注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（2021·浙江高一月考）已知集合 1,0,1,2 , { 1 2}A B x x ∣ ，则 A B （ ）
A． 0,1 B． 1,1 C． 1,0,1 D． 0,1,2
【答案】A
【解析】
由题意求出集合的交集即可.
【详解】
由题意 1,0,1,2 , { 1 2}A B x x ∣ ，
所以 0,1A B ，
故选：A.
2．（2021·全国高三月考（理）） (2 5i)(1 2i) （ ）
A． i12 B． 12 i C．12 i D．12 i
【答案】D
【解析】
直接利用复数的乘法运算求解.
【详解】
因为 (2 5i)(1 2i) 2 5i 4i 10 12 i ，
故选：D
3．（2021·浙江高三专题练习）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家他提出的“幂势既同，则积不容异”称为
祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V sh柱体 ，其中 s 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体
的正视图侧视图三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
根据三视图还原几何体，然后根据体积公式计算即可.
【详解】
根据题干的三视图可知该几何体为底面为直角梯形的直四棱柱
如图所示：
所以体积为
1 1 1 1
1 2 2 2 62ABCD A B C DV
故选：C
4．（2021·江苏高一月考）已知角 终边上一点 M 的坐标为 (1, 3) ，则 cos2 等于（ ）
A． 1
2
B． 1
2 C． 3
2
D． 3
2
【答案】A
【解析】
根据题意，结合 所在象限，得到 cos 的值，再根据二倍角公式，求得答案.
【详解】
由角 终边上一点 M 的坐标为 1, 3 ，
得 3sin 2
， 1cos 2
，
故 2 1 1cos2 2cos 1 12 2
，
故选：A.
5．（2021·山东高三专题练习）饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早
出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，
每个小方格的边长为1，有一点 P 从 A 点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性
的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 B 的概率为（ ）
A． 1
16 B． 1
8
C． 1
4 D． 1
2
【答案】B
【解析】
本题首先可根据题意列出3次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点 B 的事件，最后根
据古典概型的概率计算公式即可得出结果.
【详解】
点 P 从 A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，3次跳动的所有基本事件有：
（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，
右）、（下，下，下），
沿着饕餮纹的路线到达点 B 的事件有：（下，下，右），
故到达点 B 的概率 1
8P ，
故选：B.
6．（2019·福建省宁德第一中学高一月考）函数 tan 0f x x 的图象的相邻两支截直线 1y
所得的线段长为
3
，则
12f
的值是
A．0 B． 3
3
C．1 D． 3
【答案】C
【解析】
根据题意可知函数周期为
3
，利用周期公式求出 ，计算即可求值.
【详解】
由正切型函数的图象及相邻两支截直线 1y 所得的线段长为
3
知，
3T
，
所以 3 ，
( ) tan( 3 ) tan 112 12 4f ，故选 C.
7．（2021·全国高三其他模拟）已知圆C ： 2 23 2 16x y ，直线l ： y x t 与圆C 交于 A ，B 两
点，且 ABC 的面积为 8，则直线l 的方程为( )
A． 3y x 或 5y x B． 3y x= + 或 5y x
C． 3y x= + 或 5y x D． 3y x 或 5y x
【答案】C
【解析】
由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解.
【详解】
由圆 C 的方程可得圆心C 的坐标为 3,2 ，半径为 4．∵ ABC 的面积为 1 4 4sin 82 ACB ，
∴ 90ACB ，∴ CB CA，∴点C 到直线 AB 的距离为 2 2 ．
由点到直线的距离公式可得点C 到直线 AB 的距离为 1 2 2
2
t ，
∴ 3t 或 5t ，∴l 的方程为 3y x= + 或 5y x .
故选：C．
8．（2021·全国高三专题练习）已知函数 f(x)＝
1
3
3 1,
,log 1
x x
x x
则函数 y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由 f x 得到 1f x 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.
【详解】
因为函数 f x
1
3
3 , 1
log , 1
x x
x x
，
所以函数 1f x
1
1
3
3 , 0
log 1 , 0
x x
x x
，
当 x＝0 时，y＝f(1)＝3，即 y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除 A；
当 x＝－2 时，y＝f(3)＝－1，即 y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除 B；
当 0x 时， 1
3
1 1, (1 ) log 1 0x f x x ，排除 C，
故选：D．
9．（2021·四川成都市·树德中学高二月考（文））已知 ( ) sinf x x x ，若 [1,2]x 时，
2 (1 ) 0f x ax f x ，则 a 的取值范围是（ ）
A． ( ,1] B．[1, ) C． 3 ,2
D． 3, 2
【答案】C
【解析】
根据已知条件先判断出函数的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“ 1 1a x x
对 1,2x 恒成立”，借
助对勾函数的单调性即可求解出 a 的取值范围.
