专题02 (利用数列前n项和与通项探究递推关系 ) (教案)-备战2021年高考数学中数列与立体几何知识点提优(江苏专用)
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资料简介
专题二 利用数列前 n 项和与通项探究递推关系 例题 1.(2020 浙江,7 题)已知等差数列 的前 n 项和 ,公差 , 记 , 晦 晦 , ,下列等式不可能成立的是 A. 晦 B. 晦 C. D. 【分析】 本题考查数列递推式,等差数列的通项公式与前 n 项和,考查转化思想和计算能力,是中档题. 由已知利用等差数列的通项公式判断 A 与 C;由数列递推式分别求得 ,分析 B,D 成立时是否满 足公差 , 判断 B 与 D. 思维升华 解决这一类问题,我们要熟记公式,这样考试当中才能灵活运用公式。解决这类题目的主要方法是对 Sn 与 an 的关系式递推(可前推也可以后推)后,两式相减,消去和 Sn,得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求 解,有时也将 an 表示 Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)后,消去项 an. 基本知识 )1( )2( 1 1    naa naSS n nnn 【答案】B 【解析】 【解答】 解:在等差数列 中, 晦 , 在数学模拟考试和高考题中,利用数列{an}的前 n 项和为 Sn 与通项 an 的关系求解数 列的通项公式 an=f(n)或者其他类似问题是常考题型和热点问题,解决这类题目的 主要方法是对 Sn 与 an 的关系式递推(可前推也可以后推)后,两式相减,消去和 Sn, 得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解,有时也将 an 表示成 Sn-Sn-1(n≥2,n ∈N*)后,消去项 an 1.直击高考 晦 晦 晦 晦晦 , 晦 , 晦 , 晦 晦 ͷ . 晦 , ͷ , , ͷ ͷͷ . A. 晦 晦 , 晦 晦 晦 晦 ͷ 晦 ,故 A 正确; B. , 晦 晦 , 若 晦 ,则 ,即 不合题意,故 B 错误; C.若 ,则 晦 晦 晦 香 , 即 晦 晦 䁕 晦 晦 香 ,得 , , ,符合 ,故 C 正确; D.若 ,则 ͷ 晦 ͷ ͷͷ , 即 晦 ͷ 晦 ͷ ,则 有两不等负根,满足 ,故 D 正确. 等式不可能成立的是 B. 故选:B. 例 2.(2020 江苏,20 题)已知数列 的首项 ,前 n 项和为 设 和 k 为常数,若对一切 正整数 n,均有 晦 晦 成立,则称此数列为“ ”数列. 若等差数列 是“ ”数列,求 的值; 若数列 是“ ”数列,且 ,求数列 的通项公式; 对于给定的 ,是否存在三个不同的数列 为“ ”数列,且 ?若存在,求出 的取值范围; 若不存在,说明理由. 【答案】解: 时, 晦 晦 晦 ,由 n 为任意正整数,且 , ,可得 ; 晦 晦 ,则 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 , 因此 晦 晦 晦 ,即 晦 晦 , 晦 晦 晦 , 从而 晦 ,又 ,可得 , , , 综上可得 , ; 若存在三个不同的数列 为“ ”数列, 则 晦 晦 , 则 晦 晦 晦 晦 晦 晦 , 由 , ,且 ,令 晦 , 则 晦 , 时, , 由 ,可得 ,则 晦 , 即 晦 , 此时 唯一,不存在三个不同的数列 , 时,令 ,则 晦 ,则 晦 晦 , 时, 晦 晦 ,则 ,同上分析不存在三个不同的数列 ; ൏ ൏ 时, ൏ , 晦 晦 无解, 则 ,同上分析不存在三个不同的数列 ; 时, ,则 ,同上分析不存在三个不同的数列 时,即 ൏ ൏ 时, , 晦 晦 有两解 , , 设 ൏ , 晦 , ,则 ൏ ൏ ൏ , 则对任意 , 晦 或 晦 或 晦 ,此时 , , 均符合条 件. 对应 , , , 则存在三个不同的数列 为“ ”数列,且 , 综上可得 ൏ ൏ . 【解析】 由“ ”数列可得 ,结合数列的递推式,以及等差数列的定义,可得 的值; 运用“ ”数列的定义,结合数列的递推式和等比数列的通项公式,可得所求通项公式; 若存在三个不同的数列 为“ ”数列,则 晦 晦 ,由两边立方,结合数列的递推式, 以及 t 的讨论,二次方程的实根分布和韦达定理,即可判断是否存在 ,并可得取值范围. 本题考查数列的新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的通项公式的运用,以及数列的递推式的 运用,考查分类讨论思想,以及运算能力和推理论证能力,是一道难题. 例 3(2020 浙江,20 题)已知数列 , , 满足 , 晦 晦 , 晦 晦 . 若 为等比数列,公比 ,且 晦 ,求 q 的值及数列 的通项公式; 若 为等差数列,公差 ,证明: 晦 晦 晦 晦 ൏ 晦 , . 【答案】 解:由题意, , , 晦 , 晦 , 整理,得 , 解得 舍去 ,或 , 晦 晦 晦 , 数列 是以 1 为首项,4 为公比的等比数列, , . 