专题二 利用数列前 n 项和与通项探究递推关系
一、单选题
1. 设数列
前 n 项和为
，已知
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查数列前 n 和项
与
关系，递推关系等基础知识，属于中档题．
当
，求出
，当
时，根据
，运用相邻项作差法得到
，由此求出
，
进而求出
．
【解答】
解：当
时，
，解得
，
，
当
时，
，
以上两式相减可得
，
即
，
所以
，
．
自我检测
在数学模拟考试和高考题中，利用数列{an}的前 n 项和为 Sn 与通项 an 的关系求解数
列的通项公式 an＝f(n)或者其他类似问题是常考题型和热点问题，解决这类题目的
主要方法是对 Sn 与 an 的关系式递推(可前推也可以后推)后，两式相减，消去和 Sn，
得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解，有时也将 an 表示成 Sn－Sn－1(n≥2，n
∈N*)后，消去项 an
故选 C．
2. 设数列
的前 n 项和为
若
，
，
，则
值为
A. 363 B. 121 C. 80 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，由
䁖
，得
䁖 䁖
，两式相减，
得
等比数列，故可求和．
【解答】
解：数列
前 n 项和
，
，
䁖
，
，
可得
䁖 䁖
，
以上两式相减得
，
又
，
是等比数列，公比
，
．
故答案选 B．
3. 已知数列
的前 n 项和为
，且
，
，则数列
的最小项为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查数列的递推公式，等差数列的判定，等差数列的通项公式以及求和公式，数列的函数特征，
利用导数研究函数的单调性，属于难题．
根据递推公式求出数列
的通项公式，利用等差数列的定义证明其为等差数列，利用求和公式求出
，即
可求出数列
的通项公式，
利用导数研究其最小项．
【解答】
解：
，
，
，
，
整理得
，
，
，
数列
是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
，
，
设
‶ ൭
，
则 ，
令 解得 ，
令 解得 ，
故函数
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
则 ，
故数列
的最小项为
．
故选 A．
4. 设
为数列
的前 n 项和，若
，则
A. 27 B. 81 C. 93 D. 243
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．
通过
，得到
的递推式，得
为等比数列，然后可求出
．
【解答】
解：
，
当
时，
，即
，解得
，
当
时，
，
得，
，
即
，
解得
，
数列
是以
为首项，公比为 3 的等比数列，
，
．
故选 B．
5. 已知数列
的前 n 项和为
，且
，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
‶
D.
‶ 【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查数列通项公式与前 n 项和之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题，
由
，可得当
时，
，当
时，
，即可得出．
【解答】
解：
，
当
时，
，
当
时，
，
又
不符合上式，
‶
．
故选 C．
6. 已知数列
的前 n 项和为
䁖 䁖
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解决的关键是根据数列的通项公式与前 n 项和的关系式来得到求解。本题属于容易题。
【解答】
解：由
可得当
‶
时，
䁖
，两式相减可得：
当
‶
时，
，
所以
因为
，所以
．
故选 B．
二、单空题
7. 若数列
的前 n 项和
，
，2，3，
，则满足
‶ ൭
的 n 的最小值为______
【答案】5
【解析】解：依题意，当
时，
，
当
时，
．
而
，
综上
．
由
‶ ൭
，得
‶
，又因为
．
故满足
‶ ൭
的 n 的最小值为 5．
故填：5．
利用
，求出数列
的通项，根据通项公式判断即可．
本题考查了等差数列的通项公式，前 n 项和，数列的通项与前 n 项和的关系，属于基础题．
8. 已知数列
前 n 项和
满足
，
，则数列
൭൭൭൭
________．
【答案】
൭൭
൭【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，裂项相消法求和，属于中档题．
由数列的递推关系式知
，利用裂项相消法即可求得
൭൭൭൭
．
【解答】
解：
，
，
当
时，
，
当
时，
，符合上式，
，
，
则
൭൭൭൭
൭൭ ൭
൭൭
൭
൭
൭൭
൭
．
故答案为：
൭൭
൭
．
9. 已知数列
的前 n 项和
，则其通项公式
_______________．
【答案】
䁖
䁖 【解析】
【分析】
本题主要考查了数列的通项公式，数列的递推关系的应用，解题的关键是熟练掌握数列的通项公式，数列
的递推关系的计算．
根据已知及数列的通项公式，数列的递推关系的计算，求出通项公式．
【解答】
解：当
时，
；
当
时，
，
显然当
时，
不满足上式，
故数列
的通项公式为
䁖
䁖
．
故答案为
䁖
䁖
．
10. 已知数列
的前 n 项和为
，且
䁖
则数列
的前 n 项和
