于
点 E，EF⊥BD，垂足为 F，我们可以证明 1 1 1
AB CD EF
成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过点 E 作 EF
∥AB 交 BD 于点 F，则：
（1） 1 1 1
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明
理由；
（2）请找出 S
△
ABD，S
△
BED 和 S
△
BDC 间的关系式，并给出证明．
想一想：题目给了平行怎样利用？要求出的结论是什么？怎样把题目中已知与所
求通过“桥梁”联系起来？如何添加的辅助线？
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【练习 2.1】如图，在 Rt
△
ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M，N
从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移 动，同
时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，
设移动时间为 t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与
△
ABC 相似？
（2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？
若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说明理由．
24
27.2.2 相交线型
母子型（→双垂直）
由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子型”．
图 1 图 2
当图 1 中∠BAC=90°时，模型由“母子型”就变成“双垂直”．
由图 1 可得： ．
由图 2 可得： ．（射影定理）
【例 3】如图，在 Rt
△
ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交于点 D，
过点 C 作 CE⊥AD 于 E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EG∥BC 交 AB
于 G，AE·AD=16，AB=4 5 ．
（1）求证：CE=EF；（2）求 EG 的长．
想一想：已知条件是否有角平分线？是否出现了垂直？可以哪两个三角形全等？
根据垂直你发现了哪个基本模型，可以利用 AE·AD=16 这个条件解决问题？由
全等得到 E 与线段 CF 什么关系？与题目哪个条件联系起来？
25
【练习 3.1】如图，已知
△
ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，
∠ECF=45°．
（1）求证：
△
ACF∽BEC；
（2）设
△
ABC 的面积为 S，求证：AF·BE=2S．
【即时检测】
2.如图，矩形 ABCD 中，BE⊥AC 于点 F，E 恰好是 CD 的中点，
求证：BF2= 1
2 AF2．
26
旋转型
通过“旋转型”相似三角形的特征：
1、 由一点发出四条线段对应成比例； AB AC
AD AE
2、 两对相似三角形； ABC ADE ABD ACE ∽ 和 ∽
3、 BD AB AD
CE AC AE
旋转型的几何模型图：
【例 2】 如图 1，两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上，
2DE ， 1AB ．将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45，交直线 AD 于点
M ．将图 1 中的三角板 ABC 沿直线l 向右平移，设C 、 E 两点间的距
离为k ．
图 1 图 2 图 3
解答问题：
（1）①当点C 与点 F 重合时，如图 2 所示，可得 AM
DM
的值为 ；
②在平移过程中， AM
DM
的值为 （用含k 的代数式表示）；
（2）将图 2 中的三角板 ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不
变．当点 A 落在线段 DF 上时，如图 3 所示，请补全图形，计算 AM
DM
的值；
（3）将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 度，0 ≤90，原题中的
其他条件保持不变．计算 AM
DM
的值（用含 k 的代数式表示）．
27
想一想：通过题意，可以得到平行吗？通过转化线段的比，可以求出第一问。先
补全图形，连接 AE ，可以求出哪些线段的值？先画出图形，很容易发现哪两对
三角形全等？推出了哪对线段平行？发现了哪对三角形相？
【练习 3.1】（2014 门头沟一模 24）已知：在
△
ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D
是 AB 边上任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转α与过点 A 且平行于 BC 边
的直线交于点 E.