【详解】
因为 ( ) sinf x x x ，所以 sin sinf x x x x x f x ，
且定义域为 R 关于原点对称，所以 f x 是奇函数，
又因为 1 cos 0f x x ，所以 f x 在 R 上单调递增，
又因为 2 1 0f x ax f x ，所以 2 1f x ax f x ，
所以 2 1x ax x 对 1,2x 恒成立，所以
2 11 xa x
对 1,2x 恒成立，
所以 1 1a x x
对 1,2x 恒成立，所以
max
1 1a x x
即可，
又由对勾函数的单调性可知 1 1y x x
在 1,2 上单调递增，所以 max
1 32 12 2y ，
所以 3
2a ，即 3 ,2a
，
故选：C.
10．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，以
原点 O 为圆心， 1OF 为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点 A ，若 1 6OAF ，则双曲线 C 的离心率
为（ ）
A． 2 B． 2 1 C． 3 D． 3 1
【答案】D
【解析】
由题意可得 1 2 2F AF ，且 2AOF△ 是等边三角形，所以 2AF c ， 1 1 2 sin 3AF F F 3c ，再根据
双曲线的定义得 1 2 3 2AF AF c c a ，由 ce a
即可求解.
【详解】
如图，设双曲线C 的半焦距为 c .
若 1 6OAF ，因为以原点O 为圆心，
1OF 为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点 A ，
所以 1 2 2F AF ，所以 1| |OA OF ，
所以 1 1 6OF A OAF ，所以 2 1 1 3AOF OF A OAF ，
又 2| |OA OF ，则 2AOF△ 是等边三角形，
则 2AF c ，则 1 1 2 sin 3AF F F 32 32c c ，
再根据双曲线的定义得 1 2 3 2AF AF c c a ，得 ( 3 1) 2c a ，
所以 2 2( 3 1)
3 1 ( 3 1)( 3 1)
c
a
3 1 .
故选：D
11．（2021·浙江高一期末）在 ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边， 13, 3a c ，且
2 2 22 sin 3ab C b c a ，则 ABC 的面积为（ ）
A． 3 3
2
B．3 3 C． 3 D． 6 3
【答案】B
【解析】
根据正弦定理，余弦定理求出 A，b,利用三角形面积公式求解.
【详解】
2 2 22 sin 3ab C b c a ，
2 2 22 sin 32 2
ab C b c a
bc bc
，
即 sin 3 cosa C Ac
，
由正弦定理可知，sin 3cosA A ，
即 tan 3A ，所以
3A ，
由余弦定理 2 213 3 2 3 cos 3b b ，
解得 4b （负值舍），
故三角形面积为 1 1 3sin 4 3 3 32 2 2bc A ，
故选：B
12．（2021·全国高三其他模拟）已知球O 是正四面体 SABC 的外接球， E 为线段 BC 的中点，过点 E 的平
面 与球O 形成的截面面积的最小值为 6 ，则正四面体 SABC 的体积为（ ）
A．9 3 B．12 3
C． 6 3 D．8 3
【答案】D
【解析】
设外接球的半径为 R ，截面面积最小时截面圆的半径为 r ，AB a= ， ABC 外接圆的圆心为O ，易知 EO
平面 时，截面面积最小，求得截面圆的半径，然后在 , ,Rt OO B Rt OO E Rt OBE ，利用勾股定理求
得四面体的边长即可.
【详解】
如图所示：
易知 EO 平面 时，截面面积最小.
设外接球的半径为 R ，截面面积最小时截面圆的半径为 r ， AB a= ， ABC 外接圆的圆心为 O ，
则 2 2 2R O O O B ， 2 2 2OE O O O E ，
所以 2 2 2 2 2r R OE O B O E .
由 2 6r ，解得 6r ，
则
2 2
3 36 3 6a a
，
解得 2 6a .
又正四面体的高为
2
2 3 6' 3 3h SO a a a
，
所以正四面体 SABC 的体积 32 31 1 3 6 2 2 2 6 8 33 3 4 3 12 12V Sh a a a ，
故选：D.
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．（2021·云南高三二模（理））已知 a
，b
都是平面向量.若 (1, 1)a ， (3, 2)a b ，则 a b ________.
