绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(一)
本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，答案写在答题
卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第 I 卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合 A＝{x|y＝log2(4－x)，B＝{x|x>1}，则 A∩B＝
A.(1，4) B.(1，4] C.(4，＋∞) D.(1，＋∞)
2.已知复数 z 满足 z·(1－i)＝12，则|z－1|＝
A.6 2 B.5 C. 61 D.61
3.焦点在 x 轴上的双曲线 C1 与双曲线 C2：
2 2
14 9
x y 共渐近线，若 C1 的实轴长为 12，则 C1
的焦距为
A.3 B.6 C.2 13 D.4 13
4.猎豹又称印度豹，是猫科动物的一种，它是陆地上跑得最快的动物.现有一只猎豹体长 110
厘米，肩高 90 厘米，它在一次匀速奔跑中，10 秒钟所跑的路程超过它的体长的 270 倍，但少
于它的肩高的 340 倍，则这只猎豹的速度可能为
A.100 千米/时 B.108 千米/时 C.115 千米/时 D.120 千米/时
5.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q>1，a2＋a3＝12，a2a3＝32，则 S6＝
A.63 B.126 C.128 D.254
6.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人以美的享受。如图 1 为一花窗；图 2 所示
是一扇窗中的一格，呈长方形，长 30cm，宽 26cm，其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形
木料做成，由两个相同的菱形和六根支条构成，并成轴对称图形，设菱形的两条对角线长分
别为 10cm 和 22cm。现从图 2 的窗芯中随机取一点，则该点取自菱形外的概率为
A. 67
78 B. 11
39 C. 22
39 D. 28
39
7.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，F 是 AE 的中点，则 DF
＝
A. 1 1AB BC4 2
B. 1 1AB BC4 2
C. 1 1AB BC4 2
D. 1 1AB BC4 2
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 s 为
A. 9
19 B.18
19 C. 10
21 D. 20
21
9.在我国古代数学专著《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称作“堑堵”。如图，
三棱柱 ABC－A1B1C1 为“堑堵”，其中 AB＝BC，AC＝ 2 AA1，点 E，F 分别为棱 BB1，A1C1
的中点。过点 A，E，F 作一截面，记该截面所在平面与平面 BCC1B1 的交线为 l，则直线 l 与
直线 AA1 所成的角的余弦值为
A. 3 13
13 B. 4 13
13 C. 4
13 D. 9
13
10. 过 抛 物 线 C ： y2 ＝ 16x 的 焦 点 F 作 直 线 l ， 交 C 于 A 、 B 两 点 ， 设 P(20 ， 0) ， 若
PA BP PA PB ＝0，则|AB|＝
A.20 B.32 C.16 或 20 D.16 或 32
11.已知函数 f(x)＝cosx－|cos2x|，则下述四个结论中错误的个数为
①π是 f(x)的一个周期； ②f(x)在[
2
，π]上单调递减；
③f(x)为偶函数； ④f(x)的图象关于直线 x＝
2
对称。
A.1 B.2 C.3 D.4
12.对于函数 y＝f(x)，y＝g(x)，若存在 x0，使 f(x0≠－g(x0)，则称 A(x0，f(x0))，B(x0，g(x0))
是函数 f(x)与 g(x)的图象的一对“关于 x 轴的隐对称点”。已知函数 f(x)满足：①f(x＋1)的图象
关于直线 x＝－1 对称；②f(1＋x)＝f(1－x)；③当 x∈[－1，0]时，f(x)＝x2。函数 g(x)＝loga(x
＋1)(其中 a>0 且 a≠1)，若函数 f(x)与 g(x)恰有 7 对“关于 x 轴的隐对称点”，则实数 a 的取值
范围为
A.(6，8) B.( 1
6
， 1
4 ) C.( 1
7
， 1
5 ) D.( 1
8
， 1
6 )
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第
22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13.曲线 f(x)＝2x3－x2＋3x－3 在点(1，f(1))处的切线的斜率为 。
14.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＋a5＝14，S3＝12，则 an＝ ，Sn＝ 。(本
题第一空 2 分，第二空 3 分)
15.2020 年以来，我国以民生为要重提“地摊经济”，鼓励各地适度发展，以扩大就业、拉动
内需。为有序管理“地摊经济”，某市城管局将 5 名男城管、3 名女城管分成 3 个小分队分配
到 3 个夜市负责“地摊”管理工作，若要求每个小分队至少 2 人，且每个小分队至少 1 名女
城管，则不同的分配方案共有在 种。
16.如图，在平面四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，且点 O 为 AC 的中点，AC＝ 2 ，
AD＝CD＝BO＝1。将△ABC 沿 AC 折起，使得∠BOD＝135°，则所得三棱锥 B－ACD 的外
接球的表面积为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b ccosA 3= asinC 3
。
(1)求 C；
(2)若 3 (a－b)＝c，证明：△ABC 是直角三角形。
18.(本小题满分 12 分)
如图，面 BCC1B1 是某半圆柱的轴截面(过上、下底面圆心连线的截面)，线段 AA1 是该圆
柱的一条母线，BC＝2AB，点 D 为 AA1 的中点。
(1)当点 E 为棱 BC 的中点时，求证：AE//平面 BC1D；
(2)当轴截面 BCC1B1 是边长为 2 的正方形时，求直线 B1D 与平面 BC1D 所成角的正弦值。
19.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦距与短轴长相等，且左、右焦点分别为 F1，F2，
过点 F2 且斜率为 k1(k1≠0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，△F1AB 的周长为 4 2 。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若点 D 是点 A 关于原点的对称点，设直线 BD 的斜率为 k2，求证：k1k2 为定值。
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝lnx－(a－1)x－ 1
2 ax2(a∈R)。
(1)若 a>0，求 f(x)－ 1
2a －1 有实数解，求 a 的最大值。
21.(本小题满分 12 分)
在新冠肺炎防控期间，某校“停课不停络教学的授课模式对学生进行了教络教学的学习
效率，随机抽查了高一年级(本年级共有 2000 名学生)100 名学生的某次物理测试成绩(满分 100
分)，统计他们的成绩在 40 分到 100 分之间，并得到如下统计表：
(1)由统计表可以认为，这次物理测试成绩近似地服从正态分布 N(μ，14.42)，其中μ近似为样本
平均数(每组数据以区间的中点值为代表)，试估计这次物理测试成绩在区间(54.1，97.3)内的人
数(结果保留整数)；
(2)年级组决定选取一部分成绩不理想的学生分析成绩偏低的原因，选取办法如下：先利用分
层抽样的方法从成绩在前 3 段的学生中随机选取 11 人组成 1 个样本小组，再从这 11 人中随机
选取 1 人，如果选到成绩在前 2 段的学生，则该学生留在样本小组；如果选到第 3 段的学生，
则将该学生与前 2 段中未选到的一个学生(即该生不是已选取到样本中的人)交换，重复上述过
程 n 次后，记这 11 人中成绩在前 2 段中的学生人数为 Xn。
①求 X1 的概率分布及数学期望 E(X1)；
②求 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式。
附：若 Z～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ
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