晦 晦 , 则 , , , , 各项相加,可得 晦 晦 晦 晦 . 证明:依题意,由 晦 晦 ,可得 晦 晦 , 两边同时乘以 晦 ,可得 晦晦晦 晦 , 晦 , 数列 晦 是一个常数列,且此常数为 晦 , 晦 晦 , 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 , 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 ൏ 晦 , 晦 晦 晦 ൏ 晦 ,故得证. 【解析】本题主要考查数列求通项公式,等差数列和等比数列的基本量的运算,以及和式不等式的证明问 题.考查了转化与化归思想,整体思想,方程思想,累加法求通项公式,裂项相消法求和,放缩法证明不 等式,以及逻辑推理能力和数学运算能力,属于综合题. 先根据等比数列的通项公式将 , 代入 晦 ,计算出公比 q 的值,然后根据等比数 列的定义化简 晦 晦 可得 晦 ,则可发现数列 是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,从而 可得数列 的通项公式,然后将通项公式代入 晦 晦 ,可得 晦 晦 ,再根据此递 推公式的特点运用累加法可计算出数列 的通项公式; 通过将已知关系式 晦 晦 不断进行转化可构造出数列 晦 ,且可得到数列 晦 是一个 常数列,且此常数为 晦 ,从而可得 晦 晦 ,再计算得到 晦 晦 ,根据等差数列的特点进行 转化进行裂项,在求和时相消,最后运用放缩法即可证明不等式成立. 变式 1.如果数列 的前 n 项和 晦 ,则 ͷ A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 2.变式训练 【解析】 【分析】 本题考查了数列的递推关系,以及等比数列的判定和通项公式,属于基础题. 根据题意得到 晦 , ,两式作差得到 ,可得到数列的 通项,进而得到结果. 【解答】 解:数列 的前 n 项和 晦 , 则 , 两式作差得到 , 由此可得到数列是公比为 2 的等比数列, 令 代入已知式子得到 , 解得 , 故得到数列通项为 , 令 ͷ 得到 ͷ . 故选 B. 变式 2.数列 满足前 n 项和 晦 ,则数列 的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查数列的通项公式的求法,是基础题. 利用 ,能求出数列 的通项公式. 【解答】 解: 数列 满足前 n 项和 晦 , 当 时, 晦 晦 , 又 当 时, , 故 . 故答案为: . 变式 3.已知数列 的前 n 项和 晦 . 求数列 的通项公式 令 ,求数列 的前 n 项和 . 【答案】解: 当 时, 当 时, 晦 晦 , 当 时, 也符合上式, 数列 的通项公式为 晦 . 晦 晦 , 晦 晦 晦 晦 晦 晦 . 【解析】本题考查数列的通项公式,数列的递推关系,裂项相消法求和,考查运算化简的能力,属于基础 题. 由 , 时, ,可得数列 的通项公式,注意 时验证; 由 晦 晦 ,利用裂项相消法求和即可. 串讲 1.已知数列 的前 n 项和为 ,且 ,则 ͷ 等于 A. B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 3.活学活用 【解析】 【分析】 本题考查数列的递推公式和通项公式,属于基础题. 根据题意,由数列的递推公式分析可以求出数列 是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,即可得数列 的通项公式,将 ͷ 代入计算即可得答案. 【解答】 解:根据题意, , 当 时, ,解得 , 当 时, , , 数列 是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, . 则 ͷ ͷ , 故选 B. 串讲 2.若数列 的前 n 项和 ,则 的通项公式是______ 【答案】 【解析】解: 数列 的前 n 项和 , , 时, . 的通项公式是 . 故答案为: . , 时, 由此能求出 的通项公式. 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的通项公式和数列的前 n 项和的关系等基础知识,考查运算求 解能力,是基础题. 串讲 3.已知 是数列 的前 n 项和,满足 , 晦 . 求数列 的通项公式; 求数列 的前 n 项和 . 【答案】解: 晦 , , 相减得 晦 , , , 故 . 晦 晦 , 晦 晦 , 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 晦 . 【解析】本题考查数列的递推公式,考查数列的通项公式,以及利用裂项相消法求和,属于中档题. 由题意得到 ,利用 ,即可求解; 由题意得到 晦 晦 ,利用裂项相消法求和.

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