________．
【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，考查等比数列的判定与求和，考查分组转化求和法，属于中档题．
由条件可得
，于是
，根据分组转化求和法即可求得结果．
【解答】
解：由
，得
，
由
，
当
时，
，
两式相减，
，
所以数列
是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
于是
，
所以
．
故答案为：
．
11. 已知数列
的前 n 项和
，则其通项公式
_______________．
【答案】
䁖
䁖 【解析】
【分析】
本题主要考查了数列的通项公式，数列的递推关系的应用，解题的关键是熟练掌握数列的通项公式，数列
的递推关系的计算，属于基础题．
根据已知及数列的通项公式，数列的递推关系的计算，求出通项公式．
【解答】
解：当
时，
；
当
时，
n-1
，
䁖
䁖
．
故答案为：
䁖
䁖
．
12. 已知数列
的前 n 和为
，
，
，则
൭
的值为______．
【答案】5151
【解析】
【分析】
本题考查了数列的递推关系和数列的求和，另外
൭
下表这么大已经暗示有规律可循．
【解答】
解：
，
，
相减得
，
，
相减得，
，又
，且
，
，
数列
依次为 1，2，3，4，
䁖䁖䁖
，
൭
൭ ൭
．
故答案为 5151．
三、解答题
13. 已知数列
的前 n 项和
香
，且
，
，
成等比数列．
求数列
的通项公式；
若
，求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
根据题目条件可得，当
时，
香
香 香
，
䁖䁖
成等比数列，则
香
香 香
，
解得
香
，所以
，
满足等式，
．
根据题意可得
，
．
即
．
【解析】本题主要考查了数列的递推关系，考查了等比数列的性质以及用裂项相消法进行数列求和，属于
中档题．
根据题目条件可得，当
时，
香
，再根据
䁖䁖
成等比数列求解出
香
，
并验证得到
满足等式，即求出数列
的通项公式．
根据题意可得
，再利用裂项相消法求和即可求出答案．
14. 已知数列
的前 n 项和为
，且
，
．
Ⅰ
求
；
Ⅱ
设
，求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
Ⅰ
，
．
时，
，
可得
，即有
，
对
也成立，
可得数列
的通项公式为
，
；
Ⅱ
，
可得数列
的前 n 项和
．
【解析】
Ⅰ
由数列的递推式：
时，
，化简可得所求通项公式；
Ⅱ
求得
，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
15. 已知数列
前 n 和为
，且
求数列
的通项公式；
令
，求数列
的前 n 和为
；
记
൭
，是否存在实数
，使得对任意的 ，恒有
‶
？若存在，
求
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】解：
令
，解得
，
，
，两式相减得：
，
数列
是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
．
由
得：
，
则
൭
，
，
由
得
，
．
，
当 n 为奇数时，
䁖
，
由
‶
‶
，
即 ，
所以
当 n 为偶数时，
䁖
，
由
‶
‶
，
即 ，
所以
‶
，
综上所述，当
且
൭
时，对任意 恒有
‶
．
【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式，利用错位相减法求和，不等式的恒成立问题，考查学生的
计算能力和推理能力，难度较大．
根据
即可解出数列
的通项公式；
将
代入可得
，利用错位相减法求和即可得到数列
的前 n 和为
；
根据题意
൭
，对 n 分情况讨论即可求得
的取值范围．
16. 已知数列
的前 n 项和为
，且
，数列
满足
log
䁖
求
数列
和
的通项公式；
求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
数列
的前 n 项和为
且
，
，
则：
，
，
当
时，
符合通项公式，
所以：
．
由于：数列
满足
䁖
，
．
则：
䁖
，
所以：
，
由
Ⅰ
得：设
，
则：
൭
得：
൭
，
整理得：
．
【解析】本题考查的知识要点：等差与等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用．属于基础题
型．
首先根据递推关系式求出数列
的通项公式，进一步利用
的通项公式求出数列
的通项公式．
根据
的结论，求出新数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的前 n 项和．
17. 已知数列
的前 n 项和为
，且
．
求证：数列
为等比数列；
设
，求数列
的 n 项和
．
【答案】解：
证明：因为
，
所以
䁖当
时，由
得
，
即
，
所以
．
当
时，
，即
൭
，
．
所以数列
是以 1 为首项，2 为公比的等比数列；
解：由
知
，
所以
．
所以
൭
，
则
，
由
得
൭
，
所以
．
【解析】本题主要考查等比数列的判定与证明、通项公式及利用错位相减法求和，属于中档题．
由
，两式相减整理得：
，再由题
设求出
，从而证明结论；
先由
求得
与
，利用错位相减法即可求解前 n 项和．
18. 已知数列
的前 n 项和为
，且
，
，数列
满足
log
，
．
Ⅰ
求
、
；
Ⅱ
求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