【答案】 3
【解析】
先由 ( )b a a b 求出b
，再求出 a b .
【详解】
因为 ( ) (1, 1) (3, 2) ( 2,1)b a a b ，所以 (1, 1) ( 2,1) 3a b
.
故答案为： 3 .
14．（2021·全国高一课时练习）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七
千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几
何？”依分层抽样的方法，则北乡共有______人．
【答案】8100
【解析】
先设出北乡人，再根据分层抽样的方法列出式子，即可求解.
【详解】
解：设北乡有 x 人，
根据题意得：108 300 108
7488 6912x
，
解得： 8100x ，
故北乡共有8100 人.
故答案为：8100 .
15．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三一模（文））设实数 ,x y 满足约束条件
0
2
3 6 0
x y
x y
x y
，则
2 3z x y 的最大值为___________.
【答案】15
【解析】
画出不等式组表示的可行域，然后可得答案.
【详解】
不等式组表示的可行域如下：
2 3z x y 可变形为 2
3 3
zy x
所以由图可得当直线 2
3 3
zy x 过点 3,3A 时， z 最大，最大值为 15
故答案为：15
16．（2021·全国高三其他模拟）函数 ( )f x 满足 x R ， ( ) (8 )f x f x 且 ( ) (16 ) 0f x f x ，当
0,4x 时， 1
2( )f x x ，则 (2) (4) 6 2020f f f f ___________.
【答案】 2 2
【解析】
根据已知条件判断出函数为周期函数并求解出周期，然后计算出 2 4 16f f f 的值，再结合
周期性将问题转化为计算 2 4f f 的值，结合 0,4x 时 1
2( )f x x 可求解出结果.
【详解】
∵ ( ) (8f x f x ，∴ 8 16f x f x ，
∵ ( ) (16 ) 0f x f x ，∴ 8 0f x f x ，∴ 8 0f x f x ，
∴ 8 8f x f x ，∴ 16f x f x ，
∴ ( )f x 为周期函数，周期 16T ，且 0 16 2 14 4 12 ... 8 0f f f f f f f ，
0 0f
∴ (2) (4) (6) (16) 0f f f f .
∵当 0,4x 时， 1
2y x ，则 (2) 2f ， (4) 2f ，
∴ 2 4 6 2020 0 126 2018 2020 2 4 2 2f f f f f f f f .
故答案为： 2 2 .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21 题为必考题，每个
考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．（2021·辽宁高三月考）已知数列 na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，
1n nT b 且 1 12a b ， 8 33a a ．
（1）求数列 na ， nb 的通项公式；
（2）求数列 n na b 的前 n 项和 nQ ．
【答案】（1） 2 1na n ； 1
2
n
nb
；（2） 2 33 2n n
nQ ．
【解析】
（1）根据 1n nT b ，利用数列通项与前 n 项和的关系 1
1
, 1
, 2n
n n
T nb T T n
求解；由 8 33a a ，解得公差
d，再由 1 12 1a b ，写出通项公式；
（2）由（1）得到 1(2 1) 2
n
n na b n
，然后利用错位相减法求解.
【详解】
（1）设等差数列 na 的公差为 d ，
因为 1n nT b ，
当 1n 时， 1 1 11T b b ，
所以 1
1
2b ；
当 2n 时， 1 11 (1 )n n n n nb T T b b
整理得
1
1
2
n
n
b
b
，
所以数列 nb 是首项为 1
2
，公比为 1
2
的等比数列，
故 1
2
n
nb
．
由 8 33a a ，得1 7 3 (1 2 )d d ，
解得 2d ．
又 1 12 1a b ，
所以 2 1na n ．
（2）由（1）可知， 1(2 1) 2
n
n na b n
，
所以
2 31 1 1 11 3 5 (2 1)2 2 2 2
n
nQ n ，①
则
2 3 4 11 1 1 1 11 3 5 (2 1)2 2 2 2 2
n
nQ n
，②
① ②得
2 3 11 1 1 1 1 11 2 2 2 (2 1)2 2 2 2 2 2
n n
nQ n
,
1
1
1 114 21 12 (2 1)12 21 2
n
n
n
,
13 1(2 3)2 2
n
n
所以 2 33 2n n
nQ ．
18．（2021·全国高三专题练习）2020 年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟 2020 年
的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了
该校的100名学生(男生与女生的人数之比为1:1)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80 分视为满意.
其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于 70 分的频率为 0.85.
