2021 年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合 A＝{x|2b>a
8.关于函数 f(x)＝|sin(2x－
3
)＋cos(2x－
2
)|，下列判断正确的是
A.f(x)的值域为[0， 2 ] B.f(x)是以π为最小正周期的周期函数
C.f(x)在[0，π]上有两个零点 D.f(x)在区间[
3
， 2
3
]上单调递减
9.元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动，某社区计划举办元宵
节找花灯活动，准备在 3 个不同的地方悬挂 5 盏不同的花灯，其中 2 盏是人物灯。现要求这 3
个地方都有灯(同一地方的花灯不考虑位置的差别)，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的
悬挂方法种数有
A.114 B.92 C.72 D.42
10.已知函数 f(x)＝2x4＋ex＋e－x－1，若不等式 f(1＋ax)0，不等式(x＋1)1－aex＋1－aln(x＋1)≥0 对任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取
值范围为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}满足 a1＝1，Sn＝ nn 1 a
2
。
(I)求数列{an}的通项公式；
(II)若 bn＝(－1)n＋1 n
n n 1
2a 1
a a
，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 T2021。
18.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 P－ABCD 中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，
平面 PAD⊥平面 ABCD。
(I)求证：PB＝PC；
(II)求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值。
19.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，点 D(1， 3
2 )是
椭圆 C 上一点，离心率为 1
2
。
(I)求椭圆 C 的方程；
(II)若直线 l 过椭圆右焦点 F2 且与椭圆交于 P、Q 两点，直线 AP、AQ 与直线 x＝4 分别交于点
M，N。
(i)求证：M，N 两点的纵坐标之积为定值；
(ii)求△AMN 面积的最小值。
20.(本小题满分 12 分)
已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸 X(单位：mm)服从正态分布
N(280，25)。
(I)从该生产线生产的零件中随机抽取 10 个，求至少有一个尺寸小于 265mm 的概率；
(II)为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该
生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为 5000 元，若生
产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费
外，还会产生一次故障维修费。已知故障维修费第一次为 2000 元，此后每增加一次则故障维
修费增加 2000 元。假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为 1
4
，
求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和 Y 的分布列与数学期望。
参考数据：若 Z～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ
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