Ⅰ
因为
䁖
，
当
时，
，
当
时，
，
也符合上式，
所以
，
，
由
log
，
得
，
；
Ⅱ
由
Ⅰ
知
，
，
所以
൭
，
，
两式相减得：
，
所以
，
．
【解析】本题考查了数列的求和公式，数列的通项公式，错位相减求数列的和，属于中档题．
Ⅰ
先由
䁖
䁖
，求出
的通项公式，再由对数的运算即可求出
的通项公式；
Ⅱ
由
Ⅰ
知
，
，利用错位相减法进行数列求和，即可得出
．
19. 已知数列
的前 n 项和
，等比数列
的公比
‶
，且
，
是
，
的等差中项．
㌠
求数列
和
的通项公式；
㌠㌠
求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
时，
，
又
时，
满足上式，
，
，
，
，
൭
，
又
，
‶
，解得
，
，
，
；
，
．
【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及求和，裂项相消法及分
组转化求和，属于中档题．
根据数列的递推关系式推导出
和
的通项公式；
由
可知，
，运用分组转化求和可得答案．
20. 已知数列
的前 n 项和为
，
，数列
满足：
䁖
，数列
为等差数
列．
求
与
的通项公式；
设
，数列
的前 n 项和为
䁖
若对于任意
均有
，求正整数 k 的值．
【答案】解：
由题意知
，
当
时，
，
时，
，
显然
也满足，故
，
因为
，数列
为等差数列，
，则
，解得：
䁖等差数列
的首项为
，公差为
，
所以
，即
．
由
可得：
，
．
当 n 为奇数时，
，又
随 n 增加而增加，此时
min ൭
；
当 n 为偶数时，
，
令
，则
，
当 n 为偶数时，恒有
‶ ൭
．
综合
知
min ൭
，
满足题意的
．
【解析】本题考查数列的递推关系及通项公式，等差数列的判定，以及裂项相消法求和，分组转化法求和，
是中档题．
由
，求出
，由数列
为等差数列．以及
䁖
，即可求解出
，从而求出
的通项公式；
由
可得：
，利用分组转化法求和和裂项相消法，等比数列求
和公式求解．
21. 已知数列
的前 n 项和
．
Ⅰ
求
的通项公式；
Ⅱ
记
，求数列
的前 n 项和．
【答案】解：
Ⅰ
数列
的前 n 项和
，
可得
；
时，
，
上式对
也成立，
则
，
；
Ⅱ
，
则数列
的前 n 项和为
．
【解析】
Ⅰ
运用数列的递推式：
；
时，
，计算可得所求通项；
Ⅱ
化简
，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计
算可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化
简整理的运算能力，属于中档题．
22. 已知数列
的前 n 项和
N
䁖
求数列
的通项公式；
令
，求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
由
൭
得：
，
因为
，
当
时，
，而
，
所以数列
的通项公式：
䁖
因为
，
所以
，
所以
䁖
【解析】本题考查了根据数列的前 n 项和公式与通项公式间的关系求解数列的通项公式，利用裂项求和求
解数列前 n 项和，属于中档题．
根据
䁖
䁖
即可求解数列通项；
由题意可知
即可得到
，利用裂项求和求解数列前 n 项和即可．
23. 已知数列
的前 n 项和
，数列
是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
求数列
和数列
的通项公式；
求数列
的前 n 项和
．
【答案】解：
由题意知
，
当
时，
，
符合
所以
，
由题意知
．
由
可知，
，
．
【解析】【试题解析】
本题考查数列的递推关系，等比数列的通项公式以及分组转化法求和，属于基础题．
先根据
，利用递推公式
䁖 䁖
䁖䁖
求得
，再根据题意利用等比数列的通项公式可
求得
；
由
可得：
，再运用分组转化法求和，结合等差及等比的求和即可得到数列
的前 n
项和
．
24. 已知正项数列
，其前 n 项和为
，满足
，
．
求数列
的通项公式
；
如果对任意正整数 n，不等式
‶
都成立，求证：实数 c 的最大值为 1．
【答案】
解：由题意，当
时，
，
解得
൭
舍去
，或
．
由
，可得
，
两式相减，可得
，
即
，
整理，得
൭
，
数列
各项均为正数，
൭
，即
．
数列
是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
数列
的通项公式为
，
．
证明：由题意，对任意正整数 n，不等式
‶
都成立，
可等价转化为，对任意正整数 n，不等式
‶
都成立．
‶
，
的最大值为
䁖另一方面，当任取实数
‶
时，
．
当
时，对任意的正整数 n，都有
；
当
时，只要
൭
，即
，也就是
‶
时，就有
．
满足条件的
，从而
．
综上所述，可得 c 的最大值为 1．
【解析】本题第
题利用公式
䁖
䁖
进行代入计算，化简整理可发现数列
是首项为 1，
公差为 1 的等差数列，即可得到数列
的通项公式；第
题从两个方面分别计算出
及
䁖从而可得
．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列不等式的证明问题．考查了转化思想，分类讨论，放缩法的应用，
逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
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