（1）求b 的值，并估计100名学生对线上课程评分的平均值;(每组数据用该组的区间中点值为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下 2 2 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意
与性别有关”.
性别
态度
满意 不满意 合计
男生
女生 15
合计 100
附：随机变量
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
2
0P K k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） 0.04b ，80；（2）表格见解析，能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
【解析】
（1）先由题中条件，求出 a ，b 的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以该组的频率，再求和，
即可得出平均数；
（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出 2K ，进而可判断出结果.
【详解】
(1）由已知得 0.015 0.03 10 0.85b ，解得 0.04b ，
又 0.005 10 1 0.85a ，解得 0.01a ，
所以评分的平均值为55 0.05 65 0.1 75 0.3 85 0.4 95 0.15 80
(2）由题意可得， 2 2 列联表如下表:
性别
态度
满意 不满意 合计
男生 20 30 50
女生 35 15 50
合计 55 45 100
因此 2
2 100 20 15 35 30 9.091 6.63555 45 50 50K
能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”
19．（2021·全国高一单元测试）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M
是 CD 上异于 C ， D 的点．
（1）证明：平面 AMD 平面 BMC ；
（2）在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 //MC 平面 PBD ，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．
【解析】
（1）先证 BC DM ，再证CM DM ，即证 DM 平面 CMB ，即可证明平面 AMD 平面 BMC ；
（2）存在中点 P ；连接 ,AC BD ， AC BD O ，证明 / /MC OP 即可．
【详解】
（1）∵平面CMD 平面 ABCD ，平面 MDC 平面 ABCD CD ，
BC CD ， BC 平面 ABCD ，∴ BC ⊥ 平面CMD ， DM 平面 CMD ，∴ BC DM ，
∵CD 为直径，∴CM DM ， BC CM CI ， ,BC CM 平面 BMC ，
∴ DM 平面 BMC ， DM 平面 AMD ，
∴平面 AMD 平面 BMC ；
（2）存在．当 P 为 AM 中点时， / /MC 平面 PBD ，
证明如下：连 AC ， BD ， AC BD O ，
∵ ABCD 为正方形，∴O 为 AC 中点，
连接 OP ， P 为 AM 中点，∴ / /MC OP ，
∵ MC 平面 PBD ，OP 平面 PBD ，
∴ / /MC 平面 PBD ．
20．（2021·四川绵阳市·高三三模（理））已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 2
2
，右焦点为 F ，
上顶点为 A ，左顶点为 B ，且 | | | | 10 5 2FA FB .
（1）求椭圆的方程；
（2）已知 4,0C ， 4,0D ，点 P 在椭圆上，直线 PC ， PD 分别与椭圆交于另一点 M ， N ，若
CP CM ， DP DN ，求证： 为定值.
【答案】（1）
2 2
110 5
x y ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）先表示出 ,FA FB ，然后计算出 FA FB ，结合离心率公式 ce a
和 2 2 2a b c 求解出 2 2,a b 的值，
则椭圆方程可求；
（2）设出 , ,P M N 的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到 , 的关系式①，再通过点差法分别求
得 , 满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得 , 的关系式④，再结合关系式①可证
明 为定值.
【详解】
解： 1 设 ,0F c .由题意得 | |FA a ，| |FB a c ， 2
2
c
a
， 2 2 2a b c ，
| | | | 10 5 2FA FB a a c .
解得 2 10a ， 2 5b .
椭圆的方程为
2 2
110 5
x y .
2 设 0 0,P x y ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y .
由CP CM ， DP DN ，
得 0 0 1 14, 4,x y x y ， 0 0 2 24, 4,x y x y ，
0 1
0 1
4 1 ,
,
x x
y y
， 0 2
0 2
4 1 ,
,
x x
y y
1 2 8 4x x ，①
又点 P ， M ， N 均在椭圆上，
由
2 2
0 0
2 2 2 2
21 1
1,10 5
,10 5
x y
x y
且 0 1,y y 得 0 1 0 1 2110
x x x x ，
0 1
5 12x x .②
同理，由
2 2
0 0
2 2 2 2
22 2
1,10 5
,10 5
x y
x y
且 0 2 ,y y 得 2 20 0 2110
x x x x
0 2
5 12x x .③
联立②③得 1 2
5 52x x .④
联立①④得 26
3
，
为定值 26
3 .
21．（2021·浙江高二期末）设函数 1 lnf x x x x ．
（1）求函数 f x 在点 1, 1f 处的切线方程；
（2）当 1,x e 时，求证： 31 2f x
【答案】（1） y x ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出 1f 、 1f 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）当 1,x e 时，利用导数证明出 min 1f x ， max
3
2f x ，由此可证得结论成立.