（1）如图 1，当α=60°时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系；
___________；
（2）如图 2，当α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图 3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 BD 与 AE
之 间 的 数 量 关 系 ： _______________________ ．（ 用 含 α 的 式 子 表 示 , 其 中
0 90a ）
图 1 图 2 图 3
28
【即时检测】
3．如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，求 AG：DF：CE=_________．
三垂直（→一线三等角）
根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的
线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角
平线两侧出现全等三角形。
三垂直（→一线三等角）的几何模型：
三垂直 一线三等角
29
【例 4】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB =CD，AD∥BC，AD=3 ㎝，BC=7 ㎝，
∠B=∠C =60°，P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合），连结 AP，过 P 点作 PE
交 DC 于 E，使得∠APE=∠B．
（1）求证：
△
ABP∽△PCE；
（2）在底边 BC 上是否存在一点 P，使得 DE∶EC=5∶3?如果存在，求出 BP 的
长，如果不存在，请说明理由．
想一想：图中都有哪些角相等？通过角等，你发现了哪两个三角形相似？
【练习 4.1】如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE，过点 E 作
EF⊥AE 交 DC 于点 F，连接 AF．设 AB kAD
，下列结论：
（1）
△
ABE∽△ECF，（2）AE 平分∠BAF，（3）当 k=1 时，
△
ABE∽△ADF，其
中结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
30
【即时检测】
4．如图，边长 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G
分别在 AB、BC、FD 上．若 BF=3，求小正方形的边长．
【练习 4.2】在 Rt
△
ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点 D 在 BC 所在的直线上
运动，作∠ADE=45°（A，D，E 按逆时针方向）．
（1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上运动，DE 交 AC 于 E．
①求证：
△
ABD∽△DCE；
②当
△
ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长．
（2）①如图 2，若点 D 在 BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与 AC 的延长
线相交于点 E，是否存在点 D，使
△
ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有
点 D 的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图 3，若点 D 在 BC 的反向延长线上运动，是否存在点 D，使
△
ADE 是
等腰三角形？若存在，写出所有点 D 的位置；若不存在，请简要说明理由．
31
27.2.1 圆与相似的综合练习
【练习 1】已知 AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点（不与 A、B 重合），过点 C
作圆O的切线 CD，过 A 作 CD 的垂线，垂足是 M 点．
（1）如图左，若 CD∥AB，求证：AM 是圆 O 的切线．
（2）如图右，若 6AB ， 4AM ，求 AC 的长．
【练习 2】已知：如图，在 Rt
△
ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 上的点 O 为圆心，
OB 的长为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D．
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：∠ADE＝∠ABD；
（3）设 AD＝2，AE＝1，求⊙O 直径的长．
32
【即时检测】
5．如图，AE 是⊙O 直径，D 是⊙O 上一点，连结 AD 并延长使 AD=DC，连结
CE 交⊙O 于点 B，连结 AB．过点 E 的直线与 AC 的延长线交于点 F，且∠
F=∠CED．
（1）求证:EF 是⊙O 切线；
（2）若 CD=CF=2，求 BE 的长．
33
延时检测:
1．在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），
点 D 的坐标为（0，2）．延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1
交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第 2010 个正方形
的面积为（ ）
A．5×（ 3
2
）2009 B．5×（ 9
4
）2010 C．5×（ 9
4
）2008 D．5×（ 3
2
）4018
2．等边
△
ABC 边长为 6，P 为 BC 边上一点，∠MPN=60°，且 PM、PN 分别交边
AB、AC 于点 E、F．
（1）如图 1，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PE⊥AB，设 BP=x，四边形 AEPF
面积的 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且∠MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，
求 PE 的长．
34
3．如图所示，⊙O 的内接
△
ABC 中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC 并交
BC 的延长线于 D 点，OC 交 AB 于 E 点．
(1)求∠D 的度数；
(2)求证：AC2＝AD·CE．
(3)求 BC
CD
的值．
35
前情回顾：
4.如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP=1，点 D 为
AC 边上一点，若∠APD=60°，则 CD 的长为（ ）
A. 1
2 B. 2
3 C. 3
4 D.1
C
1
B
1
O
A
1
A
C
B
5. 如图，
△
ABC 和
△
A1B1C1 均为等边三角形，点 O 既是 AC 的中点，又是 A1C1
的中点，则 AA1∶BB1= .
36
27.3 相似三角形的应用
相似模型
应用
测距
测高
位似
课程导入
怎样测量非常高大物体的高度？ 怎样测量河宽？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
漫漫学
27.3.1 相似的应用
应用——测高
测高: 顶部的物体的高度，通常用如下方法构造 ．
如：“在同一时刻物高与影长的比例”，“借助标杆测物体高度”，“利用平面镜测
量物体的高度”等．
37
【例 1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直
到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 m18 ，已知小
明的身高是 m6.1 ，他的影长是 m2 ．
（1）图中 ADEABC 与 是否相似?为什么?