【详解】
（1） 1 lnf x x x x ， 1 11 ln lnxf x x xx x
，
1 1f ， 1 1f ，
因此，函数 f x 在点 1, 1f 处的切线方程为 1 1y x ，即 y x ；
（2）函数 f x 的定义域为 0, ，且 1 lnf x xx
.
令 1 lng x xx
，其中 0x ，则 2
1 1 0g x x x
，
所以，函数 f x 在 0, 上为减函数，
1 1 0f ， 12 ln 2 ln ln 2 02f e ，
所以，存在 1,2t 使得 1 ln 0f t tt
，即 ln 1t t .
当1 x t 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增；
当t x e 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递减.
所以，当 1,x e 时， max
1 11 ln 1tf x f t t t t t tt t
.
令 1 1h t t t
，其中 1,2t ，
2
2 2
1 11 0th t t t
，
所以，函数 h t 在 1,2 上为增函数，则 max
1 31 2 2f x t ht
，
1 1f ， 1 ln 1f e e e e ，则当 1,x e 时， min 1f x .
综上所述，当 1,x e 时，求证： 31 2f x .
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 f x g x （或 f x g x ）转化为证明 0f x g x （或
0f x g x ），进而构造辅助函数 h x f x g x ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（2021·黑龙江大庆市·高二开学考试（文））以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系.已知曲线 2C : 2 (sin 3cos )
（1）求曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）已知直线 l 的参数方程为
3 cos4
1 sin4
x t
y t
(t 为参数， 0 )，曲线 2C 截直线 l 所得线段的中点
坐标为 3 1,4 4
，求 的值.
【答案】（1） 2 2 3 0x y x y ；（2） 2
3
.
【解析】
（1）将 cos , sinx y 代入极坐标方程转化即可；（2）将 l 的参数方程代入 2C 的直角坐标方程，
可得t 的一元二次方程，求出 1 2t t ，又直线所过的点即为交点的中点，所以有 1 2 0t t ，解出 值即可.
【详解】
2 (sin 3cos ) ，
又由 cos , sinx y ，
所以 2C 的直角坐标方程为 2 2 3 0x y x y .
（2）将 l 的参数方程代入 2C 的直角坐标方程，整理得 2 3 1 3cos sin 02 2 4t t
，
可得 1 2
3 1cos sin2 2t t ，
又由直线l 的参数方程经过点 3 1( , )4 4
即为线段的中点，由直线参数方程的几何意义可知 1 2 0t t ，
即 3 1cos sin 02 2
，即 tan 3 ，
因为 0 ，所以 2
3
.
23．（2021·甘肃高三二模（文））已知函数 2 2 1f x x x ， xR .
（1）求函数 f x 的图象与直线 6y 围成区域的面积；
（2）若对于 0m ， 0n ，且 4m n 时，不等式 f x mn 恒成立，求实数 x 的取值范围.
【答案】（1） 6；（2） 4, 0,3
.
【解析】
（1）作出函数 ( )f x 的图象与直线 6y ，得到围成的区域是 ABC ，根据三角形的面积公式计算可得结
果；
（2）根据基本不等式求出 mn 的最大值，将恒成立转化为最大值可得 2 2 1 4x x ，再分类讨论去绝
对值可求出结果.
【详解】
（1）由
3 , 1
4, 1 2
3 , 2
x x
f x x x
x x
与 6y 围成的区域是 ABC ，如图所示，
其中 2,6A ， 1,3B ， 2,6C ，
所以 4AC ， B 到直线 AC 的距离为 3，
故所求面积为 1 4 3 62ABCS △ .
（2）因为 0m ， 0n ，且 4m n ，
所以
2
2
m nmn
，即 4mn ，
若不等式 f x mn 恒成立，则有 maxf x mn ，
即 4f x ，解不等式 2 2 1 4x x ，
可得 1
3 4
x
x
或 1 2
4 4
x
x
或 2
3 4
x
x
，
解之得 4
3x 或 0x ，
所以实数 x 的取值范围为 4, 0,3
.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若 ( )k f x 在[ , ]a b 上恒成立，则 max( )k f x ；
②若 ( )k f x 在[ , ]a b 上恒成立，则 min( )k f x ；
③若 ( )k f x 在[ , ]a b 上有解，则 min( )k f x ；
④若 ( )k f x 在[ , ]a b 上有解，则 max( )k f x .
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