（2）求古塔的高度．
想一想：刚才你在做题中发现了哪两个三角形相似？
【练习 1.1】
阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学测量学校旗杆 AB 的高度（如图），发现
旗杆 AB 的影子刚好落在水平面 BC 和斜坡的CD 上，其中 48BC 米， 4CD 米，
斜坡CD 的坡角为 30 ．同一时刻，测得高为1米标杆的影长是 5.2 米．求出旗杆
AB 的高度？（结果精确到 01.0 米）
38
【即时检测】
1.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的
竹竿的影长为 8.0 米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全
落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为 2.1 米，落
在地面上的影长为 4.2 米，则树高为多少米？
【例 2】 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 AB 为15米（如图），
然后在 A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 AC 为3米，则楼高为 ．
39
想一想：刚才你在做题中怎样将实际问题转为数学模型的？
【练习 2.1】在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆 AB 的高度．他手拿
一支铅笔 MN ，边观察边移动（铅笔 MN 始终与地面垂直）．如示意图，当小明
移动到 D 点时，眼睛C 与铅笔、旗杆的顶端 AM, 共线，同时，眼睛C与它们的
底端 BN, 也恰好共线．此时，测得 mDB 50 ，小明的眼睛 C 到铅笔的距离为
m65.0 ，铅笔 MN 的长为 m16.0 ，请你帮助小明计算出旗杆 AB 的高度（结果精
确到 m1.0 ）．
【即时检测】
2. 如图，王华晚上由路灯 A下的 B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继
续往前走2米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为2 米，已知王华的身高是 5.1 米，
那么路灯 A的高度等于多少？
40
应用——测距
测距:不能直接到达的 ，常构相似三角形求解.
【例 3】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A ，在近岸取点
DCB ,, ，使得 BCCDBCAB , ，点 E 在 BC 上，并且点 DEA ,, 在同一条直线
上．若测得 20mCD,10mCE,20mBE ，求河的宽度 AB ？
想一想：刚才你在做题中怎样将实际问题转化为数学模型的？
【练习 3.1】如图， BA、 两点被池塘隔开，在 AB 外任选一点C，连接 BCAC, 分
别取其三等分点 NM、 ，量得 mMN 38 ．则 AB 的长是（ ）
D.152mC.114mB.104mA.76m
41
【练习 3.2】已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m 和 CD=12m，两树
的根部的距离 BD=5m，一个身高 1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从
左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看的右边较高的树
的顶端点 C？
【即时检测】
3.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小
明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程
约为多少？
42
27.3.2 位似
位似的概念及性质
定义：如果两个图形不仅 ，而且 ， ，像
这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做
性质：
位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于 ；
对应点连线交于一点；
位似图形是一种特殊的 ，而相似图形不一定构成位似关系；
位似图形中不经过位似中心的 .
【例 4】(1)请指出下列图形哪些是位似图形？并指出位似图形的位似中心？
(2)已知，如图， BCCBABBA ∥，∥ ，且 3:4AA:AO ，则 ABC 与
是位似图形，位似比为 ； OAB 与 是位似图形，位似比
为 ．
想一想：刚才你在做题中，请叙述位似图形和相似图形的联系与区别？
43
【练习 4.1】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点 M B.点 N C.点 O D.点 P
【例 5】在平面直角坐标系 xoy 中，已知 2,2,2,4 BA ，以原点O为位似中心，
按位似比 2:1 把 OAB 缩小，则点 A的对应点 A的坐标为（ ）
122,1D.133,1C.2,-1-B.3,1A. ，或，或
想一想：刚才你在做题中请叙述位似图形和相似图形的联系与区别？
【即时检测】
试题编码：BJGXH—SX090214—SJ01
4.如图，已知点 11,2,4 ，点FE ，以O为位似中心，把 EFO 放大为原来的 2
倍，则 E 点的对应点坐标为（ ）
48,D.2,1C.488,-4B.1212,A. ，或，或
44
【例 6】正方形 ABCD的两边 ABBC, 分别在平面直角坐标系的 x 轴、 y 轴的正半
轴上，正方形 DCBA 与正方形 ABCD 是以 AC 的中点O为中心的位似图形，已
知 23AC ，若点 A的坐标为 2,1 ，则正方形 DCBA 与正方形 ABCD 的相似
比是 .
想一想：刚才你在做题中两个正方形有什么关系？
【练习 6.1】等腰直角 ABC 的两直角边 ABBC, 分别在平面直角坐标系内的 x 轴、
y 轴的正半轴上，等腰直角 MNP 与等腰直角 ABC 是以 AC 的中点O 为中心的
位似图形，已知 26AC ，若点 M 的坐标为 4,2 ，则 MNP 与 ABC 的相似比
是（ ）
【练习 6.2】下面的说法对吗？为什么？
（1）分别在 ABC 的边 ACAB, 上取点 ED, ，使 BCDE∥ ，那么 ADE 是 ABC
缩小后的图形；
（2）分别在 ABC 的边 ACAB, 的延长线上取点 ED, ，使 BCDE ∥ ，那么 ADE
是 ABC 放大后的图形；
（3）分别在 ABC 的边 ACAB, 的反向延长线上取点 ED, ，使 BCDE ∥ ，那么
ADE 是 ABC 缩小后的图形.
45
作位似图形
第一步：确定
第二步：分别连接并延长 和能代表原图的关键点.
第三步：根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点.
第四步：顺次连接截取点。得到放大或缩小的图形即符合要求的新图形.
简记方法：（1）选点；（2）作射线；（3）定对应点；（4）连线.
【例 7】如图，请以点O为位似中心，位似比为 2，将 ABC 放大，画出放大后
的图形 CBA .
想一想：刚作位似图形的步骤是什么？
【练习 7.1】如图， ABC 的三个顶点坐标分别为 11-C13-B4,2A ，、，、 ，以坐
标原点O 为位似中心，相似比为 2 ，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到
△A′B′C′．
（1）画出放大后的 CBA ，并写出点 CBA 、、 的坐标．（点 CBA 、、 的对
应点为 CBA 、、 ）
（2）求 CBA 的面积．
46
【例 8】如图 ABC 中， cmCDcmAB 60,80 高 ，矩形 EFGH 中 FE、 在 AB 边
上，G 在 BC 边上， H 在三角形内，且 1:2: GFEF .
（1）在 ABC 内画出矩形 EFGH 的位似形，使其顶点在 ABC 的边上．（保留作
图痕迹）
（2）求所作的矩形的面积．
想一想：作位似图形的定义是什么？所画矩形的长与宽的比是多少？
【即时检测】
5.如图，正 ABC 的边长为3 3 .
（1）如图，正方形 EFPN 的顶点 FE、 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正 ABC
及其内部，以点 A为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 NPFE ，且使正
方形 NPFE 的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形 NPFE 的边长.
47
延时检测:
1． 如图电灯 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 ,, CDABCD ∥ ，
mCDmAB 5,2 ，点 P 到CD 的距离是 m3 ，则 P 到 AB 的距离是（ ）
mmmm 5
6D.3
10C.7
6B.6
5A.
2．如图，小华家（点 A处）和公路（ L）之间竖立着一块 m35 长且平行于公路
的巨型广告牌（ DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A的盲区，
并将盲区内的那段公路设为 BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段 BC
的时间是 s3 ，已知广告牌和公路的距离是 m40 ，求小华家到公路的距离．
3．如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边 mmADmmBC 80,20 高 ，要把它
加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上，
这个正方形零件的边长是多少？
48
前情回顾：
4．已知线段 DE 分别交 ABC 的边 AB 、AC 于 D 、E ，且
2
3
DE
BC
AE
AC
AD
AB ，
ABC 的周长是 cm6 ，面积是 22cm ，求 ADE 的周长和面积.
A
B C
D E
5. 如图，点 C、D 在线段 AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.
(1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
(2)当ΔPDB∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.
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